彩票中的数学论文

摘要

本文针对目前流行的各种彩票发行方案建立了关于彩票购买方案的数学模型并对其进行优化，最终对彩票管理部门和彩民买彩票提出了具有合理性的建议。

问题一，首先，本文利用古典概率分别计算出了‘乐透型’和‘传统型’两种类型中各种奖项的中奖概率并计算出高项奖奖金额的期望值；其次，为了分析各因素对彩名的吸引力，并考虑到不同区域人群的收入差距等的影响，应用心理学的相关知识，构造了彩名的心理曲线函数：

u(x)1e()2x (0)

进而做出如下的指标吸引力函数：

Fpi(xi)

i17最后评价出给定29种彩票方案的合理性，计算出了序号9对应的7/30对彩名吸引最大，也最合理。

问题二，要设计一个“更好”的方案，我们采用非线性规划模型以第一问中的吸引力函数为目标即求出一个方案使其吸引力最大。通过Matlab可求出在人均收入中等地区的最优方案为：32选（6/32），一、二、三等奖的比例为80%、9%、11%，四、五、六、七等奖的金额分别为200、10、1、0元。同时我们也考虑了不同经济情况下的方案会有不同，因此，我们给出了不同地区的最优彩票销售方案。

问题三，通过综合分析各个方案我们给彩票部门提出了合理的建议并给了一篇 “把握机会，理智博彩” 短文。

关键字：心理曲线函数 吸引力 非线性规划 合理性评价

一、问题重述

近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。

表一

中 奖 等 级 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 “乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。

表二 中 奖 33 选 7（7/33） 36 选 6+1（6+1/36） 等 级 基 本 号 码 特别号说 明 基 本 号 码 特别号说 明 码 码 一等奖 ●●●●●●● 选7中（7） ●●●●●● ★ 选7中（6+1） 二等奖 ●●●●●●○ ★ 选7中（6+1） ●●●●●● 选7中（6） 三等奖 ●●●●●●○ 选7中（6） ●●●●●○ ★ 选7中（5+1） 四等奖 ●●●●●○○ 选7中（5+1） ●●●●●○ 选7中（5） ★ 五等奖 ●●●●●○○ 选7中（5） ●●●●○○ ★ 选7中（4+1） 六等奖 ●●●●○○○ 选7中（4+1） ●●●●○○ 选7中（4） ★ 七等奖 ●●●●○○○ 选7中（4） ●●●○○○ ★ 选7中（3+1） 注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：

[(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例

（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。 （3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。

10 选 6+1（6+1/10） 基 本 号 码 特说 明 别号码 abcdef 选7中（6+1） g abcdef 选7中（6） abcdeX Xbcdef 选7中（5） abcdXX XbcdeX XXcdef 选7中（4） abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 选7中（3） abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 选7中（2）

表三 序 一等二等三等四等五等号 奖项 奖 奖 奖 奖 奖 方案 比 比 比 金 金 例 例 例 额 额 1 6+1/10 50% 20% 30% 50 2 6+1/10 60% 20% 20% 300 20 3 6+1/10 65% 15% 20% 300 20 4 6+1/10 70% 15% 15% 300 20 5 7/29 60% 20% 20% 300 30 6 6+1/29 60% 25% 15% 200 20 7 7/30 65% 15% 20% 500 50 8 7/30 70% 10% 20% 200 50 9 7/30 75% 10% 15% 200 30 10 7/31 60% 15% 25% 500 50 11 7/31 75% 10% 15% 320 30 12 7/32 65% 15% 20% 500 50 13 7/32 70% 10% 20% 500 50 14 7/32 75% 10% 15% 500 50 15 7/33 70% 10% 20% 600 60 16 7/33 75% 10% 15% 500 50 17 7/34 65% 15% 20% 500 30 18 7/34 68% 12% 20% 500 50 19 7/35 70% 15% 15% 300 50 20 7/35 70% 10% 20% 500 100 21 7/35 75% 10% 15% 1000 100 22 7/35 80% 10% 10% 200 50 23 7/35 100% 2000 20 4 2 24 6+1/36 25 6+1/36 26 7/36 27 7/37 28 6/40 29 5/60

