微分学很有用

第１９卷第６期　２０１６年１１月　高等数学研究　Ｖｏ１．１９，Ｎｏ．６　ＮＯＶ．，２Ｏ１６　ＳＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　Ｃ０ＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８—１３９９．２０１６．０６．０２１　微分学很有用　易颖　，张莉丽。　（１．广州中医药大学经管学院，广东广州５１０００６；　２．海军陆战学院数学教研室，广东广州５１０４３０）　摘　要　高等数学核心内容是微积分学，学习微分学以后可以帮助我们掌握很多技能，例如可以求非均匀变化量　的瞬时变化率、可以求各种方程根的近似值、可以求函数的极值和最值、可以精准地画出函数的图像、可以计算近　似增量、可以利用函数的幂级数展开式求非幂函数初等函数的函数近似值等．　关键词　高等数学；微分学；技能　中图分类号Ｏ１３—４；Ｇ６４２　文献标识码Ａ　文章编号１００８—１３９９（２０１６）０６—００６１—０２　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ａｎｄ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ａｒｅ　Ｖｅｒｙ　Ｕｓｅｆｕｌ　Ｙｉ　Ｙｉｎｇ，Ｚｈａｎｇ　Ｌｉｌｉ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｅｃｏｎｏｍｉｃ　ａｎｄ　Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｇｕａｎｇ　Ｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｃｈｉｎｅｓｅ　Ｍｅｄｉｃｉｎｅ，Ｇｕａｎｇｚｈｏｕ　５１０００６，ＰＲＣ；　２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｍａｒｉｎｅ　ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｇｕａｎｇｄｏｎｇ　５　１０４３０，ＰＲＣ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ａｎｄ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａ１　ａｒｅ　ｔｈｅ　ｃｏｒｅ　ｃｏｎｔｅｎｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｗｅ　ｃａｎ　ｍａｓｔｅｒ　ｌｏｔｓ　ｏｆ　ｓｋｉｌｌｓ　ａｆｔｅｒ　ｌｅａｒｎｉｎｇ　ｔｈｅｍ．Ｆｏｒ　ｅｘａｍｐｌｅ，ｗｅ　ｃａｎ　ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ　ｒａｔｅ　ｏｆ　ｃｈａｎｇｅ　ｆｏｒ　ａ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｏｆ　ｎｏｎｕｎｉｆｏｒｍ　ｖａｒｉａｔｉｏｎ，ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｒｏｏｔｓ　ｏｆ　ａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄ　ｃａｌｃｕｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｅｘｔｒｅｍａｌ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｔｈｅ　ｉｍａｇｅ　ｏｆ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎｄ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ａ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｐｏｗｅｒ　ｓｅｒｉｅｓ．Ｗｅ　ｍｕｓｔ　ｐａｙ　ａｔｔｅｎ—　ｔｉｏｎ　ｔｏ　ｃｕｌｔｉｖａｔｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ＂ｖａｒｉｏｕｓ　ｐｒｏｆｅｓｓｉｏｎａｌ　ｓｋｉｌｌｓ　ｉｎ　ｏｕｒ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｐｒａｃｔｉｃｅ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ　ａｎｄ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ；ｓｋｉｌｌｓ　国内理工农医林等不同专业本专科教学中几　等自然社会还是人类的精神世界、抑或是在日常生　活中，相对于时间、空间而言，变量远多过常量，比　乎都有《高等数学》课，部分专业是学习《微积分》，　虽然很多都和专业结合会冠以《××高等数学》，但　核心内容也是最重要的篇幅就是一元与多元函数　的微分学与积分学．微积分的内容学生普遍反映比　较难懂，不接地气，学过以后的学生脑子里只剩下　如重力加速度、动物的体重身高、化学反应的速度、　ＧＤＰ变化的速度等，而且变量的变化更多地是非均　匀变化的．举例说明，一辆汽车从发动到行驶起来　再到目的地，它的速度都是变化的，而且是非均匀　变化的，相同的时间段内它走过的位移一般也是不　一几个导数与积分的公式，这恐怕与很多年来高数教　学忽视其广泛应用有关．结合在高等数学这门课程　样的，假如我们想求平均速度，那是非常容易的，　的教学体会和探索，我们首先总结了这门课中学生　通过学习微分学可以掌握的几项技能．　