2019-2020学年重庆市两江新区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（ ）
A．
，
B．，B．2
，a+
C． D．
2．（4分）在代数式A．1
中，分式的个数是（ ）
C．3
D．4
3．（4分）下列运算正确的是（ ） A．b5÷b3＝b2 C．b2•b4＝b8
B．（b5）2＝b7 D．a•（a﹣2b）＝a2+2ab
4．（4分）在直角坐标系中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ） A．（2，1）
B．（﹣2，1）
C．（2，﹣1）
D．（﹣2，﹣1）
5．（4分）现有5cm，6cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，不可以围成一个三角形的是（ ） A．11cm
B．5cm
C．4cm
D．3cm
6．（4分）某多边形的每个内角均为120°，则此多边形的边数为（ ） A．5
B．6
C．7
D．8
7．（4分）已知a+b＝7，a﹣b＝8，则a2﹣b2的值是（ ） A．11
B．15
C．56
D．60
8．（4分）若x2﹣axy+9y2是一个整式完全平方后的结果，则a值为（ ） A．3
B．6
C．±6
D．±3
9．（4分）已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ） A．12cm
B．16cm
C．16cm或20cm
D．20cm
10．（4分）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么所列方程正确的是（ ）
A．C．
B．D．
11．（4分）如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（ ）
A．140°
B．100°
C．50°
D．40°
12．（4分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则
＝（ ）
A．
B．2
C．
D．
二、填空题（本大题6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上） 13．（4分）分解因式：2ax﹣6ay＝ ． 14．（4分）计算：15．（4分）如果分式
＝ ．
的值大于0，那么m的取值范围是 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，DB和DC分别平分∠ABC和∠ACB，过D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，若EF＝5，BE＝3，则线段CF的长为 ．
17．（4分）若关于x的方程
无解，则a的值为 ．
18．（4分）已知边长为6的等边△ABC中，E是高AD所在直线上的一个动点，连接BE，将线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接DF，则在点E运动的过程中，当线段DF长度的最小值时，DE的长度为 ．
三、解答题：本大题7个小题，每小题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连结AD，点E是BC延长线上一点，CF平分∠ACE，连结AF，且AF＝AC．
（1）若∠CAD＝36°，求∠B的度数； （2）求证：AF∥BE．
20．（10分）在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其中A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点，不写作法）． （2）直接写出A1、B1、C1三点的坐标：A1 、B1 、C1 ； （3）求出△ABC的面积．
21．（10分）（1）分解因式：ax2﹣4axy+4ay2； （2）解分式方程：
＝1
22．（10分）（1）计算：4（x﹣2）2﹣（2x+3）（2x﹣3） （2）先化简，再求值：
，其中x＝2
23．（10分）为提倡绿色出行，某公司在我区A、B两个街区分别投放了一批“共享汽车”，“共享汽车”有甲、乙不同款型．
（1）该公司在我区A街区早期试点时共投放甲、乙两种型号的“共享汽车”各20辆，投放成本共计划110万，其中甲型汽车的成本单价比乙型汽车少0.5万元，求甲、乙两型“共享汽车”的单价各是多少？ （2）该公司采取了如下的投放方式：A街区每2000人投放a辆“共享汽车”，B街区每2000人投放
辆
“共享汽车”，按照这种设放方式，A街区共投放150辆，B街区共投放120辆，如果两个街区共有6万人，试求a的值．
24．（10分）如图，△ABC与△DBC有公共边BC，且AC＝BC，BC＝DC，∠ACB＝90°，∠BCD＝150°，∠ACB的角平分线CE交BD于点E，连接AE． （1）求∠AEB的度数； （2）若AE＝6，S△AEB＝9
，求CE的长．
25．（10分）阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”．
（1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c；
（2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c≤0； （3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 四、解答题：本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
26．（8分）如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E． （1）依题意补全图形；
（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；
（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．
2019-2020学年重庆市两江新区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是故选：A． 2．【解答】解：代数式故选：B．
3．【解答】解：A、b5÷b3＝b2，正确； B、（b5）2＝b10，错误； C、b2•b4＝b6，错误；
D、a•（a﹣2b）＝a2﹣2ab，错误； 故选：A．
4．【解答】解：点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣1）， 故选：C．
5．【解答】解：设第三边的长度为xcm，由题意得： 6﹣5＜x＜5+6， 即：1＜x＜11，
只有A选项不在范围内． 故选：A．
6．【解答】解：180°﹣120°＝60°， 360°÷60°＝6． 故选：B．
7．【解答】解：∵a+b＝7，a﹣b＝8， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7×8＝56． 故选：C．
，
是分式，共2个，
，
8．【解答】解：∵x2﹣axy+9y2是完全平方式， ∴﹣axy＝±2×3y•x， 解得k＝±6． 故选：C．
