目标认知 学习目标：
1.了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；
2.了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程，了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。
重点、难点：
明白得参数方程的概念及转化方式，重点把握直线和圆的参数方程及椭圆的参数方程，并能利用它们解决一些应用问题；和利用参数成立点的轨迹方程。
知识要点梳理: 知识点一：参数方程
1. 1. 概念：一样地，在平面直角坐标系中，若是曲线上任意一点的坐标
都是某个变数的函数：
联系
，而且关于的每一个许诺值，方程所确信的点间的关系的变数叫做参变数〔简称参数〕.
都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的一般方程。
2. 把参数方程化为普通方程，需要根据其构造特点，选取适当的消参方式. 常见的消参方式有：代入消法 ；加减消参；平方和〔差〕消参法；乘法消参法；混合消参法等. 把曲线
的一般方程
化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前前方程的等价性， 注意方程中
的参数的转变范围。互化时，必需使坐标x, y的取值范围在互化前后维持不变，否那么，互化确实是不等价的。
知识点二：常见曲线的参数方程 1．直线的参数方程 〔1〕通过定点
，倾斜角为
的直线的参数方程为：
〔为参数〕；
，有
，即
表示直线上任一点M到定点
的距离。〔当
在
上方时，
其中参数的几何意义：
，在下方时，)。
〔2〕过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：
〔为参数，为为常数，是直线上一点，那么
〕；
。
其中的几何意义为：假设
〔3〕假设直线l的倾角a=0时，直线l的参数方程为
2．圆的参数方程 〔1〕圆心为
，半径为
的圆
.
的参数方程为：
〔是参数，〕；
特别地当圆心在原点时，其参数方程为 〔2〕参数
的几何意义为：由
〔是参数〕。
轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。
〔3〕圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一样方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程那么直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。
3. 椭圆的参数方程
〔1〕椭圆 〔2〕参数
〔〕的参数方程〔为参数〕。
〔过
作轴，交大圆即的几何意义是椭圆上某一点的离心角。如图中，点对应的角为
以为直径的圆于〕，切不能够为是。
〔3〕从数的角度明白得，椭圆的参数方程事实上是关于椭圆的一组三角代换。椭圆
，为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。
4. 双曲线的参数方程
上任意一点可设成
双曲线
5. 抛物线的参数方程
〔,〕的参数方程为〔为参数〕。
抛物线()的参数方程为〔是参数〕。
参数的几何意义为：抛物线上一点与其极点
6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：
连线的斜率的倒数，即。
〔1〕圆的渐开线的参数方程〔是参数〕；
〔2〕摆线的参数方程
规律方式指导
〔是参数〕。
1.参数方程作为选考内容，试题内容涉及参数方程与一般方程的互化，直线、圆和圆锥曲线的参数方程和在解题中的应用中。由于该内容在高考试题的特殊位置，仅以填空题的形式显现一样为容易题或中等题。以考察根底知识，全然运算为主。 2. 加强消参的技巧性学习，注意等价性，消参常用的方法有代入法、三角法、加减法等。
3.从数的角度理解，圆与椭圆的参数方程实际上是一组三角代换，为解决有关圆、椭圆问题提供了一条新的途径.
经典例题精析
类型一：参数方程与一般方程互化
，将它表示为圆的参数方程形式。
进展三角代换转化为参数方程。
思路点拨: 将圆的方程配方得圆的标准方程，然后利用平方和公式
解析：配方得圆的标准方程
令 总结升华：
， 得圆的参数方程为〔q为参数〕.
圆与椭圆的一般方程转化为圆与椭圆的参数方程一样都是利用 触类旁通：
【变式】化一般方程为参数方程。
进展三角代换。
〔1〕
【答案】：〔1〕配方得圆的标准方程
〔2〕
，
令 ， 得圆的参数方程为〔q为参数〕.
〔2〕变形得，令，
得椭圆的参数方程为
〔q为参数〕.
2．把参数方程化为一般方程
(1) (，为参数)； (2) (，为参数〕；
(3) 思路点拨:
(,为参数)； (4) (为参数).
〔1〕将第二个式子变形后，把第一个式子代入消参；
〔2〕利用三角恒等式进展消参；
〔3〕观看式子的构造，注意到两式中分子分母的构造特点，因此能够采取加减消参的方式；或把用后再代入另一表达式即可消参；
〔4〕此题是〔3〕题的变式，仅仅是把换成
罢了，因此消参方式依旧，但需要注意
、
的范围。
表示，反解出
解析：〔1〕∵ 又∵
,
, ∴
,
,
，把代入得；
∴ 所求方程为： 〔2〕∵
(,,把
)
代入得
.
又∵，
∴ ,. ∴ 所求方程为(,).
〔3〕〔法一〕：,
又，,
∴ 所求方程为(,).
〔法二〕：由得,代入,
∴〔余略〕.
〔4〕 由 得, ∴,由得,
当时，；当时，，从而.
法一: 即
〔
〕，故所求方程为
〔
， 〕
法二: 由 得，代入得，即
∴再将 总结升华：
代入得，化简得.
1. 消参的方式要紧有代入消参，加减消参，比值消参，平方消参，利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出的进程，因此能够综合运用求值域的各类方式.
触类旁通：
【变式1】化参数方程为一般方程。
、
的范围.在这进程中事实上是求函数值域
〔1〕(t为参数) ； 〔2〕〔t为参数〕.
【答案】：〔1〕由得，代入化简得.
∵, ∴
〔
，
,〕
.
