二次函数填空
1．（2021•鹿城区模拟）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道CD＝5
cm，若将水平状态的
CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的
球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则EB＝ cm．
2．（2021•杭州三模）已知二次函数y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1＜x2，若x1+x2＝4，当x＝0时，
y＞0，当x＝3时，y＜0，且m＜x2＜n（m，n为相邻整数），则m+n＝ ．
3．（2021•滨江区二模）函数y1＝（x+1）（x﹣2a）（a为常数）图象与x轴相交于点（x1，0）（x2，0），函数y2＝x﹣a的图象与x轴相交于点（x3，0），若x1＜x3＜x2，则a的取值范围为 ． 4．（2021•温岭市模拟）去年下半年以来，我市遭遇连续干旱，各地河流的水位连续下降，小明仔细观察并测量自家门口的抛物线型拱桥的水位高度与水面宽度，发现两周以来每周水位下降的高度相同，而第一周水面宽度增加1米，而第二周水面宽度增加0.8米，小明刚开始观察时，他家门口抛物线型拱桥的水面宽为 米．
5．（2021•杭州模拟）如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有 个．
6．（2021•杭州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1，它的图象顶点坐标为（m，n），则m+n＝ ．（用含a的代数式表示）
7．（2021•宁波模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣4的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点
D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝ ．
8．（2021•瑞安市一模）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交于点C，顶点为D，过点C作x轴的平行线CA与抛物线的另一个交点为A，过点A作y轴的平行线AB与射线OD交于B．若OA＝OB，则c＝ ．
9．（2021•温州一模）某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱最远落点到中心M的距离增加了 米．
10．（2021•宁波模拟）已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a﹣1的图象与坐标轴有且只有2个公共点，则a＝ ．
11．（2021•越城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，
EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为 ．
212．（2021•吴兴区校级模拟）当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）+5恰好有最大值3，则a＝ ．
13．（2021•宁波模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣6（a＞0）的图象与x轴的交点A坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t＝
14．（2021•鄞州区模拟）将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为 ．
15．（2021•萧山区模拟）已知二次函数y与自变量x的部分对应值如表：
x y
… …
﹣3 7
﹣2 0
0 ﹣8
1 ﹣9
3 ﹣5
4 0
8 40
… …
则二次函数的解析式为 ．
16．（2021•长兴县模拟）已知：点A（m，n）在函数y＝（x﹣k）2+k（k≠0）的图象上，也在函数y＝（x+k）2﹣k的图象上，则m+n的最小整数值是 ．
17．（2021•江北区模拟）将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为 ．
18．（2021•宁波模拟）已知函数y1＝﹣x2+ax+4和y2＝﹣ax+a2，当1＜x＜2时，始终满足y1＞y2，则实数a的取值范围是 ．
19．（2021•瓯海区模拟）若抛物线y＝x2﹣2ax+4的顶点在x轴上，则a的值为 ．
参考答案
