2016浙江精彩题选——数列解答题
【一、选择填空】
【二、解答题】
1.(2016名校联盟第一次)20.(本题满分15分)
设数列an满足a2 1=a, an+1an-an=1(nÎN*).
(Ⅰ)若a52,求实数 3= a的值; (Ⅱ)设bannn,(nN*),若 a=1,求证: 2£b3n<2(n³2,nÎN*).
2.(2016嵊州期末20)(本小题满分14分)
已知数列a,且aan4n的首项为a11n1a1,nN*.
n(Ⅰ)求a2,a3的值,并证明:a2n1a2n12; (Ⅱ)令bb:91nna2n12,Snb1b281S7n.证明9n6.
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185,a3. …………………2分 27a4a2a21一方面,an12n,所以n1. …………………3分 2nan1an1an2an1a2由题可知an0,所以n10,即an12与an2异号,
an2故an22与an2同号,于是a2n12与a2n12同号.
又 a1210 所以a2n12. ……………5分
解:(Ⅰ)a2另一方面,
a2n1442a2n124a2n4a2n115a2n18a2n1a2n1a2n1a2n1a2n1.a2n14a2n12a2n152a2n151a2n11
……………7分
由a2n12知 a2n1a2n10,即a2n1a2n1.
……………8分 a2. 综上所述:a2n12n1a2n142a2n2a2n11a2(Ⅱ)a2n12, 2n1a4a2n12a2n152n11a2n11b1由bna2n12知n1. ……………10分
bn2a2n151b1又1a2n1a2n12,所以n1.
9bn7而b11,所以当n2时 bbnb12b1b1nbn17n11,同理:bn92n1. ……………12分
n故Snb1b211bn177n11n1177 16717Snb1b291综上:189n11n919bn1 189197Sn ……………14分
6注:本题是可以用不动点算出通项的。
3.(2016嘉兴一模)(本题满分15分)数列{an}各项均为正数,a12有an1ancan(c0).(Ⅰ)求
1,且对任意的nN*,2cc1的值; 1ca11ca2a3
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(Ⅱ)若c1,是否存在nN*,使得an1,若存在,试求出n的最小值,若不存在,2016请说明理由. 证明:(Ⅰ)∵
1an11an11ancan2
∴1c11c,即 an1cananan11can11c a1a21ca111c a2a31ca2…… 11c anan11can∴∴得
11ccc a1an11ca11ca21can1ccc1 a11ca11ca21canan1cc112
1ca11ca2a3a1(说明:依次求出a2,a3也得满分) (Ⅱ)∵an1an得
12anan,∴{an}单调递增. 20161a1a2a2016 2由an1aann
20162111 anan1an20161a2017111 a12016a22016a201620162∵ai0(i1,2,,2016) ∴21a201712016 2016解得:a20171
此时,a1a2a20171 又∵21a2018111
a12016a22016a20172016
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∴21a11201620161
2018解得:a20181
即数列{an}满足:a1a2a20171a2018a2019. 综上所述,存在an1,且n的最小值为2018. …8分
4.(2016浙江六校联考20)已知数列{a1n}满足:an12(a4na); n (I)若a41320,求a1的值; (II)若a2|,数列{b814,记bn|ann}的前n项和为Sn,求证:Sn3解:(1)
4114202(a2)a58a2分
22或a25
.........2 当a5
2=
2时,解得a1=1或4 .........4分
当a8
2=5
时,无解 所以,a1=1或4 .........6分
(2)方法1:an1212(a4121na4)(an4an4)(an2)2 n2an2anan1212(a411na4)2a(a2n4an4)(an2)2 ② nn2anan12(a2①/②得,因为n2)a2(a2 .........9分 n1n2)(an2)(an12)2(an22)4(a12)2(a2)2(a4....()n1(1)2n1 n2)(an1n22)(a12)31(1an23)2n1 .........12分 1(12n13)1(1)2n1|an2|232441(12n132n113n
3)
① Ruize知识分享
Sn|a12||a22|...|an2|11n1444218.........14分 322...n2()2(1n1)339113333方法2:因为a14,an12又因为a14,所以an2
1(an2)20 2an4an2所以an1an0,所以{an}为单调递减数列
2an所以2an4
an2111 2an2an4an12所以:
an2111(an2)(an2), an2()n1(a12)2()n1 2an444Snb1b2...bna12a22...an22121n121n8
22()...2()2(1())444343
25(2016丽水一模20)(15分)已知数列an满足:an1an2(nN*),且
1a1a(0a1).
a(Ⅰ)证明:an1an; (Ⅱ)若不等式
11111对任意nN*都成立,求实数a1a1a2a1a2a3a1a2a3an2a的取值范围.
