一、选择题
1．已知集合M＝{x|－3 2.1＋i＝( ) B．{－3，－2，－1,0} D．{－3，－2，－1} A．22 答案 C 解析 B．2 C.2 D．1 221－i21－i2 ＝＝＝1－i，所以1＋i＝2，选C. 21＋i1－i1＋i x＋y－1≥0， x≤3， 则z＝2x－3y的最小值是 3．设x，y满足约束条件{x－y＋1≥0，( ) A．－7 答案 B B．－6 C．－5 D．－3 2z2z 解析 由z＝2x－3y得3y＝2x－z，即y＝x－.作出可行域如图，平移直线y＝x－， 33332z2z 由图象可知当直线y＝x－经过点B时，直线y＝x－的截距最大，此时z取得最小值， 3333由{x－y＋1＝0，3×4＝－6，选B. x＝3 得{x＝ y＝4 ，即B(3,4)，代入直线z＝2x－3y得z＝3×2－ ππ 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，c＝，则△ABC的面 64积为( ) A．23＋2 C．23－2 答案 B ππ7π 解析 因为B＝，C＝，所以A＝. 6412bc 由正弦定理得＝，解得c＝22. ππsin sin 64117π 所以三角形的面积为bcsin A＝×2×22sin . 2212因为sin ＝ ππ7π3221＋＝×＋× ＝sin34221222 B.3＋1 D.3－1 231， 22＋21231 所以bcsin A＝22×＋＝3＋1，选B. 2222 x2y2 5．设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2 ab＝30°，则C的离心率为( ) A.3 6 1B. 3 1C. 2 D.3 3 答案 D 解析 因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°， 所以PF2＝2ctan 30°＝又|PF1|＋|PF2|＝ 2343c，PF1＝c. 33 63c13c＝2a，所以＝＝， 3a333 ，选D. 3 即椭圆的离心率为π2 α＋＝( ) 6．已知sin 2α＝，则cos2431 A. 6答案 A 1B. 3 1C. 2 2D. 3 α＋π1＋cos2α＋π1＋cos221－sin 2α4ππ2α＋＝α＋＝解析 因为cos2＝＝，所以cos44222 21－311－sin 2α＝＝，选A. 226 7．执行右面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝( ) 111A．1＋＋＋ 234 111 B．1＋＋＋ 23×24×3×21111 C．1＋＋＋＋ 2345 1111 D．1＋＋＋＋ 23×24×3×25×4×3×2答案 B 11 解析 第一次循环，T＝1，S＝1，k＝2；第二次循环，T＝，S＝1＋，k＝3；第三次循 221111111 环，T＝，S＝1＋＋，k＝4，第四次循环，T＝，S＝1＋＋＋，22×322×32×3×42×32×3×4111 k＝5，此时满足条件输出S＝1＋＋＋，选B. 22×32×3×48．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则( ) A．a>c>b C．c>b>a 答案 D 11 解析 因为log32＝<1，log52＝<1，又log23>1，所以c最大．又1 所以>，即a>b，所以c>a>b，选D. log23log25 B．b>c>a D．c>a>b 9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为( ) 答案 A 解析 在空间直角坐标系中，先画出四面体O－ABC的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正视图，所以选A. 10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( ) A．y＝x－1或y＝－x＋1 B．y＝33 (x－1)或y＝－(x－1) 33 C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1) D．y＝22 (x－1)或y＝－(x－1) 22 答案 C 解析 抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为|AF|＝3|BF|，所以x1＋1＝3(x2＋1)，所以x1＝3x2＋2.因为|y1|＝3|y2|，x1＝9x2，所以x11 ＝3，x2＝，当x1＝3时，y223，若y1＝23，则A(3,23)，1＝12，所以此时y1＝±12＝±3123B，－，此时kAB＝3，此时直线方程为y＝3(x－1)．若y1＝－23，则A(3，－ 33 123 23)，B，，此时kAB＝－3，此时直线方程为y＝－3(x－1)．所以l的方程是y 33＝3(x－1)或y＝－3(x－1)，选C. 11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．∃x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 答案 C 解析 若c＝0，则有f(0)＝0，所以A正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x0 )单调递减是错误的，D正确．选C. 12．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞) C．(0，＋∞) 答案 D 1－ 解析 因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得x－a － B．(－2，＋∞) D．(－1，＋∞) 当x>0时，g(x)＝2x<1，所以如果存在x>0，使2x(x－a)<1，则有－a<1，即a>－1，所 － 以选D. 二、填空题 13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________． 1答案 5 解析 从5个数中任意取出两个不同的数，有10种，若取出的两数之和等于5，则有(1,4)，21(2,3)，共有2种，所以取出的两数之和等于5的概率为＝. 105 →→ 14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________. 答案 2 →→1→→→→→→→→解析 在正方形中，AE＝AD＋DC，BD＝BA＋AD＝AD－DC，所以AE·BD＝ 2 →1→→→→21→2212AD＋DC·(AD－DC)＝AD－DC＝2－×2＝2. 222 3215．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的 2球的表面积为________． 答案 24π 13232 解析 设正四棱锥的高为h，则×(3)2h＝，解得高h＝.则底面正方形的对角线 322长为2×3＝6，所以OA＝322＋62＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π. 22 ππ 2x＋的图象16．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin32重合，则φ＝________. 答案 5π 6 πππ 2x＋，即y＝sin2x＋向左解析 函数y＝cos(2x＋φ)向右平移个单位，得到y＝sin332πππ 2x＋向左平移个单位，得y＝平移个单位得到函数y＝cos(2x＋φ)，y＝sin322ππππππ5π5π x＋＋＝sin2x＋π＋＝－sin2x＋＝cos＋2x＋＝cos2x＋，sin2即φ＝. 33362236三、解答题 17．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 解 (1)设{an}的公差为d.由题意，a211＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，d＝－2. 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列． nn 从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 22 18．