两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系

简介：对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。所得直线l在两圆的5种位置关系下的几何意义以及l已知两圆C1、C2的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下： 一、预备知识：圆幂定理:

二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴 三、定理：根轴与两圆连心线垂直

四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线 五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线 六、两圆相离根轴的几何意义与位置 七、两圆内含根轴的几何意义与位置 八、结论：

正文

对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。设两圆C1:xyD1xE1yF10，

22C2:x2y2D2xE2yF20，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直

线方程为l:(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0。现在我想探讨的问题是：所得直线l在两圆的5种位置关系下的几何意义以及l已知两圆C1、C2的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下：

一、预备知识：圆幂定理:

1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

3.割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。

统一归纳为圆幂定理：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。 4．圆幂定理推论：设圆半径为r，圆心为O， 若P在圆外，则

PAPBPCPDPOrPOrPOr2POr2切线长；

222若P在圆内，PAPBPCPDrPOrPOrPOPOr。

2222（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值） 二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴

1．定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。这个值称为点P到圆O的幂。（若P在圆外，这个值就是切线长的平方） 2．定义两圆的根轴：两个非同心圆相减

(x2y2D2xE2yF2)(x2y2D1xE1yF1)0

总是得到一条直线l：D1D2xE1E2yF1F20 因(xyD2xE2yF2)(xyD1xE1yF1)0

222222(xa2)(yb2)r2(xa1)(yb1)r10

2222PO22r22PO12r120PO22r22PO12r12 由此可知：直线l是到两圆幂相等的点的集合。

两圆的根轴定义：两圆方程相减所得的方程对应的直线叫两圆的根轴，即到两圆幂相等的点的集合。（不相交时，就是两圆切线长相等的点的集合） 三、定理：根轴与两圆连心线垂直 圆C1的圆心坐标是(D1E1DE,)，圆C2的圆心坐标是(2,2)。1。当D1D2时，两2222圆非同心，则E1E2得过两圆心的直线的斜率不存在，而直线l的斜率为零，故直线l与过两圆心的直线垂直；2。当E1E2时，两圆非同心，则D1D2得过两圆心的直线的斜率为零，而直线l的斜率不存在，故直线l与过两圆心的直线垂直；3。当D1D2且E1E2时，得过两圆心的直线的斜率是垂直。

四、两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线

22设P1x1,y1、P2x2,y2是两圆的交点，则有x1y1D1x1E1y1F10和

E1E2DD2，而直线l的斜率是1，故直线l与过两圆心的直线

D1D2E1E2x12y12D2x1E2y1F20成立，即

P1x1,y1满足方程

(x2y2D2xE2yF2)(x2y2D1xE1yF1)0，

即D1D2xE1E2yF1F20；同理P2x2,y2也满足它，所以直线l表示两圆相交弦所在直线。

五、两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线

221.设P1x1,y1是两圆的切点，则有x1y1D1x1E1y1F10和

x12y12D2x1E2y1F20成立，即P1x1,y1满足方程

(x2y2D2xE2yF2)(x2y2D1xE1yF1)0，

即D1D2xE1E2yF1F20； 2.又 由三知根轴与两圆连心线垂直 由1.2.知，根轴的几何意义就是公切线 六、两圆相离根轴的几何意义与位置

两圆相离根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹），但是，结论比较抽象，具体直线l在哪里？由三定理知根轴与两圆连心线垂直，因此只需探求根轴l与两圆连心所在直线垂直的垂足K位置即可

设两圆C1:(xa1)(yb1)r1，C2:(xa2)(yb2)r2，设两圆的圆心分别为O1,O2半径为r1,222222r2，以O1为圆心,R1为半径作圆,以O2为圆心, R2为半径作圆,满足

2r2r22R12R2显然,原来两圆方R1R2OO12， |那么,新得到的两圆是外切的；再令1程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样,为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以,只需解方程组:解得:

1r12r22O1O2R1R1R2O1O22OOR1R2O1O21222 rr221222221r2r1R1R2OOr1r2R1R2ROO121222OO12R1rrO1O222R2r2r1O1O2221222K内分O1O2所称比a1a2xk1内分点

bb2y1k11r12r22O1O2又R1r12O1O21222rrrOO12122O1O2r1 2O1O2=

211O1O2r1r22OOr1r2O1O2r1r20； 2O1O2122O1O2同理R2r20；故K在两圆连心线上两圆之间的线段上且r1r2时，垂足K在

圆心O1与线段O1O2中点连线的延长线上；r1r2时，垂足K在圆心O2与线段O1O2中点连线的延长线上。

由以上可知：垂足K的求法与位置已明朗化，抽象的直线l的位置也已明朗化。举例如下：

2222设C1:xy1，C2:(x4)(y4)16

1442R1rrO1O2222R2r2r1O1O242124221222222217 471704a1a21747xxkk17116147直线O1O2斜率为1，所以所求根轴方程为：1704yyb1b24717kk17116147y17171x8x8y170此结果验证与直接相减结果一致。 1616七、两圆内含根轴的几何意义与位置

同样两圆内含根轴的几何意义是到两圆幂相等的点的轨迹（既到两圆切线长相等的轨迹） 结论同样抽象，具体直线l在哪里？根轴与两圆连心线垂直，仍需探求根轴l与两圆连心所在直线垂直的垂足K的位置。

圆方程、圆心、半径设法同上，同样以O1为圆心,R1为半径作圆,以O2为圆心, R2为半径作

2r2r22R12R2圆,满足R1R2OO 显然,原12， |那么,新得到的两圆是内切的；再令1来两圆方程相减所得的方程和新得到的两圆方程相减所得的方程一样为同一直线,即为新得两圆的公切线.；所以，只需解方程组 方程组等价于

R1R2O1O2 不妨设r1r2（既R1R2）时：

2222r1r2R1R21r12r22O1O2R1R1R2O1O22OOR1R2O1O21222 rr221222221r1r2R1R2OOr1r2R1R212R22OOO1O212rrO1O2R1222R2r1r2O1O221222K外分O1O2所称比a1a2xk1 yb1b2k11r12r22R1r1O1O22O1O21r1O1O22O1O21222rrrOO112122O1O2r1 2O1O221r22rrO1O2r1r2O1O22O1O212OO12r1r2）R1r11r1r2O1O2r1r2O1O20；又R1R2 2O1O2故垂足K在圆心O1 O2的延长线上且在圆O1外部；

由以上可知：垂足K的求法与位置已明朗化，抽象的直线l的位置也已明朗化。举例如下：

2222设C1:xy9，C2:(x1)(y1)1

31rrO1O2R1222R2r1r2O1O23212212222222225 ，

3501aa235xkxk151213 直线O1O2斜率为1，所以所求根轴方程为：

501b1b235ykyk51213y551xxy50，此结果验证与直接相减结果一致。 22八、结论：

1.根轴与两圆连心线垂直

2. 两圆相交根轴的几何意义就是公共弦所在直线

3. 两圆相切（内切或外切）根轴的几何意义就是公切线

4. 两圆相离根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直， 它的垂足K

22R1r1r2O1O2 K内分O1O2所称比R2r22r12O1O2225. 两圆内含根轴的几何意义，根轴与两圆连心线所在直线垂直， 它的垂足K外分O1O2所称

r12r22O1O2R122比 2R2r1r2O1O22由以上知：所得直线l在两圆的5种位置关系下抽象的几何意义被直观确定。