专题训练(八) 乘法公式的变形
乘法公式在整式运算中非常重要，我们除了要熟悉公式的基本特征，掌握其基本运用外，还要关注公式的变形使用，近几年的中考中常有这方面的试题．
基本公式：(1)(a＋b)(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
利用乘法公式进行计算时，常把a2＋b2，ab，a±b等作为整体．因此，对乘法公式常作以下变形：
1．a2＋b2的变形： (1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab； (2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab； 1
(3)a2＋b2＝[(a＋b)2＋(a－b)2]．
22．ab的变形：
1
(1)ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]；
21
(2)ab＝[(a2＋b2)－(a－b)2]；
21
(3)ab＝[(a＋b)2－(a－b)2]．
43．a±b的变形： (1)a±b＝(a2－b2)÷(a∓b)； (2)a＋b＝±（a－b）2＋4ab； (3)a－b＝±（a＋b）2－4ab. ► 类型一 求两数的平方和
1．若m＋n＝2，mn＝1，则m2＋n2＝________． 2．已知x－y＝3，xy＝8，则x2＋y2＝________. 3．已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求x2＋y2的值．
4．已知a＋b＝3，ab＝－12, 求下列各式的值： (1)a2＋b2；
(2)a2－ab＋b2.
► 类型二 求两数的积
5．若(m－n)2＝16，(m＋n)2＝4，则mn的值为( ) A．6
B．3
C．－6
D．－3
6．如图8－ZT－1，长方形ABCD的周长是20 cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH.若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为68 cm2，则长方形ABCD的面积是________cm2.
图8－ZT－1
► 类型三 求两数的和或差
7．若(2a＋3b)2＝(2a－3b)2＋A，则A为( ) A．24ab
B．－24ab
C．12ab
D．－12ab
8．若a，b是正数，a－b＝1，ab＝2，则a＋b的值为( ) A．－3
B．3
C．±3
D．9
9．已知a2－b2＝16，a＋b＝8，则a－b＝________． 10．已知a＋b＝3，ab＝－12，求(a－b)2的值．
教师详解详析
1．2 2．[答案] 25
2
＋2xy＝32＋16＝25.
[解析] x2＋y2＝
(x－y)
11
3．解：x2＋y2＝[(x＋y)2＋(x－y)2]＝×(25＋9)＝17.
22
4．[解析] 第(1)小题可以采取添加2ab项，构造完全平方式的方法，a2＋b2＝a2＋2ab＋b2－2ab＝(a＋b)2－2ab，从而整体代入求值；第(2)小题可利用第(1)小题的结论解题．
解：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝32－2×(－12)＝9＋24＝33. (2)a2－ab＋b2＝(a2＋b2)－ab＝33－(－12)＝33＋12＝45.
11
5．[解析] D mn＝[(m＋n)2－(m－n)2]＝×(4－16)＝－3.故选D.
446．[答案] 16
11
[解析] 设AB＝a，BC＝b，则a＋b＝10，a2＋b2＝68，所以ab＝[(a＋b)2－(a2＋b2)]＝×(102
22－68)＝16.
7．A
8．[解析] B 由a－b＝1得(a－b)2＝1①.又由ab＝2得(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝9②，所以a＋b＝±3.因为a，b是正数，所以a＋b＝3.故选B.
9．2
10．[解析] 可将(a－b)2展开为a2－2ab＋b2＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a＋b)2－4ab，然后整体代入求值．
解：(a－b)2＝a2－2ab＋b2 ＝(a＋b)2－4ab
＝32－4×(－12) ＝57.
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