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点． (1)证明：BC1∥平面A1CD； (2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22，求三棱锥C－A1DE的体积． (1)证明 连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点，连结DF. 又D是AB中点，则BC1∥DF. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD. (2)解 因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD. 又因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB. 又AA1∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB1A1. 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝22得∠ACB＝90°，CD＝2，A1D＝6，DE＝3，A1E＝3， 故A1D2＋DE2＝A1E2，即DE⊥A1D. 11 所以VC－A1DE＝××6×3×2＝1. 32 19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出 的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位： t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T表示为X的函数； (2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率． 解 (1)当X∈[100,130)时， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 当X∈[130,150]时， T＝500×130＝65 000. 所以T＝{800X－39 000，100≤X<130， 000，130≤X≤150. (2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. 20．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23. (1)求圆心P的轨迹方程； (2)若P点到直线y＝x的距离为 2 ，求圆P的方程． 2 解 (1)设P(x，y)，圆P的半径为r. 则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2. ∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1. ∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1. (2)设P的坐标为(x0，y0)， 则 |x0－y0|2 ＝，即|x0－y0|＝1. 22 ∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1. 222 ①当y0＝x0＋1时，由y20－x0＝1得(x0＋1)－x0＝1. ∴{x0＝0，y0＝1， ∴r2＝3. ∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3. 222②当y0＝x0－1时，由y20－x0＝1得(x0－1)－x0＝1. ∴{x0＝0，y0＝－1， ∴r2＝3. ∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3. 综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3. 21．已知函数f(x)＝x2ex. － (1)求f(x)的极小值和极大值； (2)当曲线y＝f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围． 解 (1)f′(x)＝2xex－x2ex＝ex(2x－x2)． － － － 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2. 列表： ∴f(x)极小＝f(0)＝0，f(x)极大＝f(2)＝4e2. － (2)设切点P(x0，y0)，当x0∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时， 切线斜率为k＝e－x0(2x0－x20)<0， 切线方程为y－x20e－x0＝k(x－x0)． x20－x0∴切线l在x轴上的截距为h＝. x0－2 2 令t＝x0－2，x20－x0＝t＋3t＋2，t∈(－∞，－2)∪(0，＋∞)． 2 ∴h(t)＝t＋＋3， t 2 当t<－2时，h(t)＝t＋＋3在(－∞，－2)上单调递增． t∴h(t) 当t>0时，h(t)＝t＋＋3≥22＋3， t当且仅当t＝2时取等号． 综上所述，截距h的取值范围是(－∞，0)∪[22＋3，＋∞)． 22．[选修4－1]几何证明选讲 如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B、E、F、C四点共圆． (1)证明：CA是△ABC外接圆的直径； (2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值． (1)证明 因为CD为△ABC外接圆的切线， 所以∠DCB＝∠A， BCDC 由题设知＝，故△CDB∽△AEF， FAEA所以∠DBC＝∠EFA. 因为B，E，F，C四点共圆， 所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径． (2)解 连结CE，因为∠CBE＝90°， 所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE， 由DB＝BE，有CE＝DC， 又BC2＝DB·BA＝2DB2， 所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值1为. 2 23．[选修4—4]坐标系与参数方程 已知动点P、Q都在曲线C：{x＝2cos t，与t＝2α(0<α<2π)，M为PQ的中点． (1)求M的轨迹的参数方程； (2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点． 解 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M的轨迹的参数方程为{x＝cos α＋cos 2α，y＝sin α＋sin 2α， (α为参数，0<α<2π)． (2)M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cos α(0<α<2π)． 当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点． 24．[选修4－5]不等式选讲 设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明： 1 (1)ab＋bc＋ac≤； 3a2b2c2 (2)＋＋≥1. bca 证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 1 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. 3a2b2c2 (2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， bca y＝2sin t (t为参数)上，对应参数分别为t＝α a2b2c2 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， bcaa2b2c2 即＋＋≥a＋b＋c. bcaa2b2c2 所以＋＋≥1. bca 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容