备注:本题是一道奇葩裂项题,裂项训练时很有价值。 解:(Ⅰ) a1a12 a2且an12an4(an2)(an2) an2
又an1ananan2(an2)(an1)0
2an1an …………………(5分)
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1a21 (Ⅱ) a1a
aa1a4122a2a12a2
aa21a8124a3a22a4 4aa┉
anan122a21a2n1n
111(12) a1aa11aa211124[22] a1a2a1a1aa1(a1)(a41)┉
1111[2] n1na1a2a3ana(a1)(a41)(a21)(a21)(a41)(a21)1111 a1a1a2a1a2a3a1a2a3an11[12]
42na(a1)(a1)(a1)11a212(1)[1(1a)]a n12aa1a1由题意a
21所以0a。…………………(15分)
2备注:本题是一道奇葩裂项题,裂项训练时很有价值。
6.(2016十二校联考20).(本小题满分15分)已知各项为正的数列an满足a11,21222ananan,nN. 133*(I)证明:0anan11(nN);
(II)求证:a1a29. ann(nN*)
4
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7. (2016宁波十校20)(本题满分15分)
设各项均为正数的数列aSnn的前n项和Sn满足a1nr. n3(Ⅰ)若a1=2,求数列an的通项公式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设b1na(nN*),数列{bn}的前n项和为Tn,
2n1求证:T2nn3n1. 解:(Ⅰ)令n1,得123r1,所以r3, ……………1分
则S1233)a(11n(nn,所以Sn13n3)an1(n2),
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两式相减,得
ann1(n2), ……………3分 an1n1an345an1123an1n(n1)(n2), ,化简得nn1a112所以
a2a3a4a1a2a32所以annn(n2), ……………6分 22又a12适合annn(n2),所以annn. ……………7分
(构造常数列等方法酌情给分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a2n1(2n1)2n,所以bn1a2n1111,
(2n1)2n2n12n12不等式成立 23+111111111Tn(n2)
1234562n12n11111111111111Tn(2)=()1232n242n1232n12n111……………………………………10分 Tnn1n22n111111112Tn()()()()
n12nn22n1nk2nk12nn1T1113n14n1(仅在k时取等号) nk2nk1(nk)(2nk1)3n122Tn
8. (2016桐乡一模20)(本题满分15分)设函数f(x)ax2bx,a,bR.若
3x21f(x)6x2对任意的xR恒成立.数列an满足a1an1f(an)(nN*).
4n2n即结论Tn成立………………………………15分 3n13n11,3(Ⅰ)确定f(x)的解析式;(Ⅱ)证明:
11an; 321. 3n(Ⅲ)设Sn为数列an的前n项和,求证:4Sn2n1
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解:(Ⅰ)令f(x)ax2bxc,由f(0)0,则c0.……..2分 令3x216x2,x1,代入不等式:f(1)4,得:ab4, f(x)(b4)x2bx6x2对任意的xR恒成立
b2,a2.f(x)2x22x…………………………………………………… 5分.
1111112(Ⅱ)an12an2an2(an)2,a1,an,故an;
222223又an12an(1an)22an1(1an1)(1an)2na1(1a1)(1an1)(1an), 由an11,1an0,所以an10,即0an,nN*;……………10分.
221112an1an2anan2(an)2(0,),故an1an,
48811a1an 322n21n1111(Ⅲ)an2(an1)2212(an2)22122(a1)2
2222n111n111n1221()2()2,
2323111n111因为2n1n,所以an()2()n,
22323所以
11n111113(13n)11故Sn(2n)(1). n23321142333所以4Sn2n1
1………………………………………………………………15分. 3n2*9.(2016大联考 20).(本大题满分15分)已知数列an满足an1can1c,nN,其
中常数c(0,).
(1)若a2a1,求a1的取值范围;
*(2)若a1(0,1),求证:对任意nN,都有0an1;
122(3)若a1(0,1),设数列an的前n项和为Sn.求证:Snn2【解析】(1)当n1时,a2ca11c.
