北师大版数学九年级上册 第一章 《证明二》复习

一. 教学过程：

1. 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 已知：直线MN⊥AB于C，AC＝BC，P在MN上。 求证：PA＝PB

分析：要证明PA＝PB，可证明包含这两条线段的两个三角形全等。

证明：略。 2. 练习：

（1）已知：AB是线段CD的垂直平分线，E在AB上，若EC＝7cm，则ED＝_________，若∠ECD＝60°，则∠DEF＝_________。

（2）△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50。求：BC长。 分析：∵DE垂直平分AB ∴BE＝AE

∴AE＋EC＋BC＝50 即AC＋BC＝50 ∵AC＝27 ∴BC＝23

3. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

证明：设AB、BC的垂直平分线相交于点P ∵P在AB的垂直平分线上 ∴PA＝PB

同理，PB＝PC ∴PA＝PC

∴P在线段AC的垂直平分线上

∴AB、BC、AC的垂直平分线交于P

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4. 例：已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。 已知：线段a，h。

求作：△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝h。

a h

作法：（1）作线段BC＝a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN； （3）在MN上截取AD＝h； （4）连结AB、AC。 则△ABC即为所求。

5. 你能写出线段的垂直平分线性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？如是，请加以证明。

定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 已知：PA＝PB

求证：P在AB的垂直平分线上

分析：法（一）过P作AB的垂线，垂足为C，证明AC＝BC。 法（二）取AB中点C，连接PC，证明PC⊥AB。 用尺规作线段的垂直平分线。 已知：线段AB

求作：线段AB的垂直平分线

作法：（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧分别相交于点C和D。

（2）作直线CD，则直线CD即为所求。 6. 角平分线性质定理：

角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 逆定理：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

例：作∠AOB的角平分线

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7. （1）作出一个三角形三个内角的角平分线，观察是否符合初一所学的结论。 （2）观察所作图形，发现什么特点。

（3）用三角板过交点分别作各边的垂线段，并要求学生测量各垂线段的长度，发现规律。

（4）询问学生为什么相等？

定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 PB是∠ABC的角平分线

PDPFPE 同理，PDPF

例题：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。 （1）已知CD＝4cm，求AC的长。 （2）求证：AB＝AC＋CD。 解：（1）AD是△ABC的角平分线 ACBC

PDPEC90ooB45 BBAC 45o BDE

A E C D B BEDEACBCCDBD442BD42

（2）证明：由（1）的求解过程可知 Rt△ADC≌Rt△AED

ACAE

BEDECD

ABAEBEACCD

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【模拟试题】

1. AD、AE分别为△ABC中∠A的内角、外角平分线，它们有什么关系？

2. 求作一点P，使PC＝PD，且点P到∠AOB两边的距离相等。

B D C O A C E D B A F

3. △ABC中，AD平分∠BAC，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC。 求证：EB＝FC

4. 如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是Rt△ABC的角平分线。 求证：BD＝2CD A E F B D C A B D C

5. 已知：P是∠AOB平分线上的一点，PD⊥OB，PC

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⊥OA，垂足分别为C、D。 求证：（1）OC＝OD；

（2）OP是CD的垂直平分线。

A

C O P D B

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【试题答案】

1. 答案：垂直 2. 提示：（1）先作∠BOA的角平分线；

（2）作线段CD的垂直平分线交点即为所求。 3. 提示：证△BDE≌△CDF（HL）

4. 提示：（1）Rt△ADC中，

DAC30oDC1AD2

（2）△ABD中，BBADBDAD BD2CD

5. 提示：（1）证△OCP≌△ODP

（2）OC＝OD，点O在线段CD的中垂线上 CP＝PD，点P在线段CD的中垂线上 ∴OP为线段CD的中垂线

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