抛物线中的定点定值问题

2例1.已知A,B是抛物线y2px(p0)上的两点，且OAOB．

求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积;

（2）直线AB恒过定点;

（3）求弦AB中点P的轨迹方程; （4）求△AOB面积的最小值；

（5）O在AB上的射影M轨迹方程.

思考1：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？

思考2：本题中，OAOB，即表示OA、OB斜率之积为-1，若kOA kOB=m(m为不为零的常数),直线AB是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究； 思考3：若kOA+ kOB=n(n为非零常数), 直线AB过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；

思考4：把问题3和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？

思考5：上述结论在椭圆中成立吗？

抛物线专题第1页

例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B和C,有BC斜率为定值（简称一定二动斜率定值）

2试着以抛物线y4x上点A（4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC分别交抛物线于B、

C两点，证明：BC斜率为定值。

例3.类比于专题7例4---例6

2已知抛物线y4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，试问x轴上是否存在点P，

使PF平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

思考1：若上述问题改为过求出的定点P，做两条直线，分别交抛物线于点A,B且满足直线AP与BP斜率之和为0，且A、B不关于x轴对称，证明直线AB过定点.

思考2：若上述问题改为过求出的定点P，做一条直线，交抛物线于点A,B探究KAF,KBF的关系。

抛物线专题第2页

思考3：若题中出现的点不是焦点，是否有类似规律,如下题：

已知定点H(3,0)，动点P在

y轴上，动点Q在x轴的正半轴上，动点M满足:HPPM0，

m0)的直线l与曲线C相交于

PM3MQ.设动点2M的轨迹为曲线C，过定点D(m,0)(A、B两点．

（1）求曲线C的方程；

（2）若点E的坐标为(m,0)，求证：AEDBED； （3）是否存在实数a,使得以

AD为直径的圆截直线l:xa所得的弦长恒为定值？若存在求出实

数a的值；若不存在，请说明理由.

抛物线专题第3页

例4：类比于专题8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：

2如图：若AB是过抛物线y2px(p0)焦点F的弦，M是AB的中点, l是抛物

线的准线,MNl，N为垂足，BDl,AHl,D,H为垂足.证明： （1）ANBN；即以AB为直径的圆和抛物线的准线相切． （2）HFDF； （3）FNAB；

（4）A、O、D三点共线；（能否推广？F(a,0),l:xa）

2思考：若AB是过抛物线y2px(p0)焦点F的弦，过A和B分别做抛物线的切线，切线

交于点M，试着猜想M的轨迹并证明；（参考专题8例3）

抛物线专题第4页

抛物线练习（定点定值垂直等）

2例1.已知A,B是抛物线y2px(p0)上的两点，且OAOB．

求证：（1）求AB两点的横坐标之积和纵坐标之积;

（2）直线AB恒过定点;

（3）求弦AB中点P的轨迹方程; （4）求△AOB面积的最小值；

（5）O在AB上的射影M轨迹方程.

（1）

（2）

（3）

222（5）(xp)yp

思考1：若将O点改为抛物线上任意点，AB直线是否仍过定点？

思考2：本题中，OAOB，即表示OA、OB斜率之积为-1，若kOA kOB=m(m为不为零的常

2y02p,y0)。 数),直线AB是否过定点，试先举特例研究，再做一般性研究；AB过定点(2pm思考3：若kOA+ kOB=n(n为非零常数), 直线AB过定点吗？试先举特例研究，再做一般性研究；

2y02y2p0,y0). 直线AB过定点(2pnn思考4：把问题3和问题4中的O点改为抛物线上任意点，是否也有类似性质？

思考5：上述结论在椭圆中成立吗？

抛物线专题第5页

例2.在专题7例1中，椭圆上任找一点A，作两条斜率之和为0的直线，分别交椭圆与另外亮点B和C,有BC斜率为定值（简称一定二动斜率定值）

2试着以抛物线y4x上点A（4，4）,作两条斜率之和为0的弦AB,AC分别交抛物线于B、

C两点，证明：BC斜率为定值。

例3.类比于专题7例4---例6

p1,一般情况下A(x0,y0)，结论为 y022已知抛物线y4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，试问x轴上是否存在点P，

使PF平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（-1，0）

思考1：若上述问题改为过求出的定点P，做两条直线，分别交抛物线于点A,B且满足直线AP与BP斜率之和为0，且A、B不关于x轴对称，证明直线AB过定点.

