(完整版)数列求和习题及答案

§6.4 数列求和

（时间：45分钟 满分：100分）

一、选择题(每小题7分，共35分)

1*

1．在等比数列{an} (n∈N)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为( )

8

11

A．2－8 B．2－9 2211

C．2－10 D．2－11

222．若数列{an}的通项公式为an＝2＋2n－1，则数列{an}的前n项和为( )

A．2＋n－1 C．2

n＋1n2

n

B．2

n＋1n＋n－1

2

＋n－2

2

D．2＋n－2

3．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于( ) A．126

B．130

C．132

n－1

D．134

4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)

A．200

·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )

D．－400

B．－200 C．400

5．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为( ) 11

A.n(n＋1)(n＋2) B.n(n＋1)(2n＋1) 6611

C.n(n＋2)(n＋3) D.n(n＋1)(n＋2) 33二、填空题(每小题6分，共24分)

6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2－1，则a1＋a2＋…＋an＝________.

7．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝__________.

1

的前n8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列

bnbn＋1

n2

2

2

项和Sn＝________.

9．设关于x的不等式x－x<2nx (n∈N)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 三、解答题(共41分)

10．(13分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N满足关系式

2Sn＝3an－3.

(1)求数列{an}的通项公式；

1

(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的

log3an·log3an＋1正数n，总有Tn<1.

*

2

*

11．(14分)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差

中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

1n＋1

(2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2>50成立的最小正整数n的

2值．

12．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别

是一个等比数列的第二项、第三项、第四项． (1)求数列{an}的通项公式；

1*

(2)设bn＝ (n∈N)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任

n(an＋3)t

意的n均有Sn>总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

36答案

1.B

2.C

3.C

4.B 8.

5.A

1n6. (4－1) 3

13n－1 7. 24

nn＋1

9.10 100

2Sn＝3an－3，

10. (1)解 由已知得 (n≥2)．

2Sn－1＝3an－1－3

故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1 (n≥2)． 故数列{an}为等比数列，且公比q＝3. 又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3.

n111

(2)证明 ∵bn＝＝－. n(n＋1)nn＋1∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn

11111

＝1－＋－＋…＋－ 223nn＋11＝1－<1.

n＋1

11解 (1)设此等比数列为a1，a1q，a1q，a1q，…，其中a1≠0，q≠0.

由题意知：a1q＋a1q＋a1q＝28，

2

3

2

3

① ②

a1q＋a1q＝2(a1q＋2)．

3

23

2

②×7－①得6a1q－15a1q＋6a1q＝0，

12

即2q－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.

2

∵等比数列{an}单调递增，∴a1＝2，q＝2，∴an＝2. (2)由(1)得bn＝－n·2，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×2＋…＋n·2)． 设Tn＝1×2＋2×2＋…＋n·2，③

2

2

nnnn则2Tn＝1×2＋2×2＋…＋n·2

2

3

2

n＋1

.④

nn＋1

由③－④，得－Tn＝1×2＋1×2＋…＋1·2－n·2＝2

n＋1

－2－n·2

n＋1

＝(1－n)·2

n＋1

n＋1

－2，

∴－Tn＝－(n－1)·2∴Sn＝－(n－1)·2要使Sn＋n·2

n＋1

－2.

n＋1

－2.

>50成立， －2＋n·2

n＋1

即－(n－1)·2

4

5

n＋1

>50，即2>26.

xn∵2＝16<26,2＝32>26，且y＝2是单调递增函数， ∴满足条件的n的最小值为5.

12解 (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)，

整理得2a1d＝d.

2

2

∵a1＝1，解得d＝2，d＝0(舍)． ∴an＝2n－1 (n∈N)． (2)bn＝

11111

＝＝n－n＋1，

n(an＋3)2n(n＋1)2

*

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn

111111

＝1－＋－＋－ 223nn＋1211n＝1－＝. n＋12(n＋1)2

假设存在整数t满足Sn>总成立，

36

n＋1n1

又Sn＋1－Sn＝－＝>0，

2(n＋2)2(n＋1)2(n＋2)(n＋1)

t

∴数列{Sn}是单调递增的．

1t1

∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.

4364又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.