量子力学典型例题解答讲解

量⼦⼒学例题第⼆章

⼀．求解⼀位定态薛定谔⽅程

1．试求在不对称势井中的粒⼦能级和波函数[解] 薛定谔⽅程:

当, 故有

利⽤波函数在处的连续条件

由处连续条件:

由处连续条件:

给定⼀个n 值,可解⼀个, 为分离能级.

2．粒⼦在⼀维势井中的运动

求粒⼦的束缚定态能级与相应的归⼀化定态波函数[解]体系的定态薛定谔⽅程为

当时

对束缚态解为

在处连续性要求

将代⼊得

⼜

相应归⼀化波函数为:

归⼀化波函数为:

3分⼦间的范得⽡⽿斯⼒所产⽣的势能可近似地表⽰为

求束缚态的能级所满⾜的⽅程

[解]束缚态下粒⼦能量的取值范围为

当时

当时

薛定谔⽅程为

令

解为

当时

令解为

当时

薛定谔⽅程为

令

薛定谔⽅程为

解为

由

波函数满⾜的连续性要求,有

要使有⾮零解不能同时为零则其系数组成的⾏列式必须为零

计算⾏列式,得⽅程

例题

主要类型: 1.算符运算; 2.⼒学量的平均值; 3.⼒学量⼏率分布.⼀. 有关算符的运算1.证明如下对易关系

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)[证](1)

(2)

(3)

⼀般地,若算符是任⼀标量算符,有

(4)

⼀般地,若算符是任⼀⽮量算符,可证明有

(5)

=0

同理：。

2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑⼀维情况

为厄密算符, 为厄密算符,为实数

为厄密算符为厄密算符

3已知轨道⾓动量的两个算符和共同的正交归⼀化本征函数完备集为,

取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值

分别为: 。

[证]

。

是的对应本征值为的本征函数

是的对应本征值为的本征函数⼜:

可求出:

⼆.有关⼒学量平均值与⼏率分布⽅⾯

1.(1)证明是的⼀个本征函数并求出相应的

本征值；(2)求x在态中的平均值

[解]

即

是的本征函数。本征值

2.设粒⼦在宽度为a的⼀维⽆限深势阱中运动，如粒⼦的状态由波函数

描写。求粒⼦能量的可能值相应的概率及平均值【解】

宽度为a的⼀维⽆限深势井的能量本征函数

注意:是否归⼀化波函数

能量本征值

出现的⼏率 , 出现的⼏率

能量平均值

另⼀做法

3 .⼀维谐振⼦在时的归⼀化波函数为

所描写的态中式中，式中是谐振⼦的能量本征函数，求（1）的

数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；

（4）时能量的可能值相应的概率及平均值

[解](1) , 归⼀化，，

，

（2），

，；，；

，；

（3）时，所以：

时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。4．设氢原⼦处于状态

求氢原⼦的能量,⾓动量平⽅以及⾓动量z分量的可能值,这些可能值出现的⼏率和这些⼒学量的平均值。

[解] 能量本征值能量本征

态当n=2

时

本征值

为的

，出现的⼏率为100％

可能值为出现的⼏率分别为：。

5 .在轨道⾓动量和共同的本征态下,试求下列期望值

(1).; (2).

[解]：

三测不准关系

1.粒⼦处于状态式中为常数,求粒⼦的动量的平均值,并计算

测不准关系[解]先归⼀化

(1)动量平均值

(2)

(3)

附:

常⽤积分式：

（1）

（2）

（3）

第四章例题1．⼒学量的矩阵表⽰

由坐标算符的归⼀化本征⽮及动量算符构造成算符和

试分别：1）. 求和在态下的期望值；2）. 给出和的物理意义

【解】（1）. 设态⽮已归⼀化

（粒⼦位置⼏率密度）

（2）

（利⽤化到坐标表象）

⼜：,

上式

2.试证明：由任意⼀对以归⼀化的共轭右⽮和左⽮构成的投影算符

（1）. 是厄密算符，（2）. 有，（3）.的本征值为0和1【证】（1）. 厄密算符的定义

为厄密算符

(2) 已归⼀化

（3）. 由的本征值⽅程

,

⼜：

即：

（本题主要考查厄密算符概念，本征值⽅程，狄拉克符号的应⽤）

3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出⼀维⽆限深势井中（宽度）基态粒⼦的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表⽰）

【解】所描述的状态，基态波函数（1）. 在x表象：