2.1.1 平面
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列图形均表示两个相交平面，其中画法正确的是( )
解析：A中图形没有画出两平面的交线，故不正确；B，C中图形的实、虚线没有按照画法原则去画，也不正确．
答案：D
2．A，B，C为空间三点，经过这三点( ) A．能确定一个平面 B．能确定无数个平面 C．能确定一个或无数个平面 D．能确定一个平面或不能确定平面
解析：由于题设中并没有指明这三点之间的位置关系，所以在应用公理2时要注意条件“不共线的三点”．
当A，B，C三点共线时，经过这三点就不能确定平面， 当A，B，C三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面． 答案：D
3．下面给出了三个条件：
①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a都相交的两条直线． 其中，能确定一个平面的条件有( ) A．0个 C．2个
D．3个
B．1个
解析：①空间三点共线时不能确定一个平面．②点在直线上时不能确定一个平面．③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面．
答案：A
4．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( ) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN C．A∈α，A∈β ⇒α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
解析：选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A. 答案：C
5．如图所示，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A
B．点B
D．点C和点D
C．点C，但不过点D
解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上． 答案：D 二、填空题
6．设平面α与平面β交于直线l，A∈Q，B∈β.且AB∩l＝C，则AB∩β＝________． 解析：因为A∈α，B∈α，AB∩l＝C，所以C∈AB，又因为C∈l，l⊂β，所以C∈β，所以AB∩β＝C.
答案：C
7．下列命题中，不正确的是________(填序号)． ①一直线与两平行直线都相交，那么这三条直线共面； ②三条两两垂直的直线共面；
③两两相交直线上的三个点确定一个平面； ④每两条都相交但不共点的四线共面．
解析：三条两两垂直的直线最多可确定三个平面，故②错误；两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面，故③错误；①④正确．
答案：②③
8.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．如果EF∩GH＝Q，那么Q在直线________上．
解析：若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.
答案：AC 三、解答题
9．如图所示，用符号表示下列图形中点、直线、平面之前的位置关系．
图① 图②
解：(1)α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P.
(2)α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩γ＝O，b∩c＝O.
10.如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是边CFCG2
BC，CD上的点，且＝＝，求证：直线EF，GH，AC交于一点．
CBCD3
证明：因为AE＝EB，AH＝HD， 1
所以EH∥BD，且EH＝BD. 2
CFCG22因为＝＝，所以FG∥BD，且FG＝BD. CBCD33
所以EH∥FG，且EH≠FG，故四边形EFGH为梯形，则EF与GH必相交，设交点为P，P∈平面ABC，又P∈平面DAC，又平面ABC∩平面DAC＝AC，故P∈AC，即EF，GH，AC交于一点．
B级 能力提升
1．下列四个命题：
(1)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； (2)两条直线可以确定一个平面；
(3)若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
(4)空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：(1)错，如果两个平面有三个公共点，那么这三个公共点共线，或这两个平面重合；
(2)错，两条平行或相交直线可以确定一个平面； (3)对；
(4)错，空间中，相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内． 答案：A
2．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．
解析：图形①中，连接MN，PQ(图略)，则由正方体的性质得MN∥PQ，根据公理2的推论3可知两条平行直线可以确定一个平面，故图形①正确．分析可知③中四点共面，②④中四点均不共面．
答案：①③
3．如图所示，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面．
证明：连接EF，QG，A1C1，EH，
因为E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点， 所以EF∥A1C1∥QG，同理可证FG∥EH.
设E，F，Q，G确定平面α，F，G，E，H确定平面β，由于α与β都经过不共线的三点E，F，G，所以α与β重合，即E，F，G，H，Q五点共面，同理可证E，F，G，P，Q五点共面，
所以E，F，G，H，P，Q共面．
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