75% 80% 70% 70% 82% 60% 10% 10% 10% 15% 10% 20% 15% 10% 20% 15% 8% 20% 500 500 500 1500 200 300 100 100 50 100 10 30 六等奖 金 额 5 5 5 5 5 15 10 10 20 5 10 10 10 6 10 6 10 5 30 50 20 10 10 10 50 1 七等备 注 奖 金 额 按序 按序 按序 按序 5 5 5 10 5 2 5 5 5 无特别号 5 5

二、问题分析

该问题要求评价 29 种彩票发行方案的合理性并设计一种更好的方案，给彩票管理部门提出建议，写一篇短文供彩民参考。

对于问题一，要想评价各方案的合理性，首先需利用组合数学和概率论的知识分析出各方案中每种奖项出现的概率。对评价方案的合理性，要取决于彩票公司和广大彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。因此，问题就转化成怎样才能有利于销售额的增加，即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票。

对于问题二，要设置一个“更好”的方案，问题涉及到一个方案的设置使财迷获奖的可能性有多大、奖金额有多少、对彩民的吸引力有多大、广大彩民如何看待各奖项的设置，即彩民的心理曲线怎样。另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。

综上所述，我们要考查一个方案的合理性问题，需要考虑以上这些因素的影响，这是我们建立模型的关键所在。

三、模型的建设

1：彩票摇奖是公平公正的，各号码的出现是随机的； 2：彩民购买彩票是随机的独立事件；

3：对同一方案中高级别奖项的奖金比例或奖金额不应低于相对低级别的奖金比例或奖金额；

4：根据我国的现行制度，假设我国居民的平均工作年限为T =35年。

四、符号的说明

rj---第j等（高项）奖占高项奖总额的比例，j1,2,3； xi----第i等奖奖金额均值，1i7； pi----彩民中第i等奖xi的概率，1i7；

(xi)----彩民对某个方案第i等奖的满意度，即第i等奖对彩民的吸引力， 1i7； ----某地区的平均收入和消费水平的相关因子，称为“实力因子”，一般为常数； F----彩票方案的合理性指标，即方案设置对彩民吸引力的综合指标；

五、模型的建立与求解

（1）模型的准备

彩民获各项奖的概率：

从已给的29种方案可知，可将其分为四类,K1:10选6+1（6+1/10）型、K2: n选

m(m/n) 型、K3:n选m1(m1/n)型和K4:n选m(m/n)无特别号型，分别给出各

种类型方案的彩民获各奖项的概率公式：

 K1：10选6+1（6+1/10）型

12C914771.8105 p1210，p2810，p36661051051011111111112C9C10C9C92C9C10C102C9C9C1043p42.6110p3.4210, 5661010111111111112C9C10C10C103C9C9C10C10(3C9C92C9)p64.1995102 610 K2：n选m(m/n)型

m11m21m1CmCn(m1)CmCn(m1)1Cmp1m，p2m，p3，p4， mmCnCnCnCnm22CmCn(m1)m32CmCn(m1)m33CmCn(m1)p5Cmn，p6Cmn，p7Cmn。