思考2：若上述问题改为过求出的定点P，做一条直线，交抛物线于点A,B探究KAF,KBF的关系。KAFKBF0

思考3：若将P改为x轴负半轴上的其它点，是否有类似规律,如下题：

已知定点H(3,0)，动点P在

y轴上，动点Q在x轴的正半轴上，动点M满足:HPPM0，

m0)的直线l与曲线C相交于

PM3MQ.设动点2M的轨迹为曲线C，过定点D(m,0)(A、B两点．

（1）求曲线C的方程；

（2）若点E的坐标为(m,0)，求证：AEDBED； （3）是否存在实数a,使得以

AD为直径的圆截直线l:xa所得的弦长恒为定值？若存在求出实

数a的值；若不存在，请说明理由.

22、解：（Ⅰ）设M(x,y),P(0,y),Q(x,0)(x0),

3PMMQ,HPPM0.

23(x,yy)(xx,y)且(3,y)(x,yy)0,

211xx,yy,3xyyy20.

32y24x(x0). ………………………………………………4分

∴动点M的轨迹C是以O（0，0）为顶点，以（1，0）为焦点的抛物线（除去原点）.

抛物线专题第6页

…………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：（1）当直线l垂直于x轴时，根据抛物线的对称性，有AEDBED；

……………6分 （2）当直线l与x轴不垂直时，依题意，可设直线l的方程为yk(xm)(k0,m0)，

A(x1,y1),B(x2,y2)，则A，B两点的坐标满足方程组 y A F H G yk(xm) 2y4x(x0)消去x并整理，得

O O E B D x ky24y4km0,

4y1y2,y1y24m. ……………7分

k设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则:

1122yyyym(y1y2)1221y1y2y1(x2m)y2(x1m)44k1+k2＝

x1mx2m(x1m)(x2m)(x1m)(x2m)144m1(4m)()y1y2(y1y2)m(y1y2)kk0. …………………9分 44(x1m)(x2m)(x1m)(x2m)tanAEDtan(180BED)0,

tanAEDtanBED,

2AEDBED.

0AED，0BED2

综合（1）、（2）可知AEDBED. …………………10分 解法二：依题意，设直线l的方程为xtym(m0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则A，B两点的坐标满足方程组:

y A F H G xtym 2y4x(x0)消去x并整理，得

O E B O D y24ty4m0,

y1y24t,y1y24m. ……………7分

设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则:

x 抛物线专题第7页

1122yyyyy1y2y1(x2m)y2(x1m)412421m(y1y2)k1+k2＝ x1mx2m(x1m)(x2m)(x1m)(x2m)11y1y2(y1y2)m(y1y2)(4m)(4t)4mt440. …………………9分

(x1m)(x2m)(x1m)(x2m)tanAEDtan(180BED)0,

tanAEDtanBED,

22AEDBED. ……………………………………………………10分 （Ⅲ）假设存在满足条件的直线l，其方程为xa，AD的中点为O，l与AD为直径的

xmy1,). 圆相交于点F、G，FG的中点为H，则OHFG，O点的坐标为(122111OFAD(x1m)2y12(x1m)24x1, 222OHa20AED，0BED

x1m12ax1m, 2222FHOFOH1122(xm)4x(2axm) 11144(am1)x1a(ma) . …………………………12分

FG(2FH)24(am1)x1a(ma),

令am10，得am1 此时，FG4(m1).

∴当m10，即m1时，FG2m1（定值）.

∴当m1时，满足条件的直线l存在，其方程为xm1；当0m1时，满足条件的

直线l不存在. …………………………14分

例4：类比于专题8：在椭圆中，将准线和焦点结合，有很多垂直，共线的结论，试证明：

2如图：若AB是过抛物线y2px(p0)焦点F的弦，M是AB的中点, l是抛物

22线的准线,MNl，N为垂足，BDl,AHl,D,H为垂足.证明：

（1）ANBN；即以AB为直径的圆和抛物线的准线相切． （2）HFDF； （3）FNAB；

抛物线专题第8页

（4）A、O、D三点共线；（能否推广）

2思考1：若AB是过抛物线y2px(p0)焦点F的弦，过A和B分别做抛物线的切线，

切线交于点M，试着猜想M的轨迹并证明；（参考专题8例3）

抛物线专题第9页