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二次函数压轴题
1. 如图：抛物线经过 A (-3 , 0)、B (0, 4)、C (4, 0)三点.
(1) 求抛物线的解析式•
(2) 已知AD = AB ( D在线段AC上)，有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度 的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段 PQ被BD垂直平分，求t的值； (3)
在(2)的情况下，抛物线
的对称轴上是否存在一点 M使MQ+M的值最小？若存在， 请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
z
2. 如图9,在平面直角坐标系中，二次函数 y二ax2 • bx • c(a 0)的图象的顶点为D点，与y轴 交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0)，
1
O吐 OC，tan / AC3 —.
3
(1) 求这个二次函数的表达式. (2)
经过C、D两点的直线，与x轴交于
点E,在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点A、 C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点
F的坐标；若不存在，请说明理 由.
(3) 如图10,若点G(2, y)是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点， 当点P运动
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到什么位置时，△ APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△ APG的最大面积.
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=4
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⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点
M的坐标
4. 已知：抛物线y = ax2 + bx + c与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半 轴上，点C在y轴的正半轴上，线段 OB 0C的长(OB:OC是方程x2-I0x + 16= 0的两个根， 且抛物线的对称轴是直线x=-2.
(1) 求A、B、C三点的坐标； (2)
”
求此抛物线的表达式； “
2
?
-~^6 -I ' -J k ~1 ~3 I~*
(3) 求厶ABC的面积； 沁
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(4) 若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合)，过点E作EF// AC交BC于点 F,连接CE设AE的长为m △ CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；
(5)
在(4)的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出 S的最大值，并求出此时 点E
的坐标，判断此时△ BCE的形状；若不存在，请说明理由.
5. 已知抛物线y - -ax2 - 2ax b与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C.
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 x轴的另一个交点B的坐标； ⑵当点C在以AB为直径的。P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点 M，使得以点M和⑵中抛物线上的三点 A、B、C为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，请求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.
6如图，已知抛物线y =-x2 bx c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB
(1) 求b + c的值；
(2) 若点C在抛物线上，且四边形 OAB(是平行四边形，求抛物线的解析式；
=4
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9
顶点 D(i, - 2).
求抛物线对应的函数关系式; (1) 求四边形ACDB勺面积;
(3) 若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴
仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式 .]
8、如图a,在平面直角坐标系中，A(0 , 6) , B(4 , 0).
(1) 按要求画图：在图a中，以原点0为位似中心，按比例尺1:2，将AAO晞小，得到△
DOC使厶DO(在原点0的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为——点B 的对应点C的坐标为 ______________________ ;
(2) 已知某抛物线经过 B C D三点，求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象；
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备用图
（3）连接DB,若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B 向点
D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点 C点B点出发，经过t 秒, 当t为何值时，
△ BPC是等腰三角形？
9、（2013江苏扬州弘扬中学二模）如图所示，已知抛物线
y =^x2 —x - k的图象与y轴相交于 4
点B （0，1），点C （m n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的。M恰好经过顶点A.
（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称 轴I上运动，
试探索：①当Sv Sv S时，求t的取值范围 （其中：S
PAB的面积，S
OAB勺面积，S2为四边形OACB勺面积）；
②当t取何值时，点P在OM上•（写出t的值即可）
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10如图1,在平面直角坐标系 xOy中，顶点为M的抛物线y= ax2 + bx (a>0)经过点A和x轴正半轴上 的点 B, AO=
BO= 2,Z AOB= 120°.
(1) 求这条抛物线的表达式； (2) 连结OM求/ AOM勺大小；
(3) 如果点C在x轴上，且△ ABCt^ AOM目似，求点C的坐标.
11 如图1，已知抛物线1)x (b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点 A
4 4 4
b
B (点A位于点B是左侧)，与y轴的正半轴交于点 C.
(1 )点B的坐标为 ______ ，点C的坐标为 ____________ (用含b的代数式表示)； (2)
积等于2乂且厶PBC是以点P为直 角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 (3)
QCO△ QOA^A QA冲的任意两个三角形
请你探索在第一象限内是否存在点 P,使得四边形PCOB勺面
P的坐标；如果不存在，请说明理由；
请你进一步探索在第一象限内是否存在点
Q使得△
均相似(全等可看作相似的特殊情况)？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
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12 如图1,已知抛物线的方程 C1: y=_!(x ・2)(x_m) ( m> 0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点
m
E,且点B在点C的左侧.
(1 )若抛物线C1过点M2, 2)，求实数m的值； (2 )在(1)的条件下，求△ BCE勺面积； (3)
使得B卅EH最小，求出点H的坐标；
(4) 在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点F,使得以点B C F为顶点的三角形与△ BCE相似？ 若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点
H,
13 .如图1,已知梯形OABC抛物线分别过点 0(0, 0)、A (2, 0)、B(6, 3).
(1)
直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点
M的坐标；
(2) 将图1中梯形OABC勺上下底边所在的直线 OA CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线 于点0、
A、G、B,得到如图2的梯形OABG•设梯形 OABQ的面积为S, A、B1的坐标分别为(X1, y1)、(X2, y2).用含S
的代数式表示X2— X1,并求出当S=36时点A的坐标；
(3) 在图1中，设点D的坐标为(1 , 3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段 BC运动，
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动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段 DM运动.P、Q两点同时出发，当点 Q到达点 M时，P、Q两点同时停止运动.设 P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ直线 AB x轴围成的三角形与直线 PQ直线AB抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t的 值；若不存在，请说明理由.
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14.如图1,抛物线经过点 A(4 , 0)、B (1, 0)、C(0, - 2)三点.
(1 )求此抛物线的解析式；
(2)
P是抛物线上的一个动点，过 P作PMLx轴，垂足为是否存在点P,使得以A、 的三角形与△ OAC!似？若存在，请求出符合条件的 点P的
坐标；若不存在，请说明理由；
(3) 在直线AC上方的抛物线是有一点 D,使得△ DCA勺面积最大，求出点 D的坐标. 如圏J-轴的乂点为饮M直議+
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