 K3：n选m1(m1/n)型 p11m1Cn，p21Cn(m1)m1Cn，p3m11CmCn(m1)m1Cn，p4m12CmCn(m1)m1Cn，

p5m22CmCn(m1)Cm1n，p6m23CmCn(m1)Cm1n，p7m33CmCn(m1)Cm1n。

 K4：n选m(m/n)无特别号型

m11m22m33m44CmCnmCmCnmCmCnmCmCnm1 p1m，p2，，，。 ppp345mmmmCnCnCnCnCn

各种方案的各个奖项获奖概率及获奖总概率Ppi计算如表：

i

各方案中各奖项的概率一览图

方案 p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 Ppii 6+1/10 7/29 6.40705×10-7 6.40705×10-7 2×10-7 8×10-7 1.8×2.61×3.42×4.199----- 0.04510-5 10-4 10-3 5×695 -210 2.8255×10-3 2.2200×10-3 4.7092×10-3 1.4800×10-2 0.029825 0.019734 0.037742 0.037742 6+1/29 7/30 4.48494×9.4182.825510-6 4××10-4 10-5 1.4096×8.4578.888010-5 3××10-4 10-5 3.43845×7.5642.269410-6 6××10-4 10-5 2.66203×6.1221.836810-6 7××10-4 10-5 2.07971×4.0991.497410-6 13××10-4 10-5 1.63856×4.0961.228910-6 4××10-4 10-5 1.30121×3.3831.014910-6 1××10-4 10-5 1.04097×2.8108.431810-6 6××10-5 10-5 8.38556×2.3487.043910-7 0××10-5 10-5 4.91207×10-7 3.80290×10-7 2.97101×10-7 2.34080×10-7 1.85887×10-7 1.48709×10-7 1.19794×10-7 2.3828×10-3 7/31 7/32 7/33 7/34 7/35 7/36 3.9714×10-3 2.02053.367×10-3 5×10-3 1.722×2.87010-3 0×10-3 1.47472.457-3×10 8×10-3 1.26872.114-3×10 5×10-3 1.09611.826×10-3 9×10-3 9.50921.584×10-4 9×10-3 0.026476 0.023572 0.021047 0.018843 0.016916 0.015224 0.013736 0.033137 0.029208 0.025832 0.022941 0.020436 0.018261 0.016367 6+1/36 7/37 1.19794×10-7 3.47402×2.0842.918210-6 4××10-4 10-5 7.2954×10-4 6.5650.0089×755 10-3 1.3802×10-3 2.7512×10-3 2.6202×10-3 0.012422 0.028428 0.045416 0.016367 9.71301-8×10 6/40 5/60

6.79911×1.9715.9152-7-510 7××10 10-5 2.60531.5632×5.1581.2896-7×10 10-6 4××10-4 10-5 1.831×9.155×4.9439.887410-7 10-7 7××10-5 10-5 8.2813-4×10 2.0634×10-3 2.6202×10-3 0.014710 0.033425 0.050806

（2）确定彩民的心理曲线

一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。在此，彩民对一个方案的各个奖项及奖金额的看法（即对彩民的吸引力）的变化就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物的心理变化一般遵循的规律，不妨定义彩民的心理曲线为

(x)1ex2(0)

其中表示彩民平均收入的相关因子，称为实力因子，一般为常数。

（3）计算实力因子

实力因子是反应一个地区的彩民的平均收入和消费水平的指标，确定一个地区的彩票方案应该考虑所在地区的实力因子，在我国不同地区的收入和消费水平是不同的，因此，不同地区的实力因子应有一定的差异，目前各地区现行的方案不尽相同，要统一来评估这些方案的合理性，就应该对同一个实力因子进行研究。为此，我们以中等地区的收入水平（或全国平均水平）为例进行研究。根据相关网站的统计数据，不妨取人均年收入1.5万元，按我国的现行制度，平均工作年限T=35年，则人均总收入为52.5万元，于是，当x052.5万元时，取(x0)1e则有

5.25105ln0.56.30589105。

x020.5（即吸引力的中位数），

同理，可以算出年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元的实力因子如表：

各种收入所对应的的实力因子一览表

年收1 入 万元 指标  4203931.5 万元 2 万元 2.5 万元 3 万元 1261179 4 万元 1681571 5 万元 2101964 10 万元 4203928 630589 840786 1050982

问题（一）

要综合评价这些方案的合理性，应该建立一个能够充分反应各种因素的合理性指标函数。因为彩民购买彩票是一种风险投资行为，为此，我们根据决策分析的理论，考虑到彩民的心理因素的影响，可取(x)1e于是作出如下的指标函数：