一但是瞬时速度如何求呢？能想到下面的这个方法　是很不容易的，现在已经成了我们讲解导数引入的　一、可以求非均匀变化量的瞬时变化率一导　个经典例子．假如我们知道了位移随时间变化的　数的应用　“一规律ｓ—ｓ（　）（如自由落体运动的位移公式），那如何　获得位移的瞬时变化率即速度呢？做法是先求很　短的一段时间ｔ。到ｔｏ＋Ａｔ内的平均速度　一　个人不可能两次踏人同一条河流”是古希　腊唯物主义哲学家赫拉克利特的名言，他主张“万　．十　凸　物皆动”、“万物皆流”，我们知道，不管是物理、化学　＝　Ａｓ然后利用Ａｔ越小平均速度　，‘　越接近ｔ。时刻的瞬时速度这一设想，再利用极限工　收稿日期：２０１５—０５—２３　修改日期：２０ｌ５一ｉＩ—Ｏ２　具，定义　（ｔ。）一ｌｉｍ　．这种方法可适用于一切非　△ｆ＿．０上ｊ‘　基金项目：广州中医药大学２０１５年教育科学研究课题．　作者简介：易颖（１９８１一），女，讲师，硕士学位，研究方向：随机运筹　学、医学统计学、数学模型．ｓｈａｎｄｏｎｇｙｙ＠ｇｚｕｃｍ．ｅｄｕ．ｃｎ　均匀变量的瞬时速度的求解问题，Ｓ（　）可以是身高、　体重、浓度等，　（ｔ。）就可以是身高、体重、浓度变化　６２　高等数学研究　２０１６年１１月　的速度，由此，我们可以抽象出导数的概念，即因变　量的增量与自变量的增量之比的极限，导数的英文　是ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ，意为导出来的、衍生的、派生出来的，　过研究函数的一阶和二阶导数获得的，因此学习了　极限和微分学以后，我们就可以动手画出十分精准　｜　的函数图像，为进一步研究函数的性质给出准确的　参考．　这与它的本质也吻合起来了．扩展一些说，只要是　一个因变量相对于引起它变化的自变量而言是非　均匀变化的，那我们就可以用导数来研究它的变化　规律．比如一根绳子的质量是用线密度和长度来计　算的，那质量对长度的导数就是线密度，同样有面　密度、体密度等的概念．　五、可以近似计算增量　在日常生活中，我们会遇到一些有着微小改变　的情况，比如，一块铁片热胀冷缩，求其面积改变　量，比如给一个铁球刷油漆，油漆层有一定的厚度，　问需要多少油漆，实际上这个问题就是求刷油漆后　二、可以求很多方程的近似根　在我们未学微分学时，在中学阶段，我们只会　求一元一次方程、一元二次方程的根，求三次、四次　方程根就不方便了，求五次以上方程的根的一般方　法就不存在，也就是说求方程的根的能力非常有　限，在现实应用中，我们常常会面对高次方程甚至　是超越方程的根的求解问题，有些时候也并不需要　半径稍大一点的球的体积和刷油漆前半径小一点　的球的体积改变量．这类问题统一可以归纳为函数　ｙ－－．厂（　）自变量的改变量Ａｘ导致的因变量的改变　量△　的求解．如果需要求精确值就要用两个半径　的球的体积之差，实际上我们尽可以了解近似值即　可准备油漆，此时微分派上了用场，对于可导函数　而言，因变量改变量△　的主要部分就是微分ｄｙ一　（ｘ）Ａｘ，即Ａｙ￣．ｄｙ—ｆ　（ｚ）△ｚ．微分的英文是ｄｉｆ－　ｆｅｒｅｎｔｉａｌ，意为有差别的、有差异的，其实也是很微　小的变化的意思，也和微分的字面意思吻合起来．　因此，遇到计算改变量的问题时，特别是近似计算，　微分是个不错的选择．　求精确的根，那可以怎么做呢？学了微分学以后我　们就可以通过牛顿切线法也叫牛顿迭代法求解非　线性方程和超越方程的近似根，牛顿切线法程序简　单，其在单位根附近具有二阶敛速，是近似根精确　化的一种相当有效的方法．也可以通过编写程序来　实现，并可以给出误差估计口］．．　六、可以求非幂函数的函数值　我们知道在计算机中，利用ｅｘｃｅｌ就可以很轻　松地得到几乎所有初等函数在某点的函数值，大家　有没有想过，计算机程序里面是怎么算出来的吗？　是直接带人某个初等函数的表达式吗？实际上，计　三、可以求函数的极值和最值　在现实生活中我们常常会遇到一些问题，比如　说吃下药后什么时候药物浓度达到峰值，出租若干　套公寓，租金定在多少钱时利润最高，一块铁皮做　成什么形状的长方体才能达到体积最大等等，通过　我们的设定，问题最终会转化成求函数的极值和最　算机很轻松地可以算幂函数的函数值，但是非幂函　数，如指数函数、正余弦函数就并非带入运算，而是　值的问题，中学里面求最值基本上是解决二次函数　也就是抛物线的顶点问题，其他复杂的函数就无从　下手，学了微分学以后，我们就可以通过求函数ｙ一　将它们展开成幂级数，用部分多项式就可以做近似　计算了，这还是导数的功劳．　此上是学习微分学后可以掌握的部分技能，算　是抛砖引玉，供大家参考和实践．知识改变命运，知　识就是力量，我想在数学类课程的教学过程中，坚　厂（ｚ）的导数获得驻点或不可导的点Ｘ。来求得函数　的极值和最值，对于二次函数还有拉格朗日函数法　可以获得条件极值，这样极值和最值问题就迎刃而　解了．　持和实践相结合就可以对课程的价值有较深的　理解．　参考文献　四、可以精准地画出函数的图像　我们在中学时学习过函数的作图方法，基本上　Ｅｌｉ　王金江，用牛顿斜线法求方程的近似解［Ｊ］．黑龙江科　技信息，２００８，（５）：１２８．　直线是两点作图，非直线是五点作图或七点作图，　但是非直线的五点或七点作图无法精准的画出函　数的图像，因为我们知道了函数的定义域、值域、奇　［２］周永治、严云良，医药高等数学第四版Ｉ－Ｍ］．北京：科　学技术出版社，２０１０．　［３］同济大学教研室，高等数学（上）第六版［Ｍ］．北京：　偶性、周期性之后还要清楚函数在区间的单调性、　极值、凹凸性和拐点以及渐近线的问题才能画出准　确的图像，而单调性、极值、凹凸性和拐点是需要通　高等教育出版社，２０１３．　［４］周钢，在一元函数微积分教学中融入经济专业知识的　探索［Ｊ］．中国科教创新导刊，２０１０，（３２）：９０．