一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（）的相反数是（ ） A．9
B．﹣9
C．
D．﹣
﹣2
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．把抛物线y=﹣x向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A．y=﹣（x﹣1）﹣3 C．y=﹣（x﹣1）+3
22
2
B．y=﹣（x+1）﹣3 D．y=﹣（x+1）+3
2
2
4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．对重庆市初中学生每天阅读时间的调查 B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C．对某批次手机的防水功能的调查 D．对某校九年级3班学生肺活量情况的调查
5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ） A．C．
+ +
=1 =
B．D．
+ +
= =1
6．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
=，
A．92° B．108° C．112° D．124°
8．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x﹣y=3
2
B．2x﹣y=9
2
C．3x﹣y=15
2
D．4x﹣y=21
2
9．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA=OE•OP；③S△AOD=S确结论的个数是（ ）
2
四边形OECF
；④当BP=1时，tan∠OAE=，其中正
A．1 B．2 C．3 D．4
cm/s的速度沿BC方向运动到
10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以
点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
2
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填写在题中横线上.） 11．一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm，则此扇形的半径长为 ． 12．在函数y=
中，自变量x的取值范围是 ．
2
13．如图，把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC= cm．
14．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=
（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=
（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则
= ．
15．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax1+bx1=ax2+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有 ．
2
2
22
三、解答题（本大题共9小题，共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算过程.） 16．计算
17．先化简，再求值：（1+）÷，其中x是不等式组的整数解．
18．如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
19．某中学组织七、八、九年级学生参加全区作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）此次参赛的作文篇数共有 篇．
（2）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（3）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率
20．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售
完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
21．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：
≈1.7）
22．某市接到上级救灾的通知，派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时．
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线；
上一点E作EG∥AC交CD的延长线于
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G=，AH=3，求EM的值．
24．如图，已知抛物线y=ax+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
2
2
（1）试求该抛物线表达式；
（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标； （3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC． ①求证：△ACD是直角三角形；
②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（）﹣2
的相反数是（ ） A．9
B．﹣9
C．
D．﹣
【分析】先将原数求出，然后再求该数的相反数． 【解答】解：原数=32
=9， ∴9的相反数为：﹣9； 故选：B．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C．
3．把抛物线y=﹣x2
向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2
﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3
D．y=﹣（x+1）2
+3
【分析】利用二次函数平移的性质．
【解答】解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0）， 当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3）， 则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2
+3． 故选：D．
4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A．对重庆市初中学生每天阅读时间的调查 B．对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C．对某批次手机的防水功能的调查 D．对某校九年级3班学生肺活量情况的调查
） 【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、对重庆市初中学生每天阅读时间的调查，调查范围广适合抽样调查，故A错误； B、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故B错误； C、对某批次手机的防水功能的调查，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误； D、对某校九年级3班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查，故D正确； 故选：D．
5．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ） A．C．
+ +
=1 =
B．D．
+ +
= =1
【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得，
，
故选：B．
