高三数学课：函数的单调性与极值文知识精讲 试题

函数的单调性与极值〔文〕人

【本讲教育信息】 一.教学内容：

高三新课：函数的单调性与极值 二.知识讲解： 1.函数的单调性 一般地，设函数

yf(x)在某个区间内有导数，假设在这个区间内y0，那么yf(x)为这个区

y0，那么yf(x)为这个区间内的减函数。

间内的增函数；假设在这个区间内2.极值

一般地，设函数值都大，就称小，就称

yf(x)在xx0及其附近有定义，假设f(x0)的值比x0附近所有各点的函数

f(x0)是函数yf(x)的一个极大值；假设f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都

f(x0)是函数yf(x)的一个极小值。

假设函数

yf(x)在某个区间有导数，就采用以下方法求它的极值： f(x)； f(x)0的根；

的根的左右符号，假设在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那

〔1〕求导数〔2〕求方程〔3〕检查么函数

f(x)在方程f(x)=0

yf(x)在这个根处获得极大值；假设在根的左侧附近为负，在根的右侧附近为正，那么函数

yf(x)在这个根处获得极小值。要注意在求函数的极值时，除了f(x0)=0的条件外，还要考虑f(x)在x0附近两侧的正负情况。 【典型例题】 [例1]函数

f(x)x33ax22bx在x1处有极小值1，试确定a,b的值，并求出f(x)的单调

区间。

分析：此题是2021年文史类考试题，主要考察函数和函数极值概念，考察运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的才能。

解：由，可得

f(1)13a2b1①

又

f(x)3x26ax2b那么f(1)36a2b0②

1a3由①、②可得

1b2故函数的解析式为由此得

f(x)x3x2x

f(x)3x22x1

11或者x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0 3311因此，在区间(,)和(1,)上，函数f(x)为增函数；在区间(,1)内，函数f(x)为减

33根据二次函数的性质，当x函数。

[例2]设函数单调区间。

f(x)x3ax2bxc在x1处获得极值2，试用c表示a和b，并求f(x)的

分析：此题为2021年高考文科试题，主要考察导数的概念和计算，考察应用导数研究函数性质的方法和运算才能。

解题思路：由导数公式和条件利用待定系数法求出a,b,c，然后由后单调区间要分开写不能用并集符号。

解：由，有

f(x)的符号判断单调区间，最

f(1)2，f(1)0

而

f(x)3x22axb

故1abc2

32ab0解得ac

b2c3f(x)3x22cx(2c3)(3x2c3)(x1)

从而令

2c3 32c3由于f(x)在x1处取极值，故1，即c3

32c32c3〔1〕假设1即c3，那么当x(,)时，f(x)0；当

332c3x(,1)时，f(x)0；当x(1,)时，f(x)0

32c32c3〔2〕假设，〔，1，即c3同上可得f(x)的单调递增区间为〔,1〕

332c3〕；单调递减区间为〔1，〕

3332[例3]函数f(x)ax3x1

af(x)0，得x1或者x〔1〕讨论函数〔2〕假设曲线数a的取值范围。

分析：此题为2021年高考文科试题，主题考察利用导数方法研究函数的单调性，同时考察学生分类讨论的思想。

解：

〔1〕由题设知a令

f(x)的单调性；

yf(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公一共点，务实

20，f(x)3ax26x3ax(x)

a2f(x)0，那么x10,x2

a①当a0时，

f(x)0，所以f(x)在区间〔,0〕上是增函数

假设x(,0)，那么假设x(0,22)，那么f(x)0，所以f(x)在区间(0,)上是减函数； aa22假设x(,)，那么f(x)0，所以在区间(,)上是增函数

aa②当a0时，

22)，那么f(x)0，所以f(x)在区间〔,〕上是减函数 aa22假设x(,0)，那么f(x)0，所以f(x)在区间(,0)上是增函数；

aa假设x(,假设x(0,)，那么

f(x)0，所以f(x)在区间(0,)上是减函数

yf(x)上的两点

A、B的纵坐标均为函数的极值，且函数

〔2〕由〔1〕的讨论及题设知，曲线

yf(x)在x0，x23243处分别获得极值f(0)1，f()21 aaaaa2433因为线段AB与x轴有公一共点，所以f(0)f()0，即(21)(1)0

aaaa(a1)(a3)(a4)所以0

a3故a(a1)(a3)(a4)解得1a0且a0

0或者3a4

即所务实数a的取值范围是[1,0)[3,4] 【模拟试题】 一.选择题： 1.设x0为A.C.2.〕

A.极大值比极小值大 B.极小值不一定比极大值小 C.极大值比极小值小 D.极小值不大于极大值 3.一元三次函数〔〕

f(x)的极值点，那么〔〕

D.

B.

f(x0)0 f(x0)不存在

f(x0)=0或者不存在 f(x0)存在但可能不为0

f(x)当x1时有极大值4，当x3时有极小值为0且函数过原点，那么此函数是

A.C.

yx36x29x yx36x29x

B.D.

yx36x29x yx36x29x

二.填空题：

4.函数

f(x)x33a2xa(a0)的极大值为正数，极小值为负数，那么a的取值范围是。

5.假设函数【试题答案】 一. 1.C2.B3.B 二.

f(x)x312xbxc在R上为增函数，那么实数b的取值范围是。 2(21,).[,) 212