“三个二次”复习课：从问题提出的视角

“三个二次’’复习课：从问题提出的视角　刘海云　（浙江省宁波市第三中学，３１５０４０）　摘要：采用否定属性的问题提出策略，对“三个二次”的复习　课作了新的整合设计，从某种程度上开放了课堂。课堂上，学生参　与例题的编制以及新问题的修正，真正地成为了主人，激活了思维；　同时，在对一个问题反复打磨的过程中，也加深了对知识的理解。　课后反馈表明，学生对“三个二次”的关系及相互转换印象深刻，对　问题提出的教学方式具有浓厚的兴趣。　关键词：问题提出　学生主体教学设计“三个二次”　问题提出（ｐｒｏｂｌｅｍ　ｐｏｓｉｎｇ），是数学教学　营造“师生之和”、揭示“知识之谐”、展现“方　中容易被忽视的重要环节。从问题提出的视　法之美”、激发“情感之悦”为目标，构建“和美　角设计教学，意味着：在课堂上，教师不仅讲　数学课堂”的校本实践中，笔者发现，采用问　解问题解答的过程，而且展示问题产生的过　题提出的策略可以改变“教师出题、学生解　程；不仅解决多个问题，而且建立不同问题之　题”的现状，提升学生在数学学习中的主体地　间的联系；不仅提供问题，而且让学生编制问　位，从而有效达成“师生之和”的目标。　题；不仅让学生在课内提出问题，而且为学生　下面以一节“三个二次”的复习课为例，　在课外提出问题创造机会。　具体谈谈问题提出的策略和价值。　很多研究表明，问题提出有助于增强学　一、教学思考　生数学学习的自信心，提升学生数学学习的　一元二次方程、一元二次不等式与一元　自主性，加深学生对数学知识的理解。在以　二次函数常常被简称为“三个二次”。它们包　教育研究与评论・中学教育教学　２０１５年第９期　含了高中数学重要的板块内容，涉及了高中　选择这一问题作为出发点的理由是：　数学众多的思想方法，因而，屡屡成为高考的　热点和难点。建立“三个二次”之间的关联，　使得它们成为一个相互依存、密不可分的知　识板块，帮助学生学会相互转换，不再孤立地　（１）学生对二次不等式的解集与二次方程的　根的关系较为熟悉，已经有了不少解决这类　问题的经验；（２）通过这一问题，利用数形结　合的方法，容易理解“三个二次”的相关关系；　（３）这一问题的属性较多，可以产生的新问题　看待“三个二次”问题，是优化学生知识结构，　提升学生解题能力的关键，因而，也是复习教　学的重点。　也较多。　（二）教师提出新问题　早在１９６９年，美国学者Ｂｒｏｗｎ和ｗａｌｔｅｒ　提出了一种否定属性（ｗｈａｔ—ｉｆ—ｎｏｔ）的问题　在得出引例的多个属性的基础上，笔者　按照否定属性的问题提出策略，提出了两个　新问题：　新问题１　已知函数厂（ｚ）一２ｘ　＋（“一　提出策略。他们将这种策略分为五个水平：　水平０——选择出发点（如定理、具体材料、问　题等）；水平１——列出各个属性；水平２——　否定各个属性，列出相应新属性；水平３一一　根据新属性，提出新问题；水平４——分析、解　１）ｚ—ａ（口一１），若厂（　）＜０在Ｉ　１，１】上恒成　立，求实数口的取值范围。　新问题２　已知函数厂（　）一２ｘ　＋（ｎ一　决所提新问题。这种策略与变式教学中的　“一１）ｚ—ｎ（ａ一１），若存在ｚ∈［一１，１］，使得　厂（－ｚ）＜０成立，求实数ａ的取值范围。　题多变”相似，但是层次清晰，操作性强，　易于教学。于是，笔者采用这一策略设计“三　个二次”的复习课。　二、教学过程　（一）选择出发点　呈现问题后，笔者引导学生发现，新问题　１、２都是保留引例的属性ｌ～３，否定引例的　属性４、５而提出的。