Fpi(xi)

i17x2(0)为风险决策的益损函数，

即表示在考虑彩民的心理因素的条件下，一个方案的奖项和奖金设置对彩民的吸引力。 另一方面，由题意知，单注所有可能的低项奖金总额为Lpixi，根据高项奖的

i47计算公式得单注可能的第j项（高项奖）奖金额为

7 pjxj(1L)rj1pixirj ， j1,2,3

i471pixirji4,故第j项（高项奖）奖金额平均值（期望）为 xjpjj1,2,3

于是由（1），（2）式得

7Fpi(xi)i171pxiirji4 s.t. xj,j1,2,3

pj2xi(x)1e,i1,2,,7i6.30589105

利用Matlab可计算出29种方案的合理性指标值F及高项奖的期望值，排在前三位的如下表：

结果一览表 指 标 排 序 F x3 x1 x2 方 案 9 7/30 4.009×1.086×20679 1410 1 -76 10 1011 7/31 3.784×1.704×32448 2116 2 10-7 106 5 7/29 3.637×7.557×35984 1714 3 10-7 105

问题(二)

根据问题（一）的讨论，现在的问题是取什么样的方案m/n（n和m取何值）、设置哪些奖项、 高项奖的比例rj(j1,2,3)为多少和低项奖的奖金额xi(i4,5,6,7)为多少时，使目标函数Fpi(xi)有最大值。

i17 设以m，n，rj(j1,2,3)，xi(i4,5,6,7)为决策变量，以它们之间所满足的关系为约束条件，则可得到非线性规划模型：

max Fpi(xi)

i17 s.t.71pxiirjxi4,j1,2,3jpj2xi(i1,2,,7),6.30589105(xi)1errr11230.5r10.86105x51061xiaixbi,i1,2,,6i1pipi1,i1,2,,65m729n60rj0,xi0;m,n为正整数(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

关于约束条件的说明：

1）条件（1）（2）同问题（一）；

2）条件（3）（4）是对高项奖的比例约束，r1的值不能太大或太小，（4）是根据已知的方案确定的；

3）条件（5）是根据题意中一等奖的保底额和封顶额确定的；

4）条件（6）中的ai,bi(i1,2,,6)分别为i等奖的奖金额xi比i1等奖的奖金额xi1高的倍数，可由问题（一）的计算结果和已知各方案的奖金数额统计得：

a110,b1233;a24,b254;a33,b317;a44,b420;a52,b510;a62,b610

5）条件（7）是根据实际问题确定的，实际中高等奖的概率pi应小于低等奖的概率pi1，它的值主要有m,n确定。

6）条件（8）（9）是对方案中m,n取值范围的约束，是由已知的方案确定的； 这是一个较复杂的非线性（整数）规划，其中概率pi的取值分为四种不同的情况

K1,K2,K3,K4，者有整数变量m,n确定，一般的求解是困难的。为此，利用Matlab可

求解得最优解为{K2,6,32,0.8,0.09,0.11,200,10,1,0}，最优值为F6.8399107。 故对应的最优方案为：32选6（6/32），一、二、三等奖的比例分别为80%、9%、11%，四、五、六、七等奖的金额分别为200、10、1、0元。

序 一等二等三等四等五等六等七等备 注 号 奖项 奖 奖 奖 奖 奖 奖 奖 方案 比 比 比 金 金 金 金 例 例 例 额 额 额 额 1 6/32 80% 9% 11% 200 10 1 0 无序

前面是针对中等收入水平的彩民情况考虑的，对于经济发达地区和欠发达地区应有所不同。这里分别对年收入1万元、2万元、2.5万元、3万元、4万元、5万元、10万元,工作年限均35年的情况进行了讨论，给出适用于相应各种情况的最优方案，如下面的表。

不同年收入下的优选方案一览表 年收1 2 2.5 3 4 5 10 入 万元 万元 万元 万元 万元 万元 万元 指标 420393 840786 1050982 1261179 1681571 2101964 4203928  最优方5+1/33 6/32 7/30 6/37 6+1/32 7/33 7/35 案 F 8.255×4.623×4.103×3.223×2.475×2.075×1.828×10-7 10-7 10-7 10-7 10-7 10-7 10-7 0.80 0.80 0.73 0.70 0.73 0.73 0.80 r1 r2 r3 0.10 0.10 0.9 0.11 0.17 0.10 1.38×106 47506 1235 100 0.15 0.15 1．46×106 52172 1739 200 0.19 0.07 2.23×106 22721 1507 100 0.18 0.09 2.99×106 1.07×105 1974 200 0.13 0.07 3.91×106 94252 1746 103 x1 x2 x3 6.5×105 6．18×105 3037 120004 607 138 600 200 x4 x5 x6 x7 7 1 0 10 1 0 10 5 0 20 2 0 20 2 0 10 2 0 20 5 3

