2018-2019学年吉林省长春实验中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.
已知集合 ， ，则
A.
【答案】C
B. C. D. 2，
【解析】解： 集合 1，2， ， ， ． 故选：C．
先分别求出集合M，N，由此能求出 ．
本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.
已知角 的终边过点 ，则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解： 角 的终边过点 ，则 ，
故选：D．
由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得 的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题． 3.
下列函数是偶函数，且在 上是减函数的是
A.
【答案】C
B. C. D.
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A， ，为偶函数，在 上是增函数，不符合题意； 对于B， ，为偶函数，在 上是增函数，不符合题意；
对于C， ，是偶函数，且在 上是减函数，符合题意； 对于D， ，为偶函数，在 上是增函数，不符合题意； 故选：C．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 4.
， 已知向量 ，则
A.
【答案】A
B. 0 C. 1 D. 2
， 【解析】解： ，
故选：A．
由题意，可先将 ，再由数量积的坐标表示公式求出数量积． 本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于向量基础题． 5.
函数 的零点所在的区间是
A.
【答案】B
B. C. D.
【解析】解： ，则函数 在 上单调递增， ， ， ，
在区间 内函数 存在零点， 故选：B．
根据函数零点的判断条件，即可得到结论．
本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键．
6. 学校宿舍与办公室相距am，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发；先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍 在这个过程中，这位同学行走的路程是时间的函数，则这个函数图象是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增，停留2分钟， 路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的， 只有A符合． 故选：A．
由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增，停留2分钟，路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，即可判断． 本题考查了函数图象的识别，属于基础题． 7.
已知角 的终边在直线 上，则
A. 【答案】A
B.
C.
D.
【解析】解： 角 的终边在直线 上， ， ， 故选：A．
由题意利用任意角的三角函数的定义求得 的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得 的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
8. 已知函数 在区间
上单调，且 ， ，则 的值为
C.
A.
【答案】A
B. D. 0
【解析】解：函数 在区间 则：
上单调，且 ， ，
，
解得： ， 所以： ， 由于： ，
所以： ， 解得： ， 当 时， ， 所以： 则： 故选：A．
已知函数 在
上单调，得
在同一单调区间上且横坐标之差为周
期，得出周期，求出 ，代入其中一个点的坐标求出 ，得到 的解析式，把 代入求值． 本题考察的知识要点：是要求出周期，已知条件结合正弦曲线观察出 在同一单调区间上且横坐标之差为 周期，其余问题迎刃而解 一定要注意数形结合，特别是函数题目，画出图形，就能找到切入点． 9.
，则实数 设点G是 的重心，若
A. 【答案】C
B.
C.
D.
， 【解析】解：因为G是 的重心，取BC的中点D，则
， 又
， 所以
， 又 所以 ， 故选：C．
，由向量的加法可知： ，即 的重心分中线为2：1，即
，可得解
本题考查了向量的加法及向量共线，属简单题
，则下列大小关系正确的是 10. 设 ， ，
A.
【答案】C
B. C. D.
【解析】解： ， ， ，
． 故选：C．
利用指数函数、三角函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、三角函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11. 已知函数 是定义在R上的偶函数，并且满足 当 时， ，
则
A.
【答案】B
B. C. D.
【解析】解： ，故函数周期 ． ．
又 为偶函数 ． 故选：B．
利用 及 将自变量调整到 内，再进行求解． 本题属于函数性质的综合应用，考查了奇偶性和周期性，属于基础知识的考查．
，则使不等式 成立的t的取值范围12. 已知函数
是
A.
【答案】B
B.
C.
D.