解决新问题ｌ时，笔者　提醒学生注意，已知的二次不等式　厂（　）＜Ｏ　首先，笔者选择以下引例作为教学的出　发点：　的解集变成了包含［一１，１］的集合，要求的参　数ａ的值变成了范围；然后引导学生抓住数　引例　已知函数＿厂（　）一２ｘ　＋（口一１）ｚ　形结合思想，将二次不等式恒成立转换成二　次函数图像恒在－ｚ轴下方，从而转化成　ＩＳ（ｘ）］　＜０（　∈［一１，１］）。解决新问题２　时，笔者提醒学生注意，已知的二次不等式　ｉａ（ａ－１），若厂（ｚ）＜ｏ的解集为（ｏ，专），求　实数ａ的值。　呈现问题后，笔者引导学生利用数形结　合的方法解决，并注意“三个二次”的相关关　系。然后，笔者引导学生讨论得出问题的五　个属性：属性１——厂（ｚ）为二次函数；属性　厂（ｚ）＜０的解集变成了与［一１，１］有交集的　集合，要求的参数ｎ的值变成了范围；然后引　导学生抓住数形结合思想，将二次不等式能　成立转换成二次函数图像能在　轴下方，从　２——厂（ｚ）含有参数ａ；属性３——这是一个　二次不等式问题；属性４——二次不等式的解　集是确定的；属性５——这是一个计算问题，　要求０的值。　而转化成［　（ｚ）］　＜０（ｘＥ［一１，１］）。　这两个问题由易到难，是高考中热门的　“恒成立”“能成立”问题；同时展示了否定属　性的问题提出策略，凸显了数形结合的思想　２ｏ１５￣９Ｎ　教育研究与评论・中学教育教学　螭　以及二次不等式与二次函数图像之间的关　解决这个问题吗？　系——既为下面的教学做了铺垫，也紧紧围　生从新问题１与新问题３的等价性可以看　绕着课题。　到，解决二次方程的根的分布问题的关　（三）学生提出新问题　键是，将其转化为二次函数图像与ｚ轴　在提出两个新问题后，笔者引导学生将　交点的问题，再根据图像确定条件。　目标转向引例的属性３——　师很好！请同学们独立解决本题。　师前面，我们通过否定引例的属性４、５，编　（学生解答新问题３。）　出了新的问题。可是，我们还没有关注　师刚才，我们编出的新问题３与新问题１　过引例的属性３。你们有想法吗？　等价，可谓“异曲同工”。现在，我们突破　生把不等式＿厂（ｚ）＜０改成方程－厂（ｚ）一０。　一下：仿照老师编出新问题１的思路，即　师很好！“三个二次”是相互依存、密不可　改变引例的一个或几个属性，从新问题３　分的知识整体。前面的引例和新问题１、　出发，能否再编出新的问题？　２涉及“三个二次”中的两个。而按照这　生把条件“若ｆＣｒ）一０的一个根大于１，另　个思路，我们就能让二次方程也登场了。　一个根小于一１”改成“若厂（　）一。的两　以前面的新问题１为例，这个问题中，二　个根都属于区间（一１，１）”，就是一个新　次方程的根有什么特征？能否把它挖掘　问题。　出来？　师给他“点赞”！他的改编思路非常清晰，　生从二次函数的图像可以看出，二次方程　把根的分布问题从两根在不同区间改成　ｆＣｃ）一Ｏ的两个根，一个在一１左边，一　两根在相同区间。这样，我们得到——　个在１的右边。　（教师出示新问题４：已知函数厂（ｚ）一　师　非常好！结合二次函数的图像，发现了　２ｘ　＋（口一１）ｚ—ｎ（口一１），若厂（ｚ）一。的　这个二次方程的根的分布情况，这不正　两个根都属于区间（一１，１），求实数日的　好为我们提供了新的编题视角吗？有没　取值范围。）　有同学愿意试试利用严谨的数学语言来　师编题还应该符合科学性，经得住检验。　表达？　编好之后，要对问题进行求解。如果发　生　（恍然大悟）已知函数厂（ｚ）＝＝＝２ｘ　＋（ｎ一　现问题，可以及时在数据等方面作适当　１）ｚ—ａ（ａ一１），若．