第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A

第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛

7.数字卡片“3”、 “4”、 “5”各10张，任意选出8张使它们的数字和是33，则最决赛试题A（小学组）

多有 张是卡片“3”. 总 分 （时间: 2010年4月10日10:00～11:30） 8.若将算式

112134156178120072008120092010的值化为小数， 一、填空题（每小题 10分，共80分）

则小数点后第1个数字是 . 1.在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，不能是13，也不能是

5的倍数，且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球.

二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)

11+12+14

9.右图中有5个由4个1×1的小正方格组成的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板

2.有五种价格分别为2元、5元、8元、11元、14元的礼品以及五种价格分别为1元、拼成右图中4×5的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由.

3元、5元、7元、9元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格.

3.汽车A从甲站出发开往乙站, 同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站, 途中A与B相遇20分钟后再与C相遇. 已知 A、B、C 的速度分别是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km. 4.将1, 1, 1, 1, 1, 1和这6 234567个分数的平均值从小到大排列, 则这个平均值排在第

位.

5.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后

可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为 ，这些10.长度为L的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12和18段，在各划分线“好数”的最大公约数是 .

处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多少？ 6.右图所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成, 这个立体图形的表面积为 .

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11.足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局两队各得1分. 若A，B，C，D队总分分别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？

△DEF，△EFA，△FAB的面积都等于335平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670平方厘米. 求六边形A1B1C1D1E1F1的面积.

A F1 E1 C1 D1 C D E F

B A1 B1

12.华罗庚爷爷出生于1910年11月12日. 将这些数字排成一个整数, 并且分解成

19101112116316424, 请问这两个数1163和16424中有质数吗? 并说明理由.

14.已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的两位数

三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）

13.右图中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米. 已知△ABC，△BCD，△CDE，合肥e度论坛 http://hf.eduu.com

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第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题A参考答案（小学组）

一、 填空题（每小题 10分，共80分）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 173 19 425 5 223，3 32 3 4

二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)

9. 答案：不能！

理由如下：假设能拼成4×5的长方形，如图A小方格黑白相间染色。其中黑格、白格各10个。

将五块纸板编号，如图B所示，除纸板④之外，其余4（图A）

张硬纸板每一张都盖住2个黑格，而④盖住3个黑格或一个黑格。这样一来，由4个1×1的小正方格组成的不①

②

同形状的5个硬纸板，只能盖住9或11个黑格，与10③

个黑格不符！

⑤

④ L（图B）

10. 答案：28，72

解：（1）易知 红线与蓝线重合的条数是 (8,12)13；

红线与黑线重合的条数是 (8,18)1211； 蓝线与黑线重合的条数是 (12,18)15；

红线、蓝线、黑线都重合的条数是 (8,12,18)1211；

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由红线7条，蓝线11条，黑线17条确定的位置的个数是 71117(315)127. 因此，依不同位置的线条锯开一共得到 27128（段）.

（2）最小公倍数 [8,12,18]2[4,3,9]23672.

因此，将木棍等分成72段时，至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两

条之间，并且再短（段数更多）时就做不到了.

所以锯得的木棍最短的一段的长度是L72. 11. 答案：5，7.

解：设A，B，C，D，E五队的总分分别是a，b，c，d，e，五队的总分为S，则Sabcde20e.

五队单循环共比赛10场，则S30.

如果有一场踢平，则总分S减少1分. 因为a11000，

b411113100， c73310， d83311，

所以比赛至少有3场平局，至多有5场平局. 所以305S303，即2520e27. 故5e7.

事实上，E队胜A，B，负于C队，与D踢平时，e7；

E队胜A，负于C，但与B、D踢平时，e5.

所以E队至少得5分，至多得7分. 12. 答案：1163是质数.

解：1163是质数,理由如下:

1

（1）显然16424是大于2的偶数,是合数.

（2）如果1163是合数,但不是完全平方数,则至少有2个不同的质因数,因为

11313311163,所以,如果1163有3个以上不同的质因数,必有一个小于11.但

是显然2,3,5,7都不能整除1163,11也不能整除1163,因此1163仅有2个不同的大于11的质因数.大于11的质数是:

13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101. 既然114731371163372,1163的两个不同的质因数一定有一个小于37,另一个大于11.计算

13891157116312611397； 17681156116312411773；

19611159116312731967； 23471081116312192353； 29371073116311892941.

所以1163是质数.

三、解答下列各题 （每小题 15分，共30分，要求写出详细过程） 13. 答案：670.

解：如图，已知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都等于335平方厘米，它们面积之和为33562010平方厘米=六边形ABCDEF的面积。

因此，未被盖住的六边形A1B1C1D1E1F1的面积 A =重叠部分的面积

F (1) (12) (11) = SF(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11). B 1(10) (2) A1 E1 (9) 另一方面,在△ABC中, S(3) B1 (1)S(3)335S(2), C(8) E (4) 1 D1 (7) 在△BCD中, SC (5) (6) (3)S(5)335S(4),

D 合肥e度论坛 http://hf.eduu.com

在△CDE中, S(5)S(7)335S(6), 在△DEF中, S(7)S(9)335S(8), 在△EFA中, S(9)S(11)335S(10), 在△FAB中, S(11)S(1)335S(12),

上述6个式子相加，得

2S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11)3355S(2)S(4)S(6)S(8)S(10)S(12) 即 2S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11)33566701340.

所以 S1340(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11)2670. 因此, 六边形A1B1C1D1E1F1的面积

=S(1)S(3)S(5)S(7)S(9)S(11)=670(平方厘米). 14. 答案：11，12，15，24，36.

解：两位自然数共有90个，一个一个地去试算检验它是不是满足条件，工作量太大，显然需要开动脑筋，缩小试算范围.

设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a，b. 显然a, b不等于0.

因为ab10ab，

10ab能被ab整除意味着10ab能被a整除且10ab能被b整除.

如果10ab能被a整除，说明b能被a整除；如果10ab能被b整除，说明

10a能被b整除.

这就是说，数字a，b同时要满足两个条件：（1）a整除b，（2）b整除10a。 对满足这两个条件的a，b，进行试算，可以缩小试算的范围。

若a＝1，则10能被b整除，b的可能值为1，2，5，这时ab＝11，12，15，它们符合条件；

若a＝2，则b是偶数，且20能被b整除，b的可能值是2，4. 经检验后知

2

只有ab＝24满足条件；

若a＝3，则b是3的倍数，且30能被b整除，b的可能值是3，6. 经检验后知只有ab＝36合于要求；

若a＝4，则b是4的倍数，且40能被b整除，b的可能值是4，8. 经检验后它们都不合题意。

若a＝5，6，7，8，9，经过同样的检验后知，没有符合题意的值. 综上所述知：“虎威”代表的两位数11，12，15，24，36.

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