1．【分析】以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴
MN与x轴交于M，则MN＝21，根据题意写出抛物线解析式y＝a（x﹣65）2+21（a＜0），然后通
过旋转求出D′坐标，再把D′坐标代入抛物线求出a，再令y＝0解一元二次方程求出E对岸坐标即可．
【解答】解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN＝21， ∴AB＝274， ∵GH是AB正中间， ∴AH＝
AB＝137，
∴AM＝AH﹣MH＝137﹣72＝65，
设抛物线为：y＝a（x﹣65）2+21（a＜0）， 过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P， 则∠CQD′＝∠APQ＝90°， ∵旋转45°， ∴CD′＝CD＝5
，
CQ＝D′Q＝CD′cos∠D′CD＝5，
∴D′P＝D′Q+PQ＝5+12＝17， ∴D′（5，17）代入抛物线得：
a×（5﹣65）2+21＝17，
∴a＝﹣∴y＝﹣
，
（x﹣65）2+21，
令y＝0，则﹣解得：x1＝65+30∴E（65+30
（x﹣65）2+21＝0，
，x2＝65﹣30
（舍去），
，0），
）＝（209﹣30
）（cm），
∴EB＝AB﹣AE＝274﹣（65+30故答案为：（209﹣30
）．
2．【分析】由题意得：函数的对称轴为直线x＝当x＝3时，y＜0，故3＜x2＜4，即可求解．
（x1+x2）＝2，根据函数的对称性x＝4时，y＞0，而
【解答】解：由题意得：函数的对称轴为直线x＝∵x＝4时，y＞0，
根据函数的对称性x＝2时，y＞0， 而当x＝3时，y＜0， 故3＜x2＜4， 故m＝3，n＝4， 故m+n＝7， 故答案为7．
（x1+x2）＝2，
3．【分析】根据题意得出﹣1＜a＜2a，或2a＜a＜﹣1，解得即可．
【解答】解：∵函数y1＝（x+1）（x﹣2a）（a为常数）图像与x轴相交于点（x1，0）（x2，0）， ∴x1＝﹣1，x2＝2a或x1＝2a，x2＝﹣1，
∵函数y2＝x﹣a的图象与x轴相交于点（x3，0）， ∴x3＝a， ∵x1＜x3＜x2，
∴﹣1＜a＜2a或2a＜a＜﹣1 ∴a＞0或a＜﹣1， 故答案为a＞0或a＜﹣1．
4．【分析】以第一天水面的中心与拱桥的中心为O点建立坐标系，构建出图模型：找出个点的坐标．设抛物线的解析式把点代进抛物线解析式即可求出结果．
【解答】解：以第一天水面的中心与拱桥的中心为O点建立坐标系， 构建出如图模型：
其中OM＝MN＝1，CD﹣AB＝1，EF﹣CD＝0.8， 令OB＝a，则MD＝a+0.5，NF＝a+0.9， 设抛物线方程为y＝Ax2+B，
B（a，0），D（a+0.5，﹣1），F（a+0.9，﹣2）在抛物线上，
即，
即，
①﹣③得Aa+0.25A+1＝0④， ②﹣③得1.8Aa+0.81A+2＝0⑤， ⑤﹣④×2得﹣0.2Aa+0.31A＝0， 即a＝1.55， 则AB长为3.1米．
5．【分析】此题应分四种情况考虑：
①∠POQ＝∠OAH＝60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标； ②∠POQ＝∠AOH＝30°，此时∠POH＝60°，即直线OP：y＝
x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH＝OQ、AH＝PQ，由此得到点A的坐标．
③当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝30°时，此时△QOP≌△AOH； ④当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝60°，此时△OQP≌△AOH；
【解答】解：①当∠POQ＝∠OAH＝60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH＝30°，设A坐标为（a，b）， 在直角三角形OAH中，tan∠AOH＝tan30°＝设直线OA的方程为y＝kx，把A的坐标代入得k＝
＝＝， ，
所以直线OA：y＝x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 ，；
故A（，）；
②当∠POQ＝∠AOH＝30°，此时△POQ≌△AOH； 易知∠POH＝60°，则直线OP：y＝得：解得 故P（
，，
；
）；
x，联立抛物线的解析式，
，3），那么A（3，
③当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠AOH＝30°时，此时△QOP≌△AOH； 易知∠POH＝60°，则直线OP：y＝得：解得 故P（∴OP＝2
、，3）， ，QP＝2，
，AH＝QP＝2， ，
