乘积最大

乘积最大

今年是国际数学联盟确定的“2000—世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛活动，你的好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积最大。

同时，为了帮助选手能够理解题意，主持人还举了如下一个例子：

有一个数字串：312，当N=3，K=1时会有两种分法：

⑴3*12=36

⑵31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62。现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入

程序的输入共有两行：

第一行共有2个自然数N，K（2≤N≤40，1≤K≤6）

第二行是一个长度为N的数字串。

输出

结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

样例输入

4 2

1231

样例输出

62

题解

由于自然数位数的上限为40，乘号数的上限为6，因此最大乘积位数的上限接近42位。显然，运算任何整数类型都无法容纳如此之大的数据，只能采用高精度运算，限于篇幅，对于高精度的加法运算、乘法运算和比较大小的运算，这里不作介绍，只是对’x’的最佳插入方式进行探讨：

假设s1‥si(2≤i≤n)中插入j个’*’。其中s1‥sk中插入了j-1个’*’，即乘式中的第

j+1项为sk+1‥si(j≤k≤i-1)：

s1sk*sk1si插入j1个'*' 设

ans[i，j]—长度为i的数串中插入j个’*’的最大乘积（整型数组）。显然

ans[i，0]=si…s1对应的整型数组；

ans[i，j]=m}）

1ki1max{ans[k，j-1]*sk+1‥si} （1≤i≤n， 1≤j≤min{i-1，

ans[n,m]即为其解。

由于乘式中第j+1项sk+1‥si为常量，因此要使得ans[i，j]最大，则s1‥sk中插入j-1个’*’的乘积必须最大；同样，为了寻找第j个’*’的最佳插入位置，必须一一查阅子问题ans[j，j-1]‥ans[i-1，j-1]的解。显然该问题具备最优子结构和重叠子问题的特征，适用于动态程序设计方法求解。设

阶段i：数串的长度（2≤i≤n）

状态j：长度为i的数串中插入的’*’个数（1≤j≤min{i-1，m}）

决策k：第j个’*’的最佳插入位置（j≤k≤i-1）

由此得出算法：

输入n，m和数串s；

for i←1 to n do ans[i，0]←s1..si对应的整数数组；

for i←2 to n do {阶段：枚举数串的长度}

for j←1 to min{i-1，m} do {状态：枚举长度为i的数串中插入的’*’个数}

for k←j to i-1 do {决策：枚举第j个’*’的插入位置}

begin

n←sk+1..si对应的整数数组； {计算第j+1项}

ans[i，j]←max{ans[i，j]， ans[k，j-1]*n}； {计算状态转移方程}

end；{for}

输出最大乘积ans[n，m]；