故所求方程为
〔2〕两个式子相除得，代入得，即.
∵
，故所求方程为().
【变式2】〔1〕圆的半径为_________ ；
〔2〕参数方程(表示的曲线为〔 〕。
A、双曲线一支，且过点 B、抛物线的一局部，且过点
C、双曲线一支，且过点 【答案】：
D、抛物线的一局部，且过点
〔1〕 其中
，
，∴ 半径为5。
〔2〕
，且，因此选B。
【变式3】〔1〕直线: A、
B、
C、
(t为参数)的倾斜角为〔 〕。 D、
〔2〕为锐角，直线的倾斜角〔 〕。
A、 B、 C、 D、
【答案】：
〔1〕，相除得，∴倾斜角为，选C。
〔2〕，相除得，
∵
，∴ 倾角为，选C。
3．曲线的参数方程
)，
为参数(
〔、为常数〕。
〔1〕当为常数()时，说明曲线的类型；
〔2〕当为常数且，为参数时，说明曲线的类型。
思路点拨:通过消参，化为一般方程，再做判定。
解析：〔1〕方程可变形为 取两式的平方和，得 曲线是以
为圆心，
〔为参数，为常数〕
为半径的圆。
〔2〕方程变形为〔为参数，为常数〕,
两式相除，可得 曲线是过点
且斜率
，即
的直线。
,
总结升华：从本例能够看出：某曲线的参数方程形式完全一样，但选定不同的字母为参数，那么表示的意义也不一样，表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时，一样应标明选定的字母参数。
触类旁通：
【变式1】椭圆的参数方程为〔为参数〕，求出此椭圆的长轴长，短轴长，核心坐标，离心率和准线方程.
【答案】：由题意得:,, 得. ∴, .即:
椭圆的长轴长为26，短轴长为10，焦点坐标为(0,-12)和(0,12)，离心率为，
准线方程为：
和.
【变式2】曲线C的参数方程为〔t为参数〕
〔1〕判定点P1〔1，2〕，P2〔0，1〕与曲线C的位置关系
〔2〕点Q(2,a)在曲线l上，求a的值. 〔3〕化为一般方程，并作图
〔4〕假设t≥0， 化为一般方程，并作图.
【答案】：〔1〕假设点P在曲线上，那么能够用参数t表示出x, y，即能够求出相应t值.
所以，令， ∴t无解，∴ 点P1不在曲线C上.
同理，令 ， ∴ 点P2在曲线C上.
〔2〕∵Q在曲线C上， ∴ .
〔3〕将代入y=3t+1
2
,如图.
〔4〕∵t≥0, ∴ x=2t≥0, y=3t+1≥1, 消去t，
2
，
∴ t≥0时，曲线C的普通方程为(x≥0, y≥1).
点评:在〔4〕中，曲线C的一般方程的范围也能够只写出x≥0, 但不能写成y≥1，这是因为是关于x的自变
量，y为因变量的函数，由x的范围能够确信y的取值范围，但反过来不行.即:所得曲线方程为y=f(x)或x=g(y)形式时，能够只写出自变量的范围，但关于非函数形式的方程，即F(x,y)=0，一样来讲，x,y的范围都应标注出来.
【变式3】圆锥曲线方程为 〔1〕假设为参数， 〔2〕假设
。
为常数，求此曲线的核心到准线距离。
为参数，为常数，求此曲线的离心率。
【答案】：〔1〕方程可化为
消去,得：
∴曲线是抛物线，核心到准线距离即为。
〔2〕方程化为，
消去，得，
∴曲线为椭圆，其中
类型二：圆渐开线和摆线
，，，从而。
解析：
触类旁通：
，
面积为16
，那么基圆面积是_______。
【变式1】半径为10的基圆的渐开线方程是___________;
【答案】：
〔为参数〕
[变式2]摆线的参数方程为 【答案】：半径
类型三：求最值
，那么一个拱的宽度是_________，高度是_________。
，高度为直径16
，一个拱宽度为一个圆的周长为16
是椭圆上的点，求P到直线的距离的最大值与最小值，并求出抵达最值时P点的
坐标.
思路点拨: 利用参数方程求最值。
解析：∵点P是椭圆上的点，∴ 可设，q?[0，2p].
P到l的距离.
当时，即时，，现在P点坐标为.
当即 时，，现在P点坐标为.
总结升华：利用参数方程求最值是很常见的一种方式，利用参数方程结合三角函数知识能够较简练地解决问题。
触类旁通：
【变式1】求椭圆上的点到直线:的最小距离及相应的点的坐标。
【答案】：设到的距离为，那么
〔当且仅当即时取等号〕。
∴点
到直线的最小距离为，现在点，即。
【变式2】圆 【答案】：圆方程为
上到直线，
的距离为的点共有_______个.
设其参数方程为 那么圆上的点
〔〕 到直线
的距离为
，即，
∴或
又
，∴，从而知足要求的点一共有三个.
【变式3】椭圆内接矩形面积的最大值为_____________.
【答案】：
设椭圆上第一象限的点
，那么
当且仅当
时，取最大值，现在点.
【变式4】实数x, y知足
求:〔1〕x+y的最大值 〔2〕x+y的最小值.
2
2
,
【答案】：原方程配方得，表示以为圆心，2为半径的圆.
用参数方程表示为: 〔q为参数，0≤q≤2p〕.
〔1〕
∴当，即时，(x+y)max=16.
22
〔2〕
∴当， 即时，.
(按ctrl 点击掀开)
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