6．如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE=1.5，则四边形EFCD的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【分析】先利用平行四边形的性质求出AB=CD，BC=AD，AD+CD=9，可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO，求出OE=OF=1.5，即可求出四边形的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18， ∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，AD∥BC， ∴CD+AD=9，∠OAE=∠OCF， 在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴OE=OF=1.5，AE=CF，
则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=（DE+CF）+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12． 故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（ ）
=
，
A．92° B．108° C．112° D．124°
【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案． 【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=56°， ∴∠ABC=34°， ∵
=
，
∴2∠ABC=∠COE=68°， 又∵∠OCF=∠OEF=90°，
∴∠F=360°﹣90°﹣90°﹣68°=112°． 故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，则（ ）
A．x﹣y=3
2
B．2x﹣y=9
2
C．3x﹣y=15
2
D．4x﹣y=21
2
【分析】过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，根据线段垂直平分线求出DE=BD=x，根据等腰三角形求出BQ=CQ=6，求出CM=QM=3，解直角三角形求出EM=3y，AQ=6y，在Rt△DEM中，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE， ∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，[来源:] ∴BD=DE=x，
∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y， ∴
=
=y，BQ=CQ=6，
∴AQ=6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC， ∴AQ∥EM， ∵E为AC中点， ∴CM=QM=CQ=3， ∴EM=3y，
∴DM=12﹣3﹣x=9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x=（3y）+（9﹣x）， 即2x﹣y=9， 故选：B．
9．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA=OE•OP；③S△AOD=S确结论的个数是（ ）
2
四边形OECF
2
2
2
2
；④当BP=1时，tan∠OAE=，其中正
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，
根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO=OD•OP，由OD≠OE，得到OA
22
≠OE•OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S
四边形OECF
；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE=，求得QE=，QO=，OE=，由三
角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°， ∵BP=CQ， ∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中，∴△DAP≌△ABQ， ∴∠P=∠Q， ∵∠Q+∠QAB=90°， ∴∠P+∠QAB=90°， ∴∠AOP=90°， ∴AQ⊥DP； 故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠DAO=∠P， ∴△DAO∽△APO， ∴
2
，
，
∴AO=OD•OP， ∵AE＞AB， ∴AE＞AD， ∴OD≠OE，
∴OA≠OE•OP；故②错误； 在△CQF与△BPE中∴△CQF≌△BPE， ∴CF=BE，
，
2
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中，∴△ADF≌△DCE， ∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF， 即S△AOD=S四边形OECF；故③正确； ∵BP=1，AB=3， ∴AP=4，
∵△PBE∽△PAD， ∴
，
，
，
∴BE=，∴QE=
∵△QOE∽△PAD， ∴
，
∴QO=，OE=， ， =
，故④正确，
∴AO=5﹣QO=∴tan∠OAE=故选：C．
10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到
点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
2
A． B．
C． D．
【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=BH=
AH=2
，则BC=2BH=4
AB=2，
，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，
x，DQ=BQ=x，利用三角形
，DQ=CQ=（8
然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=面积公式得到y=
2
x；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4
x+8
﹣x），利用三角形面积公式得y=﹣，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4
＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D． 【解答】解：作AH⊥BC于H， ∵AB=AC=4cm， ∴BH=CH， ∵∠B=30°， ∴AH=AB=2，BH=∴BC=2BH=4
，
cm/s，Q点运动的速度为1cm/s， AH=2
，
∵点P运动的速度为
∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s， 当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x， ∴y=•x•
x=
x，
2
x，
当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4在Rt△BDQ中，DQ=CQ=（8﹣x）， ∴y=•（8﹣x）•4
=﹣
x+8
，
综上所述，y=．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填写在题中横线上.） 11．一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm，则此扇形的半径长为 3【分析】根据扇形的面积公式S=
即可求得半径．
2
cm ．
【解答】解：设该扇形的半径为R，则解得R=3
．
cm．
=15π，
即该扇形的半径为3故答案是：312．在函数y=
cm．
中，自变量x的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，可知x﹣1≥0；分母不等于0，可知：x﹣2≠0，则可以求出自变量x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：解得：x≥1且x≠2． 故答案为：x≥1且x≠2．
13．如图，把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC= （2+2
） cm．
，
【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，根据直角三角形的性质得到BD=8cm，PD=4
cm，根据折叠的性质得到AD=PD=4
cm，∠DPE=∠A=60°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC， ∵DP⊥BC， ∴∠BPD=90°， ∵PB=4cm， ∴BD=8cm，PD=4