9．【解答】解：当腰为4cm时，4+4＝8，不能构成三角形，因此这种情况不成立． 当腰为8cm时，8＜8+4，能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为8+8+4＝20cm． 故选：D．
10．【解答】解：设原计划每天挖x米，则原计划用时为：所列方程为：故选：C．
11．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则 OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O， 根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则 △PMN的周长的最小值＝P1P2， ∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°， ∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°， 故选：B．
﹣
＝4，
，实际用时为：
．
12．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝∠B＝60°， 在△ABE和△CAD中
∴△ABE≌△CAD （SAS）， ∴∠BAE＝∠ACD，
∴∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°， ∵AG⊥CD， ∴∠AGF＝90°， ∴∠FAG＝30°， ∴sin30°＝即
＝
．
＝
，
二、填空题（本大题6个小题，每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上） 13．【解答】解：2ax﹣6ay＝2a（x﹣3y）． 故答案为：2a（x﹣3y）． 14．【解答】解：原式＝﹣＝﹣
x．
x．
的值大于0， ×
x2y÷xy
故答案为：﹣
15．【解答】解：∵分式∴m﹣2＜0， 解得：m＜2； 故答案为：m＜2．
16．【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴BE＝ED， 同理DF＝CF， ∴EF＝3+CF＝5，
∴CF＝2， 故答案为：2．
17．【解答】解：方程两边同时乘以x﹣3，得 x+a﹣2a＝3x﹣9， 解得：x＝∵方程无解， ∴
＝3，
，
∴a＝3， 故答案为3．
18．【解答】解：连接CF， ∵等边△ABC， ∴AB＝BC，
∵线段BE绕点B逆时针旋转60°得到BF， ∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， F点在直线CF上运动， ∴CF＝AE，∠BCF＝30°， ∴F点在直线CF上运动， 当DF⊥CF时，DF最小， ∵CD＝3， ∴CF＝∴AE＝∵AD＝3∴DE＝故答案为
， ， ， ， ．
三、解答题：本大题7个小题，每小题10分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣36°＝54°， ∴∠B＝∠ACB＝54°； （2）∵CF平分∠ACE， ∴∠ACF＝∠ECF， ∵AF＝AC， ∴∠ACF＝∠F， ∴∠ECF＝∠F， ∴AF∥BE．
20．【解答】解；
（1）如图即为△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）A1、B1、C1三点的坐标：A1（﹣2，3）、B1（﹣4，2）、C1（1，﹣4）； 故答案为：（﹣2，3）、（﹣4，2）、（1，﹣4）； （3）△ABC的面积为： 35﹣
×2×1﹣
﹣15
﹣
＝35﹣1﹣＝
．
答：△ABC的面积为．
21．【解答】解：（1）原式＝a（x2﹣4xy+4y2）＝a（x﹣2y）2； （2）去分母得：x2+2x+1＝x2+3x+2， 解得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是增根，分式方程无解．
22．【解答】解：（1）原式＝4（x2﹣4x+4）﹣（4x2﹣9） ＝4x2﹣16x+16﹣4x2+9 ＝﹣16x+25； （2）原式＝＝
，
＝
．
•
当x＝2时，原式＝
23．【解答】解：（1）设甲型“共享汽车”的单价是x万元，则乙型“共享汽车”的单价是（x+0.5）万元，依题意得
20x+20（x+0.5）＝110， 解得x＝2.5，
则x+0.5＝2.5+0.5＝3．
答：甲型“共享汽车”的单价是2.5万元，乙型“共享汽车”的单价是3万元；
（2）由题意可得
×2000+
×2000＝60000，
解得a＝6，
经检验：a＝6是所列方程的解． 故a的值为6．
24．【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵BC＝DC，∠BCD＝150°， ∴∠CBD＝∠D＝
（180°﹣150°）＝15°，
∵CE平分∠ACB，而∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠BCE＝45°， 在△ACE和△BCE中
，
∴△ACE≌△BCE（SAS）， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠EBA＝∠CBA﹣∠CBD＝45°﹣15°＝30°， ∴∠AEB＝180°﹣30°﹣30°＝120°； （2）延长CE交AB于F，如图， ∵CA＝CB，EA＝EB， ∴CF垂直平分AB，
在Rt△AEF中，∵∠EAF＝30°， ∴EF＝
AE＝3，AF＝
，
﹣3．
EF＝3
，
∴CF＝AF＝3
∴CE＝CF﹣EF＝3
25．【解答】解：（1）∵c＝ab+a+b ＝2×（﹣1）+2+（﹣1） ＝﹣1．
∴a，b的“如意数”c是﹣1． （2）c＝（m﹣4）（﹣m）+m﹣4﹣m ＝﹣m2+4m﹣4 ＝﹣（m2﹣4m+4） ＝﹣（m﹣2）2 ∵（m﹣2）2≥0， ∴﹣（m﹣2）2≤0．
（3）∵c＝x2×b+x2+b＝x4+4x2+2 ∴b（x2+1）＝x4+3x2+2 ∵x2+1≠0， ∴b＝＝＝x2+2．
四、解答题：本大题1个小题，共8分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 26．【解答】解：（1）图象如图所示；
（2）在等边△ABC中， AC＝AB，∠BAC＝60°，
由对称可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠D， ∵∠PAC＝20°， ∴∠PAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC+∠PAD＝100°， ∴
∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°．
（3）结论：CE+AE＝BE．
理由：在BE上取点M使ME＝AE，
，
在等边△ABC中， AC＝AB，∠BAC＝60°
由对称可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD， 设∠EAC＝∠DAE＝x． ∵AD＝AC＝AB， ∴
∴∠AEB＝60﹣x+x＝60°． ∴△AME为等边三角形， 易证：△AEC≌△AMB， ∴CE＝BM， ∴CE+AE＝BE．
，
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