福建师大附中11-12学年度下学期高一期中考试数学

2011—2012学年度下学期期中考试

高一数学试题

本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．

注意事项：将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.

一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求.

1．下列角中终边与330°相同的角是

A．30° B．-30° C．630° D．-630°

2．要完成下列3项抽样调查：

①从15瓶饮料中抽取5瓶进行食品卫生检查.

②某校报告厅有25排，每排有38个座位，有一次报告会恰好坐满了学生，报告会结束后，为了听取意见，需要抽取25名学生进行座谈.

③某中学共有240名教职工，其中一般教师180名，行政人员24名，后勤人员36名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是

A．①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B．①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C．①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D．①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样

3．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个

热饮销售杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为y2.35x155.47．如果某天气温为4C时，那么该小卖部大约能卖出热饮的杯数是 A．140 B．146 C．151 D．164

4．若圆的半径是6cm，则圆心角为

22的扇形面积为 622A．cm B．2cm C．3cm D．6cm

5．甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为

x甲，x乙，则下列判断正确的是

A．x甲x乙；甲比乙成绩稳定 B．x甲x乙；乙比甲成绩稳定

C．x甲x乙；甲比乙成绩稳定 D．x甲x乙；乙比甲成绩稳定

6．从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是

Ａ．至少1个白球，都是白球 Ｂ．至少1个白球，至少1个红球 Ｃ．至少1个白球，都是红球 Ｄ．恰好1个白球，恰好2个白球

第5题图 （3，m）7．若点P是角终边上一点,且sin3,则m的值为 3A．6666 B． C． D． 22338．已知函数f(x)1sin(2x)，则f(x)是

2A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数

9．已知半径为1的动圆与定圆(x5)2(y7)216相切，则该动圆圆心的轨迹方程是

22A．(x5)(y7)25

22B．(x5)(y7)9

2222C．(x5)(y7)25或(x5)(y7)9

2222D．(x5)(y7)3或(x5)(y7)15

10．已知sin,cos是方程3x22xa0的两根，则实数a的值为

6534 B． C． D． 564311．已知集合A{(x,y)|x2y220,且yx1}.先后掷两枚骰子，设掷第一枚骰子得点

数记作a，掷第二枚骰子得点数记作b，则(a,b)A的概率为 15113A． B．C． D．

1218 336

A．12．动点Ax,y在圆x2y21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知

时间t0时，点A的坐标是(31,)，则当0t12时，动点A的纵坐标y关于t（单22位：秒）的函数的单调递增区间是 A．[0,2]

B．[2,8] C．[8,12]

D．[0,2]和[8,12]

二、填空题：本大题有5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答卷的相应位置. 13．若

sincos2，则tan的值为 * * * ． 2sincos开始 14．过点M(0,3)被圆(x1)2y24截得的弦

长为23的直线方程为 * * * ．

i1,M1,N1是 i4否 15．某程序框图如图所示，该程序运行后输出

M,N的值分别为 * * * ．

ii1MNMNNM输出M,N 16．若在区间[0,2]上随机取一个数x，则sinx

的值介于0到结束 3之间的概率为 * * * ． 2第15题图 17．设M(a,b)，且满足a2b21，已知圆C:(xa)2(yb)21，直线l:ykx，

下列四个命题：

①对满足条件的任意点M和任意实数k，直线l和圆C有公共点；

②对满足条件的任意点M和任意实数k，直线l和圆C相切；

③对任意实数k，必存在满足条件的点M，使得直线l和圆C相切； ④对满足条件的任意点M，必存在实数k，使得直线l和圆C相切. 其中正确的命题是 * * * ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）

tan(2)sin()cos(6)已知f()

31sin()cos()22（Ⅰ）化简f()；

（Ⅱ）若sin22，[,]，求f()的值. 32

19．（本小题满分10分）

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居

民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米． 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2．5浓度（微克/立方米） 频数（天） (0,25] (25,50] (50,75] (75,100) 合计 5 10 3 2 20 频率 0．25 0．5 0．15 0．1 1 (Ⅰ) 根据上面的频率分布表，估计该居民区PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/

立方米的概率； （Ⅱ）计算样本众数、中位数和平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年

平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)3sin(x)3,xR. 26（Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间； （Ⅱ）若x[43,3]，求f(x)的最大值和最小值.

21．(本小题满分12分)

某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a、b、c、d、e、f，现随机从中抽取2

人上台抽奖.求a和b至少有一人上台抽奖的概率； （Ⅲ）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生

两个[0，1]之间的均匀随机数x、y，并按如右所示的程 序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电 脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．

22．(本小题满分12分)

一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱圈最高点距水面8m,拱圈内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如下图所示. 近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，

62.45)

8 8 3 y A M B O x-2y=0 x P

23．（本小题满分12分）

如图，已知圆M：xy44，直线l的方程

22为x2y0，点P是直线l上一动点，过点P作圆 的切线PA、PB，切点为A、B．

16时，求∠APB的大小； 5（Ⅱ）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所有定点的坐标．

（Ⅰ）当P的横坐标为

（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

参考答案

一、选择题：1－12：BABCDD ACCBBD 二、填空题：

13．1 14．x0或4x3y90 15.13，21 16. 三、解答题： 18．解: （Ⅰ）f()1 17. ①③ 3tan(sin)costan；

cos(sin)（Ⅱ）因为sin221，[,]，所以cos 323所以f()tan

sin22 cos19．解:（Ⅰ）由已知共监测了20天，用频率估计相应的概率为0.25.

（Ⅱ）样本众数约为37.5，中位数约为37.5，平均值约

12.50.2537.50.562.50.1587.50.140（微克/立方米）

去年该居民区PM2.5年平均浓度为：40（微克/立方米）．

因为4035，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．

20． 解：（Ⅰ）由 22kx2k,kZ得 2622x2k2k,kZ 323424kx4k,kZ 所以33424k,4k],kZ 所以函数f(x)的单调增区间为[334（Ⅱ）因为x

33x2x5，所以， 6233266x549所以当即x时，[f(x)]min

26632x2当即x时，[f(x)]max6 2623所以

21．解：

22．解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A,B,D三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C在y轴上，故可设C(0, b).

因为|CD|=|CB|，所以8b162b2，解得b12．所以圆拱所在圆的方程为:

x2(y12)2(812)2202

当x=4时．求得y≈7.6，

即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m, 距涨水后的水面约5.6m,因为船高6.5m，顶宽8m，

所以船身至少降低6.5-5.6=0.9(m）以上，船才能顺利通过桥洞．

23．解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，P(168,)， 55因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°

816又因MP＝044＝2r，

55 又∠MPA＝30°，∠APB＝60°；

（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其

2b44bb4方程为： xby 2422222即(2xy4)bx2y24y0

2xy40 由2， 2xy4y08xx0845解得或，所以圆过定点(0,4),,

55y4y452b44bb4（Ⅲ）因圆N方程为xby即 24222x2y22bx(b4)y4b0 ……①

2 圆M：xy44即xy8y120 ……②

222②－①得圆M方程与圆N相交弦所在直线m方程为

2bx(b4)y124b0…11分

点M到直线m的距离d相交弦长即AB24d41245b8b162

44 41225b8b164645b55当b4时，AB有最小值11 5