，
x，联立抛物线的解析式，
∴OH＝OP＝2故A（2
，2）；
④当∠OPQ＝90°，∠POQ＝∠OAH＝60°，此时△OQP≌△AOH； 此时直线OP：y＝
x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得 、，
∴P（∴QP＝
，）， ，OP＝
，
，AH＝OP＝
，
∴OH＝QPQP＝故A（
，
）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：（）． 故答案为：4．
，）或（3，）或（2，2）或（，
6．【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1，可以得到a和b的关系，再根据图象顶点坐标为（m，n），可知m＝1，即可得到n的值，然后计算m+n即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1， ∴﹣
＝1，
∴b＝﹣2a，
∵该图象顶点坐标为（m，n），
∴m＝1，n＝a+b+1＝a﹣2a+1＝﹣a+1， ∴m+n＝1+（﹣a+1）＝1﹣a+1＝2﹣a， 故答案为：2﹣a．
7．【分析】利用抛物线的对称性得到B点坐标为（﹣3n，0），利用交点式得到y＝a（x﹣n）（x+3n），即y＝ax2+2anx﹣3an2，所以﹣3an2＝﹣4，由于顶点D的坐标为（﹣n，t），所以计算自变量为﹣n的函数值得到t的值． 【解答】解：∵m+n＝0， ∴m＝﹣n，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣n， ∵A点坐标为（n，0），
∴B点坐标为（﹣3n，0），
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣n）（x+3n）， 即y＝ax2+2anx﹣3an2， ∴﹣3an2＝﹣4， ∴an2＝
，
＝﹣
．
当x＝﹣n时，t＝an2﹣2an2﹣3an2＝﹣4an2＝﹣4×故答案为﹣
．
8．【分析】根据抛物线的解析式求得DH＝1﹣c，BF＝AF＝OC＝c，然后根据三角形中位线定理得到1﹣c＝
c，解得即可．
【解答】解：作抛物线的对称轴，交OA于E，交x轴于H， ∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， ∴顶点为（1，c﹣1）， ∴DH＝1﹣c， ∵AC∥x轴，
∴AF＝OC＝c，AB⊥x轴， ∵OA＝OB， ∴AF＝BF＝c， ∵OH＝FH， ∴DH＝∴1﹣c＝∴c＝
， ．
BF， c，
故答案为
9．【分析】过点D作DF⊥x轴，交移动前水柱于点E，交x轴与点F，设当x＞0时，抛物线解析式为：
y＝a（x﹣3）2+h，然后分别表示出点A和点E的坐标，利用图形相似，求出a和h的值，最后求出x＞0时向上平移后图象解析式，进而得到M的最远距离，再减去原来的9米，即为增加的距离． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥x轴，交移动前水柱于点E，交x轴与点F，
∵AM⊥x轴， ∴AM∥DF， ∴△ACM∽△DCF， ∴
，
其中CM＝4，CF＝CM+MF＝4+3＝7，
设当x＞0时，抛物线解析式为：y＝a（x﹣3）2+h， 当x＝0时，y＝9a+h， ∴点A的坐标为（0，9a+h）， ∴AM＝9a+h 当x＝3时，y＝h， ∴点E（3，h）， ∴EF＝h，DF＝h+1.5， ∴
＝
∴21a+h＝2 ①，
又最远落点到中心M的距离为9米，
∴x＝9时，y＝0， 即36a+h＝0 ②， 联立①和②，可得：a＝
，h＝
，
（x﹣3）2+
，
∴当x＞0时，抛物线解析式为：y＝将抛物线向上平移1.5m，
∴当x＞0时，新的抛物线解析式y'＝此时当y＝0时，x＝3+
（x﹣3）2+6.3，
（已舍弃负值），
﹣6）米，
则水柱水柱最远落点到中心M的距离增加了（故答案为：（
﹣6）．
10．【分析】当a＝1时，y＝x2﹣ax+a﹣1＝x2﹣x，该函数与坐标轴有2个交点，当a≠1时，图象与坐标轴有且只有2个公共点，则△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，即可求解． 【解答】解：当a＝1时，y＝x2﹣ax+a﹣1＝x2﹣x， 该函数与坐标轴有2个交点，
当a≠1时，图象与坐标轴有且只有2个公共点， 则△＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝2， 故答案为1或2．
11．【分析】利用勾股定理求得AC＝3，设DC＝x，则AD＝3﹣x，利用平行线分线段成比例定理求得
CE＝进而求得BE＝4﹣
，然后根据S阴＝S矩形CDGE+S矩形HEBF得到S阴＝