2. 12c2因为a2a1,所以a2ca11ca1,有(ca11c)(a11)0
1, 21所以可解得a11或a11.…………2分
c因为0c
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1(1,)…………4分 c12*(2)因为an1can1c,nN,且c(0,),
22所以can0,1c0,所以an10.
所以a1的取值范围为(,1)2即an0,由an11cancc(an1)(an1),
因为an0,c0,所以可知an11与an1同号. 所以也与a11同号.…………7分 因为0a11,所以a110. 所以an10, 即an1.
综上可知,0an1.得证.………… 9分
2an10.(2016宁波二模)已知数列{an}中,a11,an1.
tan2(Ⅰ)若t=0,求数列{an}的通项公式。
2nan22a14a22。 (Ⅱ)若t=1,求证:3a12a22an23
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10.(嘉兴二模 20).(本题满分15分)
2已知点列Pn(xn,)与An(an,0)满足xn1xn,
xnPnPn1AnPn1,且PnPn1AnPn1,其中nN*,x11.
yP1P2P3x(Ⅰ)求xn1与xn的关系式;
2222x3xn(Ⅱ)求证:n2x214n.
OA1A2(第20题)
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法二:xn1xn(xn1xn)(xn1xn)(xn1xn)222x22n(2,4) xn1xn111. (2016温州二模20) (本题满分15分)设正项数列{an}满足:a11,且对任意的
2222n,mN,nm,均有anm•anmnm成立.
(1)求a2,a3的值,并求{an}的通项公式; (2)(ⅰ)比较a2n1a2n1与2a2n的大小; (ⅱ)证明:a2a4
a2nn(a1a3n1a2n1).
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12. (2016五校联考二20)(本小题满分14分)已知正项数列an满足:
233Sna1a23(Ⅰ)求数列an的通annN*,其中Sn为数列an的前n项的和。
项公式; (Ⅱ)求证:1112n1(n1)n1a1a2a33annN*
32323213。 a2n132233解:(Ⅰ)∵Sna1a2233 ∴Snaa1123 an122332两式相减得SnSn1ananSnSn1anSnSn1an 22则SnSn1an,Sn1Sn2an1
a两式相减得
所以
n22an1anan1anan11ann 4分
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32(Ⅱ)根据(Ⅰ)知,11 annn22k2n2k∵k2n2k n12∴1kk321(2n2k)(2n2k)32322k2n2kk2n2k2n1n1
即1112
aka2n2kan11,n,累加后再加得
an1323232令k1,2,3,32111a1a2a3321111222aaaa2n1n1n1n132323232112 aan1n1323212n1 9分 2n1(n1)n1an1又∵而
111122331113(2n1)2n1223312
(2n1)2n11kk111111kk111
kkkkkk1kk1kkk1kkk12k11112
kk1kkk1,2n1,累加得
令k2,3,4,1221331(2n1)2n111122122n12n12n32323211121222332
∴
1112n1(n1)n1a1a2a313 14分 a2n1
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法二1kk11kkkk1kk11
k1k1k1k1()2
2k1k111,再裂项放缩即可 k1k1(k1k1)k1k1k1k113.(2016诸暨质检20)20.(本题满分15分)已知数列{an}的各项都大于1,且
22*a12,an1an1an10(nN).
(Ⅰ)求证:
n7anan1n2; 4111222a1232a232a3311 22an3(Ⅱ)求证:
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14.(2016样卷)已知数列an满足a11,an112an1(nN*).
1(Ⅰ) 证明:数列an为单调递减数列;
2(Ⅱ) 记Sn为数列an1an的前n项和,证明:Sn解:(Ⅰ)由题意知an0,故 an11121, .........6分 12an1an25(nN*). 3
所以数列an1为单调递减数列. 2111(Ⅱ) 因为a11,a2,所以,当n3时an,
326121得an, 故an(nN*). .........8分 333因为
an2an1an1an26, .........11分
2an311此处想法非常人能想到,此法最无用,学生不会想到的
6故an1ana2a1()n1..........13分
11
61()n11225(nN*). .........15分 所以Sna2a16153111111法二:(Ⅱ) 因为a11,a2,所以,当n3时an,
3261121132得an, 故an(nN*).
13332an15an2an1
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an1an=an11111an|an1||an|2222
nn1133[1][1]nn1n112565Snai1ai|ai||aj|3322i1i1j211551155526
3341231155
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