关于丢番图方程x~3±27=py~2

第３１卷第２期　２０１３年６月　湖北民族学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｆｏｒ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ（Ｎａｔｕｒｌａ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３１　Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．２０１３　关于丢番图方程　３±２７＝ｐｙ２　钱立凯　，杜先存　（１．曲靖师范学院教师教育学院，云南曲靖６５５０１１；　２．红河学院教师教育学院，云南蒙自６６１１９９）　摘要：利用初等方法得出了：Ｐ＝３（３ｋ＋１）（３ｋ＋２）＋１（ｋ一１，２（ｍｏｄ４））为奇素数时，丢番图方程　’＋２７＝Ｐｙ　无正整数　解；ｐ＝３ｋ（　＋１）＋１　１（ｍｏｄ８）（ｎ；ｋ（ｍｏｄ　１３））为奇素数时，丢番图方程Ｘ　一２７＝ＰＹ。无正整数解．　关键词：丢番图方程；奇素数；正整数解；同余式　中图分类号：０１５６　文献标志码：Ａ　文章编号：１００８－８４２３（２０１３）０２—０１８２—０２　Ｏｎ　ｔｈｅ　Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｘ　＋２７＝ｐｙ　ＱＩＡＮ　Ｌｉ—ｋａｉ　．ＤＵ　Ｘｉａｎ－ｃｕｎ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｔｅａｃｈｅｒ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｑｕｊｉｎｇ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｕｊｉｎｇ　６５５０１１，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｔｅａｃｈｅｒｓ’Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｏｎｇｈｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｍｅｎｇｚｉ　６６１　１９９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｅｔ　Ｐ　ｂｅ　ａｎ　ｏｄｄ　ｐｒｉｍｅ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｗｅ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｘ３＋２７＝ｐｙ　ｈａｓ　ｎｏ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｗｈｅｒｅＰ＝３（３ｋ＋１）（３ｋ＋２）＋１（　（ｒｏｏｄ８）（ｎ§ｋ（ｍｏｄｌ３））．　１，２（ｍｏｄ４））．Ｉｎ　ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｗｅ　ａｌｓｏ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　一２７＝ｐｙ　ｈａｓ　ｎｏ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｗｈｅｒｅ　Ｐ＝３ｋ（　＋１）＋１　１　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｏｄｄ　ｐｒｉｍｅ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ　方程：　±２７＝Ｄｙ　（　，Ｙ∈Ｎ，Ｄ＞０，且无平方因子）　（１）　是一一类重要的丢番图方程，其整数解已有不少人研究过．Ｄ无６ｋ＋１型素数的奇次幂因子时，１９８８年，曹玉　书…给出了不定方程（１）的全部整数解；当Ｄ无平方因子且不能被６ｋ＋１型素数整除时，１９９６年，倪谷炎［２］　给出了ｐ＝３时不定方程　－＋ｐ　＝ｏｙ　的全部非平凡整数解；高丽和强春丽　给出了方程Ｘ３＋２７＝２８ｙ　的全部　整数解；李双娥和林丽娟　给出了方程Ｘ３＋２７＝７ｙ　的全部整数解；田志勇和罗明　给出了方程　＋２７＝９１ｙ　的全部整数解；李双娥　给出了方程　＋２７＝２６ｙ　的全部整数解．本文用初等方法给出方程（１）无解的充分　条件．　引理１　无正整数解．　