【解析】解：当 时， ，可得 ， 同理可得 时， ，且 处 连续， 则 为偶函数，
且 时， 递增， ， 由
可得 ，即 ， 即为 ， 可得 ，
可得 ，解得 ． 故选：B．
判断 的奇偶性和单调性，可得 ，即为 ，可得 ，解不等式即可得到所求范围．
本题考查分段函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ______．
【答案】1
【解析】解：原式 ， 故答案为1
利用对数的运算性质运算可得． 本题考查了对数的运算性质，属基础题．
14. 函数 ， 的单调递增区间是______． 【答案】
【解析】解：由复合函数单调性可令 ， 解得
， ，
，
经检验可知，只有当 时， 符合题意， 故函数的单调递增区间为 ， 故答案为：
由复合函数的单调性可知：要求函数的单调递增区间即为函数 的单调递增区间，由整体法可得 ， ，取与区间 的公共部分即可． 本题考查三角函数的单调性，整体求解然后取交集是解决问题的关键，属中档题．
15. 函数 ，满足 的x的取值范围是______．
【答案】 或
【解析】解： 时， ，得 ； 时， ，即 ，得 ， 综上x的取值范围是 或 ． 故答案为： 或
分 和 两种情况，分别代入解析式，解不等式即可得到x的取值范围．
本题考查分段函数的求值和解不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想 属于基
础题．
16. 函数 的最大值与最小值之和为______． 【答案】4
【解析】解： 函数 ， 设 ，
则 ， 是奇函数； 设 的最大值为M，
根据奇函数图象关于原点对称的性质， 的最小值为 ，
又 ， ，
； 故答案为：4．
由题意，设 ，则 是奇函数；设出 的最大值M，则最小值为 ，求出 与 的和即可．
本题考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，是基础题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知幂函数 的图象经过点
求幂函数 的解析式；
试求满足 的实数a的取值范围． 【答案】解： 幂函数 的图象经过点 ， ， 解得 ，
幂函数 ；
由 知 在定义域 上单调递增， 则不等式 可化为
，
解得 ，
实数a的取值范围是 ．
【解析】 把点的坐标代入函数解析式求出a的值，即可写出 的解析式；
根据 在定义域上的单调性，把不等式 化为关于a的不等式组，求出解集即可．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
， 18. 已知 ， ，
求 与 夹角 ； 求
， 【答案】解： ， ，
，
， 解得
与的 夹角 ．
．
与的 【解析】 由已知条件，利用向量的运算法则，求出 的值，由此能求出 夹角 ． 由已知条件，利用公式 ，能求出结果．
本题考查平面向量的夹角和模的求法，是中档题，要熟练掌握平面向量的运算法则．
19. 已知函数 ， 的最小正周期为 ，．
求函数 的单调递增区间；
说明如何由函数 的图象经过变换得到函数 的图象． 【答案】解： 函数 ， 的最小正周期为 ， 故：
．
所以： ，
令： ， 解得：
，
所以函数的单调递增区间为：
．
函数 的图象向左平移 个单位得到： 的图象， 再把横坐标缩短为原来的 ，纵标不变，经过变换得到函数 的图象．
直接利用函数的最小周期求出函数的关系式，【解析】进一步利用整体思想求出函数的单调区间． 利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
20. 已知 ， ．
求 的值；
求 的值． 【答案】解：由于 ， ． 则：
，
整理得： ，
故：
解得：
，
，
故： ． 由于： ，
所以：
．
直接利用同角三角函数关系式建立方程组，【解析】进一步求出 和 的值，进一步求出 的值．
利用 的结论，进一步对函数的关系式进行恒等变换并化简，最后求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
21. 已知函数
求M；
当 时，求函数 的最小值． ， ； 【答案】解： 由题意， ，解得
令 ， ，即 ，即
的定义域为M，
时，
；
时，
．
【解析】 利用被开方数非负，真数大于0，建立不等式组，即可求得函数的定义域； 换元，利用配方法，结合函数的定义域，分类讨论，即可求得结论．
本题考查函数的定义域，考查函数的最值，考查配方法的运用，属于中档题．
22. 已知 ．
若函数 在 单调递减，求实数a的取值范围； 令
，若存在 ，使得
成立，求实数a的取值范围．
【答案】解： 当 时， ，显然满足； ， ，
综上： ．
存在 ，使得 在 上， 因为
成立即：
成立，
，令 ，
则
， ．
当 时， 在 单调递减，所以 等价于
，
，所以 ．
当 时， 在
， 在
上单调递减，
上单调递增．
时，即 ， 在 单调递增．
当
由 当
得到
，所以 ．
时， 时， 在 单调递减，
由 当
得到
，所以 ．
，即 时，
，
最大值则在 与 中取较大者，作差比较 ，得到分类讨论标准： 当 时， ，此时 ，
由 得到
，
或
，
所以
．
当 时， ，此时 ， 由 所以此时 ， 在此类讨论中，
，得到
，
．
当 时， 在 单调递增，由 得到
，
，所以 ，
综合以上三大类情况， ．
【解析】 对a讨论， ， ， ，结合二次函数的图象和单调性的性质，得到不等式组，解不等式即可得到a的范围；
由题意可得在 上，
成立，因为
，
令 ，则
， 对a讨论， 当 时， 当 时，
求出单调性和最值，即可得到a的范围．
本题考查函数的单调性的应用，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查运算能力，属于难题．
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容