给彩票管理部门的建议：

⑴“乐透型”的彩票优于“传统型”的彩票，加特别号码的方案优于不加特别号码的方案；

⑵因中高项奖的概率很小，能中高项奖的彩民是极其个别的，若彩民屡购彩票屡不中，必定会挫伤其积极性。从长远来看为保证彩民的热情不减，应增大中奖概率， 适当降低高等奖的金额，可采取底数更低的彩票发行方案，比如“22 选 5” ； ⑶一定要保证奖金完全返回给彩民。若某次开奖出现一等奖封顶或高额奖空缺，未能发放的奖金应滚入设立的奖池，作为下次开奖的奖金；当出现保底情况时，也可从奖池中拿出奖金，确保彩民的利益。

问题三:

把握机会，理智博彩

近年来，彩票的种类在增加，设奖的花样在翻新，“彩民”的队伍在壮大。彩票一路升温，热了京城、热了全国.究其原因主要是彩票具有收益性，他满足了人们普遍有种暴富期望的消费心理，所以购买彩票是就从在一种盲目和冲动，甚至有少数彩名因买彩票而造成了经济窘况。所以，作为彩名必须平静入市，同时郑重提醒彩民：彩市有风险，入市要理智。 第一：充分认识彩票

彩票具有收益性、风险性等特征，彩票面额低，无还本利息。同时，发行彩票作为一项促进社会消费的措施，带动了国家经济增长。彩票属于所谓运气成分超过智慧成分的随机性游戏，具有群众性，投机性，是盈利极高、技术性极强、需要高特明度的大规模筹资活动。从根本上来说，发行彩票的最大盈利是国家。

彩票发行的本质其实是财富的再分配，政府通过发行彩票筹集资金，并将这些资金投入到各种社会公益事业中去，社会是最后的受益者，每个人只是在其中或多或少的得到间接利益。彩票的中奖率是随机产生的，并不从在可以推算出来的可能性，彩名中彩其根本还是幸运所致，所以让人们了解彩票的受益型和随机性，看到事情的两面。 第二：动机和心态

购满彩票是为了追求幸运，彩票作为一种商品，出售的是一种商品，出售的是一种或然性的机会，它或者会带来财富，或者带来一段期待的快乐。但是由于彩票单注金额

很小，所筹集的资金又是用于公益性事业，人们可因彩票而获得一种乐善好施的满足。要淡化以小增大的中奖心理，将其看做一种正常的消费或娱乐。中奖的得奖，不中奖则当作献爱心，面对与彩票俱存的希望、狂喜、和艳慕，要保持一颗平和的心态：中，是意料之外，无，是意料之中，重在参与。所以，我们买彩票应该做到：购彩娱乐第一位，中奖与否不在意，中了小奖小开心，不中落空献爱心。 第三：策略和技巧

玩彩票和炒股票一样，充满了风险；花钱买彩票，可能获利，也可能血本无归，买彩票来不得半点盲目和冲动。要想中大奖，除了要有理智的博彩心态跟好运气，还必须的懂

得一些聪明的博彩策略与技巧。

总之，国家发行彩票的根本宗旨是“取之于民，用之于民”，把集资来的钱用于发展公益事业。所以，发行彩票是一项利国利民的事业，在力所能及的基础上，广大彩民朋友也不妨积极投入彩市，带着中百万大奖的希望，为国家福利事业作一点贡献。

六、模型的评价

⑴本模型给出评价函数对 29 种方案对彩民的吸引力排名，简单、直观，并且根据不同地方的经济条件，给出了不同的优选方案。

⑵评价函数中考虑的因素较为全面，利用评价函数确定的各方案的排名，符合现实中彩票发行方案的发展方向。

(3)本模型通过考虑中奖概率和博彩心理的因素，具有一定合理的推广价值。 （4）本模型也有一些不足之处，考虑实力因子方面还是有一点主观性。

参考文献

附录