阳江市第一中学高二数学竞赛班选拔考试试卷

阳江市第一中学高二数学竞赛班选拔考试试卷

考试时间:90分钟,总分100分

班别___________、学号______、姓名___________

一、选择题：(本大题共6小题，每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。) 请把答案填入后面指定的空格里。

1.在数列{an}和{bn}中，a12，且对于任意自然数n,an12an0，bn是an与an1的等差中项，则b5等于（ ）

(A) 96 (B) 48 (C) 32 (D) 24 2.在一个仓库里堆积着正方体的货 箱若干,现将这堆货物的三种视图 画了出来,如图.你能根据三视图, 清点一下箱子的数量吗?这些正方体箱的( ).

(A)9 (B)8 (C) 7 (D) 6 3.函数fxx3123x的值域为（ ）

3个数是

(A)1, 2 (B)1, 3 (C)1,  (D)1, 2

24.△ABC中，BCa,ACb,ABc,则比式bca:acb:abc等于( ) (A)sin(C)tanA2A2:sin:tanB2B2:sin:tanC2C22 (B)cos (D)cotA2A2:cos:cotB22:cos:cotC2

BC2

5.E，F是椭圆

x24y21的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠EPF的最大值是( )

(A)15° (B)30° (C)60° (D)45°

6.已知实数x、y、z满足xyz4，则(2xy)(2yz)(2zx)的最大值是( ) (A)12 (B)20 (C)28 (D)36

二、填空题: 本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上. 7.函数f(x)log1(x5x6)的单调递增区间为 .

322222222xy2≥08.已知x2y4≥0，则S=x2+y2的最大值为

3xy3≤0

9.对于实数x，当且仅当n≤x＜n＋1（nZ）时，规定[x]＝n， 则不等式4[x]236[x]450的解集为

10.高二某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有21人，参加英语竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有16人，既参加数学又参加英语的有12人，既参加物理又参加英语的有11人，三科都没参加的有20人，则三科都参加的有_____________人.

11.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1 中, 点 E、F、G分别是棱 AA1、C1D1 、 BC 的中点, 那么四面体 B1EFG 的体积是_________

12.函数f(x)满足f(1)1003，且对任意正整数n都有f(1)f(2)f(n)n2f(n)，则f20(6)的值为

三、解答题: 本大题共3小题，共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

13.(本题满分12分)关于x的不等式a+2asinx2acosx＞2的解集是全体实数．求a的取值范围.

2

2

14. (本题满分15分)⑴求右焦点坐标是(22,0)，且经过点22,2的双曲线的标准方程；

xa22⑵已知双曲线C的方程是

yb22交双曲线C于A、1(a,b0). 设斜率为k的直线l，B两点，AB的

中点为M. 证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上；⑶利用（2）所揭示的双曲线几何性质，用作图方法找出下面给定双曲线的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出双曲线的中心.

15. (本题满分13分)过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使DAQPBC,求证：DBQPAC

阳江市第一中学高二数学竞赛班选拔考试答案

BCDDBC 7.(,2) 8.13 9.2≤x<8 10.7 11.13.(,26)(2,)

32 12.

12007

14.解：⑴设双曲线的标准方程为

xa22ybx221，a,b0，

22∴ a8b，即双曲线的方程为

228b88byb4b2221，

∵ 点22,2在双曲线上，∴ 解得 b24或b28（舍），

21，

由此得a4，即双曲线的标准方程为

2x24y241.(5分)

y1)、B(x2,y2)，

⑵设直线l的方程为ykxm，与双曲线C的交点A(x1,ykxm2则有x2，解得 (b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20， 6 y212ba2222∵ 0，∴ makb，即 mb2a2k2或mbak2222.

则 x1x22akmbak2222,y1y2kx1mkx2m2bmbak222，

a2km∴ AB中点M的坐标为b2a2k2,. 222bakbm222∴ 线段AB的中点M在过原点的直线 bxaky0上. (10分)

x1a2注：本题用点差法求解也给分。如上将A、B点坐标代入双曲线方程得

2y1b221，

x2a22y2b221，两式相减得

x1x2x1x2y1a2y2y1y2b20 (※),设中点坐标为（x,y）,又

y1y2x1x2k,代入（※）式整理得b2xa2ky0，

∴ 线段AB的中点M在过原点的直线 b2xa2ky0上.

⑶如图，作两条平行直线分别交双曲线于A、B和C、D，并分别取AB、CD的中点M、N，连接直线

又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交双曲线于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1MN；

的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为双曲线中心.

(15分)

15.证明:连结AB交DC于点M,∵PA切圆于点A,∴PACADP∵PB切圆于点B,∴BACCBP同理ABCCAP,BDPCBP

∵DAQPBC∴AQPDAQ+ADQ=BAC+CAP=BAP又∵APMQPA ∴△APQ~△MPA,∴APPMPQ∵PA切圆于点A, PB切圆于点B∴PAPB ∴PBPMPQ又∵BPMQPB∴△BPQ~△MPB

∴BQPABP∵PQB=DBQ+BDP,ABP=ABC+CBP∴DBQPAC

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