cm，
∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处， ∴AD=PD=4∴AB=（8+4∴BC=（8+4
cm，∠DPE=∠A=60°， ）cm， ）cm，
）cm，
∴PC=BC﹣BP=（4+4
∵∠EPC=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴∠PEC=90°， ∴CE=PC=（2+2故答案为：2+2
）cm， ．
14．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1=
（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2=
（x＞0）的图象上，∠ABO=30°，则
= ﹣ ．
【分析】设AC=a，则OA=2a，OC=a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，
写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，相比即可． 【解答】解：如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAC=60°， ∵AB⊥OC， ∴∠ACO=90°， ∴∠AOC=30°，
设AC=a，则OA=2a，OC=∴A（
a，a），
（x＞0）的图象上， ，
a， a，
∵A在函数y1=∴k1=
a•a=
Rt△BOC中，OB=2OC=2∴BC=∴B（
=3a，
a，﹣3a），
∵B在函数y2=∴k2=﹣3a∴
=﹣；
（x＞0）的图象上， a=﹣3
，
故答案为：﹣．
15．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax1+bx1=ax2+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有 ②③⑤ ．
2
2
22
【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线对称轴方程得到﹣=1，则可
对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由b=﹣2a得到b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对②进行判断；利用x=1时，函数有最大值对③进行判断；根据二次函数图象的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间，则x=﹣1时，y＜0，于是可对④进行判断；由ax1+bx1=ax2+bx2得到ax1+bx1+cax2+bx2+c，则可判断x=x1和x=x2所对应的函数值相等，则x2﹣1=1﹣x1，于是可对⑤进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
∵抛物线对称轴为x=﹣∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误； ∵b=﹣2a，
∴2a+b=0，所以②正确； ∵x=1时，函数值最大，
∴a+b+c＞am+bm+c，即a+b＞am+bm（m≠1），所以③正确； ∵抛物线与x轴的交点到对称轴x=1的距离大于1， ∴抛物线与x轴的一个交点在点（2，0）与（3，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）与（﹣1，0）之间， ∴x=﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
当ax1+bx1=ax2+bx2，则ax1+bx1+cax2+bx2+c， ∴x=x1和x=x2所对应的函数值相等， ∴x2﹣1=1﹣x1， ∴x1+x2=2，所以⑤正确； 故答案为②③⑤．
三、解答题（本大题共9小题，共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算过程.） 16．计算
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=1，即b=﹣2a，
【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、乘方4个考点．在计算时，需要针对每个考
点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式=2×+1+=1+1+=2+
﹣1+1， ．
）÷
，其中x是不等式组
的整数解．
﹣1+1，
17．先化简，再求值：（1+
【分析】解不等式组，先求出满足不等式组的整数解．化简分式，把不等式组的整数解代入化简后的分式，求出其值． 【解答】解：不等式组
解①，得x＜3； 解②，得x＞1．
∴不等式组的解集为1＜x＜3． ∴不等式组的整数解为x=2． ∵（1+=
=4（x﹣1）．
当x=2时，原式=4×（2﹣1） =4．
18．如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
）÷
【分析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB，结合BE平分∠ABD、DF平分∠BDC得∠EBD=∠FDB，即可知BE∥DF，根据AD∥BC即可得证；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠
A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC、AD∥BC， ∴∠ABD=∠CDB，
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC， ∴∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠BDC， ∴∠EBD=∠FDB， ∴BE∥DF， 又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF是菱形， ∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°，
∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°， ∴∠EDB=∠EBD=30°， ∴EB=ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是菱形．
19．某中学组织七、八、九年级学生参加全区作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）此次参赛的作文篇数共有 100 篇．
（2）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 126 度，并补全条形统计图；
（3）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率 【分析】（1）根据七年级的人数以及百分比，求出总人数即可；
（2）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的度数；求出八年级的作文篇数，补全条形统计图即可：
（3）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．画出树状图即可解决问题；
【解答】解：（1）20÷20%=100； （2）九年级参赛作文篇数对应的圆心角 =360°×
=126°；
100﹣20﹣35=45， 补全条形统计图如图所示：
故答案为100，126．
（3）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D， 其中A代表七年级获奖的特等奖作文．画树形图如下：
共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖作文被选登在校刊上的可能性有6种，
∴P（七年级特等奖作文被选登在校刊上）==．
20．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒． （1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为a，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒， 根据题意得：解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解．