设Ｐ是奇素数，如果Ｐ＝３（３ｋ＋１）（３ｋ＋２）＋ｌ，其中ｋ是非负整数时，则丢番图方程　。＋１＝３ｐｙ　引理２［　设ｎ－６（ｍｏｄｌ３），Ｄ＝３ｎ（ｒｔ＋１）＋１为奇素数，则不定方程　一１＝３Ｏｙ　无正整数解．　定理１若Ｐ＝３（３ｋ＋１）（３ｋ＋２）＋１为奇素数，其中ｋ∈Ｎ，且ｋ＝１，２（ｍｏｄ４），则丢番图方程：　＋２７：ＰＹ　（２）　无正整数解．　证明　－０（ｍｏｄ３）时，易知ｙ－０（ｍｏｄ９），所以设　＝３ｘ　，ｙ＝９ｙ　，则（２）式可化为　。　＋１＝３ｐｙ　，由引理　１知方程　。　＋１＝３ｐｙ　无正整数解，故方程（２）无正整数解．　ｉｉ当　－Ｏ（ｍｏｄ３）时，（２）式可化为（　＋３）（　－３ｘ＋９）＝ｐｙ　，又ｇｅｄ（ｘ＋３，Ｘ２－３ｘ＋９）＝１，且Ｐ为奇素数，故　方程（２）可以分解为以下两种可能的情况：　情形ｉ：　＋３＝ｐｕ　，Ｘ２－３ｘ＋９＝ｖ　，ｙ＝ｕｖ，ｇｃｄ（¨，　）＝１　情形ｉｉ：ｘ＋３＝Ｍ　，２－３ｘ＋９＝ｐｖ　，　：删，ｇｃｄ（ｕ，　）＝１　以下分别对这两种情形进行讨论：　收稿日期：２０１３—０４—０３．　基金项目：云南省教育厅科研基金（２０１２Ｃ１９９）．　作者简介：钱立凯（１９８２一），男（白族），讲师，硕士，主要从事数学教育及初等数论的研究　第２期　钱立凯等：关于丢番图方程Ｘ３＋２７＝ｐｙ　ｌ８３　对情形ｉ，由二式得　＝一５，　＝０，　＝３，　＝８，代入第一式均不成立．故情形ｉ无方程（２）的正整数解．　对情形ｉｉ，由一式得　＝Ｕ２ｍ３，因为“。＝０，１（ｒｏｏｄ４），所以　＝１，２（ｍｏｄ４），故，Ｘ２Ｄ３ｘ＋９－－３（ｍｏｄ４），又因为　Ｘ２－３ｘ＋９为奇数，Ｐ为奇素数，故　。为奇数，即　三１（ｍｏｄ４）．又Ｐ＝３（３ｋ＋１）（３ｋ＋２）＋１＝３ｋ　＋３ｋ＋３（ｍｏｄ４），而　后一１，２（ｒｏｏｄ４），故Ｐ一１（ｒｏｏｄ４），则ｐｖ　一１（ｒｏｏｄ４），故３；　＋３ｘ＋９＝　一１（ｒｏｏｄ４），矛盾．故情形ｉｉ无方程　（２）的正整数解．　综上有方程（２）在题设条件下无正整数解．　定理２若Ｐ＝３ｋ（ｋ＋１）＋１；１（ｒｏｏｄ８）为奇素数，ｋ５－６（ｍｏｄｌ３），则丢番图方程：　一２７＝ＰＹ　（３）　无正整数解．　证明ｉ因为　；０（ｍｏｄ３），所以　－２７—０（ｍｏｄ２７），故ＰＹ　；０（ｍｏｄ２７），又因为Ｐ是奇素数，故Ｙ　；０　（ｍｏｄ２７），即ｙ－＝Ｏ（ｍｏｄ９），故设Ｘ－－＇３ｘ　，　＝９ｙ。，则方程（３）可化为　。３＿１＝３ｐｙ。　，又因为Ｐ为奇素数，由引理２　知方程　一１＝３ｐｙ　无正整数解，故方程（３）无正整数解．　ｉｉ当　＝－０（ｍｏｄ３）时，因为方程（３）可化为（　一３）（Ｘ２＋３ｘ＋９）＝　，又ｇｃｄ（ｘ＋３，．￣２ｍ－，－３ｘ＋９）＝ｌ，且Ｐ为奇　素数，故方程（３）可以分解为以下两种可能的情况：　情形ｉ：　一３＝ｐｕ　，２＋３ｘ＋９＝　，ｙ＝删，ｇｃｄ（Ｍ，　）＝１　情形ｉｉ：　一３＝　，Ｘ２＋３ｘ＋９＝ｐｖ　，ｙ＝删，ｇｃｄ（Ｍ，　）＝１　对于情形ｉ，由二式得　＝－８，　＝５，　＝－３，　＝０，代入第一式均不成立．故情形ｉ无方程（３）的正整数解．　对于情形ｉｉ，由一式得　＝　。＋３，因ｕ。　０，１，４（ｍｏｄ８），故　一３，４，７（ｍｏｄ８），所以　＋３　＋９；３，５，７　（ｒｏｏｄ８）．又因为　＋３　＋９为奇数，Ｐ为奇素数，所以　为奇数，则　；１（ｒｏｏｄ８），又Ｐ＝３ｋ（ｋ＋１）＋１；１　（ｍｏｄ８），则ｐｖ　１（ｍｏｄ８）．所以有３，５，７　＋３ｘ＋９＝ｐｖ　＝１（ｒｏｏｄ８）矛盾，故情形ｉｉ无方程（３）的正整数解．　综上有方程（２）在题设条件下无正整数解．　参考文献：　［１］曹玉书．关于丢番图方程　±１＝Ｏｙ　［Ｊ］．黑龙江大学自然科学学报，１９８８（２）：４—８．　［２］倪谷炎．关于丢番图方程　±ｐ　＝Ｏｙ　［Ｊ］．四川大学学报：自然科学版，１９９６（６）：６５８—６６４．　［３］高丽，强春丽．关于不定方程　＋２７＝２８ｙ＿２［Ｊ］．云南师范大学学报，２０１３，３３（１）：１—３．　［４］李双娥，林丽娟．关于不定方程　＋２７＝７ｙ２［Ｊ］．重庆工商大学学报：自然科学版，２００７，２４（４）：３２５—３２７．　『５］　田志勇，罗明．关于不定方程　０＋２７＝９１ｙ　［Ｊ］．重庆工商大学学报：自然科学版，２０１２，２９（１）：１卜１３．　［６］陈晓化，李志苹．关于Ｄｉｏｐｈａｎｔｉｎｅ方程　＋１＝　［Ｊ］．重庆工学院学报：自然科学版，２００９，２３（４）：４４—４５．　［７］杜先存，史家银，赵金娥．关于不定方程　一１＝　［Ｊ］．西南民族大学学报：自然科学版，２０１２，３８（５）：７４８－７５１