厂（　）：：＝０的一个根大　的改动。请你们试试看，本题能否解答？　于１，另一个根小于一１，求实数ａ的取值　（教师引导学生解答新问题４。）　范围。　生老师，我对新问题４进行了改编，就改了　师　（呈现这一问题，并将其记为“新问题３”）　一个字，把“两”改成“一”，又编出一个新　良好的开端是成功的一半。我们通过自　问题——　己的努力，编出了新问题３，说明同学们　（学生出示新问题５：已知函数厂（ｚ）一　有能力自己编题。我们看到，让二次方　２　＋（口一１）ｚ一口（ｎ一１），若厂（ｚ）一０有　程参与其中之后，问题被改编成了二次　且只有一个根属于区间（一１，１），求实数　方程的根的分布问题。那么，同学们会　口的取值范围。）　教育研究与评论・中学教育教学　２０１５年第９期　师改了一个字，就编了一道题，了不起！而　把新问题２与新问题６相结合，通过改变旧　且，这个题目的难度又上了一个新台阶。　属性，提出了如下新问题：　那么，本题怎么解决呢？　新问题７若２ｘ　＋（ａ一１）Ｘ－－（ａ一１）＜　生需要运用分类讨论思想来求解。其中第　０对ａ∈［２，３］恒成立，求实数　的取值范围。　一类方程一共有两个根，在区间（一１，１）　这是常见的变换主元的题型。很多学生　上只有一个根，于是可以利用厂（一１）・　对此有思维定势，总是想不到把ａ变成主元，　（１）＜Ｏ来求解；但是我发现，这会使得　ｚ变成参数。能编出这样的问题，说明学生　不等式的最高次数变成４，难以解出。　对转化、对称的思想有了比较深的认识，思维　师你的发现很好！这说明对本题最好再作　的灵活性大大提高了。　适当的改动。比如，我们可以改变另一　三、作业与反馈　个属性，即把厂（ｚ）改成厂（　）一２ｘ。＋（ｎ　（一）作业　一１）　一（ｎ一１）。这样．厂（一１）・厂（１）＜　课后，笔者布置了如下作业：　０就会回归到二次不等式了。经过共同　出发点为：若函数厂（ｚ）一　３７　十２ａｘ＋１　的打磨，我们又得到了一道更加科学的　一ｎ在　∈Ｅｏ，１］时有最大值２，则ａ的值为　新题——　。要求围绕“三个二次”，即二次方　（教师出示新问题６：已知函数，　（　）：　程、二次不等式、二次函数的关系展开，可以　２　＋（口一１）ｚ一（口一１），若厂（ｚ）一０有　涉及二次函数的图像与性质、二次不等式恒　且只有一个根属于区间（一１，１），求实数　成立或能成立、二次方程的根的分布；改变一　＆的取值范围。）　个或多个已知条件，或改变所求项，尽可能多　学生在多年的学习经历中，很少有机会　地编制出新的题目。（至少５题，多多益善）　自己编题，他们早已习惯于面对课本、练习　比如，问题１：若函数厂（　）一一　＋２ａｘ　册、试卷、课件或黑板上的现成的数学问题。　＋１一ｎ在ｚ∈Ｅｏ，１］时有最小值一２，则ａ的　如果没有针对性的引导，面对问题提出的任　值为　；问题２：已知函数　（　）一～　务，学生可能会茫然不知所措。有鉴于此，笔　＋２ａｘ４－１一ａ，当　∈Ｅｏ，１］时＿厂（　）≤２恒成　者先引导学生直接否定引例中的“厂（ｚ）＜０”　立，求实数ａ的取值范围。　这一属性，从而避免了编题的盲目性，降低了　（二）反馈　编题的难度；再循序渐进地进行引导，让学生　全班４０名学生都至少提出了一个新的　“够得着、想得到”，从而激活了学生的思维，　问题。除去７个不完整的问题，共有１５ｏ个　让学生在提出一系列问题的同时，学会从不　新问题。笔者将这１５ｏ个问题分成两个大　同的角度去思考旧问题，产生新问题。　类：（１）保留所求项；（２）改变所求项。　