x2﹣8x+12，根据
二次函数的性质即可求得CD，进而求得BE和BF，然后根据勾股定理求得即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5， ∴AC＝
＝3，
设DC＝x，则AD＝3﹣x， ∵DF∥AB， ∴
＝
，即
＝
，
∴CE＝
∴BE＝4﹣，
∵矩形CDGE和矩形HEBF， ∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形， ∴BF＝AD＝3﹣x，
则S阴＝S矩形CDGE+S矩形HEBF＝DC•CE+BE•BF＝x•∵
＞0，∴当x＝﹣
，有最小值，
×
＝2，BF＝3﹣＝
，
＝
，
＝
时，有最小值，
x+（3﹣x）（4﹣x）＝x2﹣8x+12，
∴DC＝
∴BE＝4﹣∴EF＝
即矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为故答案为
．
12．【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（﹣3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答． 【解答】解：∵y＝﹣
（x+3）2+5，
∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）． ∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大， ∴当x＝a时，二次函数y＝﹣
（x+3）2+5恰好有最大值3，
（x+3）2+5，
把y＝3代入函数解析式得到 3＝﹣解得 x1＝﹣5，x2＝﹣1． ∴a＝﹣5． 故答案是：﹣5．
13．【分析】求出函数与x轴另外一个交点的坐标，则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6，则﹣3an2＝﹣6，即可求解． 【解答】解：函数的对称轴为直线x＝m＝﹣n，
由中点公式得，函数与x轴另外一个交点的坐标为（﹣3n，0），
则设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣n）（x+3n）＝a（x2+2nx﹣3n2）＝ax2+bx﹣6 即：﹣3an2＝﹣6，解得：an2＝2，
当x＝m＝﹣n时，y＝a（x2+2nx﹣3n2）＝﹣4an2＝﹣8＝t， 故答案为﹣8．
14．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位
22
长度，再向下平移3个单位长度后所得新函数图象的表达式为y＝（x+2）+2﹣3，即y＝（x+2）﹣1．
故答案为y＝（x+2）2﹣1．
15．【分析】从表格中选三组数代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可． 【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 将（﹣2，0）、（0，﹣8）、（4，0）代入得：
，解得
，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8； 故答案为：y＝x2﹣2x﹣8． 16．【分析】由题意求出m＝
，n＝
，则可得出答案．
【解答】解：∵点A（m，n）在函数y＝（x﹣k）2+k（k≠0）图象上，也在函数y＝（x+k）2﹣k图象上， ∴
，
解得：，
∵k2＞0，
∴m+n＝+＝，
∴m+n的最小整数值是1． 故答案为：1．
17．【分析】根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减进行解答即可．
【解答】解：y＝x2向左平移1个单位得y＝（x+1）2，再向上平移2个单位得y＝（x+1）2+2． 故答案为y＝（x+1）2+2．
18．【分析】本题可以利用作差法去比较两个函数的大小关系，利用二次函数与x轴交点坐标，当抛物线开口向下时，抛物线在两个交点坐标之间的部分大于0．列出不等式，求出解集的公共部分即可． 【解答】解：由题意得y1﹣y2＝﹣x2+ax+4﹣（﹣ax+a2）＝﹣x2+2ax+4﹣a2． ∴当1＜x＜2时，﹣x2+2ax+4﹣a2＞0．
∴当x＝1时，﹣1+2a+4﹣a2≥0，解得﹣1≤a≤3． 当x＝2时，﹣4+4a+4﹣a2≥0，解得0≤a≤4． ∴0≤a≤3． 故答案为：0≤a≤3．
19．【分析】将问题转为求一元二次方程的判别式为0求解． 【解答】解：由题意得一元二次方程x2﹣2ax+4＝0中判别式为0， 即△＝4a2﹣16＝0， 解得a＝±2， 故答案为：±2．
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