答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒． （2）设年增长率为a，
2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．
根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）=（60﹣35+11）×100， 解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：年增长率为20%．
21．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：
≈1.7）
2
2
=，
【分析】（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可． 【解答】解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH=（米）；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度． 在Rt△ADH中，DH=AH•cot30°=15在Rt△CDQ中，DQ=
=
（米）． =78（米）．
≈114﹣15×1.7=88.5≈89（米）．
=
=36
则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+78﹣15
答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．
22．某市接到上级救灾的通知，派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题： （1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 1.9 小时．
（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？
（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定．
【分析】（1）由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时；
（2）观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点B的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析式，而EF过点（1.25，0），（7.25，480），利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令x=6，即可求出点C的纵坐标，又因点D（7，480），这样就可求出CD即BD的解析式，从而求出B点的坐标；
（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，x=4.9，求出此时的y乙﹣y甲，在点D有x=7，也求出此时的y甲﹣y乙，分别同25比较即可． 【解答】解：（1）甲组在途中停留时间为：4.9﹣3=1.9（小时）， 故答案为：1.9；
（2）由图象可知， D（7，480）、E（1.25，0）、F（7.25，480）， ∴乙的速度为设lEF：y乙=80x+b，
将点E（1.25，0）代入，得：100+b=0，即b=﹣100， ∴lEF：y乙=80x﹣100 （1.25≤x≤7.25）； 当x=6时，y=80×6﹣100=380， ∴点C（6，380）， 设lBD：y甲=mx+n，
将点C（6，380）、D（7，480）代入，得：解得：
，
，
=80（km/h），
∴lBD：y甲=100x﹣220（4.9≤x≤7）， 当x=4.9时，y=270，
答：甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是270千米．
（3）符合约定，
由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远．
在点B处有y乙﹣y甲=80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）=22千米＜25千米， 在点D有y甲﹣y乙=100×7﹣220﹣（80×7﹣100）=20千米＜25千米， ∴按图象所表示的走法符合约定．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G=，AH=3，求EM的值．
上一点E作EG∥AC交CD的延长线于
【分析】（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得由此即可解决问题． 【解答】（1）证明：如图1中，
=，
∵AC∥EG， ∴∠G=∠ACG，
∵AB⊥CD， ∴
=
，
∴∠CEF=∠ACD， ∴∠G=∠CEF， ∵∠ECF=∠ECG， ∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE，
∵GF=GE，
∴∠GFE=∠GEF=∠AFH， ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA， ∵∠AFH+∠FAH=90°， ∴∠GEF+∠AEO=90°， ∴∠GEO=90°， ∴GE⊥OE， ∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G═∵AH=3， ∴HC=4．
，
在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣3，HC=4， ∴（r﹣3）+4=r， ∴r=
2
2
2
∵GM∥AC， ∴∠CAH=∠M， ∵∠OEM=∠AHC， ∴△AHC∽△MEO， ∴
=
，
∴，
∴．
2
24．如图，已知抛物线y=ax+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．
2
（1）试求该抛物线表达式；
（2）如图（1），过点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标； （3）如图（2），过点P作PH⊥y轴，垂足为H，连接AC． ①求证：△ACD是直角三角形；
②试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似？
【分析】（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组，然后解方程组求得a、c的值即可；
（2）设P（m， m+m﹣4），则F（m，﹣m﹣4），则PF=﹣m﹣是平行四边形，然后依据PF=OC列方程求解即可；
（3）①先求得点D的坐标，然后再求得AC、DC、AD的长，最后依据勾股定理的逆定理求解即可；②分为△ACD∽△CHP、△ACD∽△PHC两种情况，然后依据相似三角形对应成比例列方程求解即可 【解答】解：（1）由题意得：
，解得：
，
2
2
m，当PF=OC时，四边形PCOF
∴抛物线的表达式为y=x+x﹣4．
（2）设P（m， m+m﹣4），则F（m，﹣m﹣4）． ∴PF=（﹣m﹣4）﹣（m+m﹣4）=﹣m﹣∵PE⊥x轴， ∴PF∥OC．
∴PF=OC时，四边形PCOF是平行四边形． ∴﹣m﹣
2
2
2
2
2
m．
m=4，解得：m=﹣或m=﹣8．
2
当m=﹣时， m+m﹣4=﹣
2
，
当m=﹣8时， m+m﹣4=﹣4． ∴点P的坐标为（﹣，﹣
）或（﹣8，﹣4）．
（3）①证明：把y=0代入y=﹣x﹣4得：﹣x﹣4=0，解得：x=﹣8． ∴D（﹣8，0）． ∴OD=8．
∵A（2，0），C（0，﹣4）， ∴AD=2﹣（﹣8）=10．
由两点间的距离公式可知：AC=2+4=20，DC=8+4=80，AD=100， ∴AC+CD=AD．
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
②由①得∠ACD=90°． 当△ACD∽△CHP时，
=
，即
=
解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5． 当△ACD∽△PHC时，
=
，即
=
，
解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．
综上所述，点P的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与△ACD相似．
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