（四）课堂小结　又将“保留所求项”问题分成两个子类：　在笔者的引导下，学生的思路愈加活跃。　（１）只改变已知数据。例如，若函数厂（　・）一　笔者便让学生回顾刚才编题、修正的过程，并　－Ｘ　＋２ａｘ＋１一口在ｚ∈［一１，０］时有最小值　引导学生自由讨论，不断发现新问题，巩固　２，则ａ的值为　。（２）改变函数类型。　“三个二次”的联系。值得一提的是，有学生　例如，若函数　（ｚ）一ｌ—　。＋２ａｘ＋１一“Ｉ在　，　２０１５年第９期　教育研究与评论・中学教育教学　黎　镯嘴ｌ１：　∈［０，１］时有最大值２，则ａ的值为　。　时，在对一个问题反复打磨的过程中，也加深　既改变已知数据又改变函数类型的问题归于　了对知识的理解。　第二子类。　课后对部分学生的访谈表明，学生对教　再将“改变所求项”问题分成两个子类：　学内容掌握得较好，对“三个二次”的关系及　（１）只改变已知数据。例如，已知函数厂（ｚ）一　相互转换印象深刻；对问题提出的教学方式　一　＋２　＋１一ｎ，当ｘＥ［０，１］时厂（ｚ）≥Ｏ恒　给予了积极评价，认为其十分有助于课堂参　成立，求实数ａ的取值范围。（２）改变函数类　与度的提高。虽然学生问题提出的水平尚不　型。例如，已知函数厂（ｚ）一　＋ｌ　ｚ—ａ　ｌ＋１　够高，但是他们的兴趣较为浓厚。　（ａＥ　Ｒ），求厂（ｚ）的最小值Ｍ（口）。既改变已知　此外，通过学生所提出的问题，教师可以　数据又改变函数类型的问题归于第二子类。　了解他们对相关概念的理解和掌握情况，从　改变已知数据所产生的问题占了总数的　而能够更准确地因材施教，促进教学效果的　６Ｏ　；多数学生在否定原属性后，所替换的新　提升。　属性较为单一，仅为不同数据而已。这说明，　总之，就本节课而言，问题提出的策略在　学生尚处于模仿编题阶段。当然，解答这类　“师生之和”这一目标的达成上是初见成　新问题的正确率较高。　效的。　改变函数类型后，问题的创新性和难度　同步增长。原因主要有两个：一是学生改编　的函数仍然含有参数，使得分类讨论的难度　本文系浙江省宁波市第三中学“和美数　大大增加；二是这类问题涉及的知识点较多，　学课堂”系列教学案例之一。王晓明校长对　学生会把二次函数与分段函数、绝对值函数、　本案例的设计与实施给予了大力支持和悉心　三角函数、对数函数、解析几何等知识相融　指导，特此致谢！　合，使得综合考虑的难度大大增加。此类改　编题的错解率高达５５　９／６。这也有效地训练了　参考文献：　学生的思维，激发了学生的探究欲。　［１］Ｓｉｎｇｅｒ，Ｆ．Ｍ．，Ｅｌｌｅｒｔｏｎ，Ｎ．＆ｃａｉ，Ｊ．Ｐｒｏｂ—　四、结语　ｌｅｍ—ｐｏｓｉｎｇ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｉｎ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｅｄｕｃａｔｉｏｎ：　本节课采用问题提出的策略，对“三个二　ｎｅｗ　ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ　次”这个老课题作了新的整合，从某种程度上　Ｓｔｕｄｉｅｓ　ｉｎ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２０１３（８３）　开放了课堂。课堂上，学生参与了例题的编　Ｅ２］汪晓勤．使用否定属性策略的问题提出　制以及新问题的修正，真正地成为了主人；同　ＥＪ］．数学教育学报，２００８（４）　教育研究与评论・中学教育教学　２０１５年第９期　囊