第七章 概率分布方法

在社会、生产、科研和生活实践中，许多问题的不确定现象都是由随机因素的影响造成的，即将这种现象可以视为已希望随机事件，而随机事件一般是按照一定的概率出现的。与此有关的随机因素的变化往往都会服从于一定的概率分布。在实际中，就是利用这些概率分布规律对问题进行研究，从而可以对所研究的实际问题做出估计、判断、预测和决策。因此，概率分布方法在解决实际问题的过程中有着非常广泛的应用。

7.1 排列和组合

7.1.1 排列

选排列：从n个不同的元素中，每次任取k(kn)个不同元素按次序排成一列，称为

k选排列，其排列种数记为Pn，即

Pnkn(n1)(n2)...(nk1)n!.

(nk)!全排列：从n个不同的元素中，每次取n个不同元素按次序排成一列，称为全排列，其

n排列种数记为Pn ，即

nPnn(n1)(n2)...2.1n!.

有重复的排列：从n个不同的元素中，每次取k(kn)个元素，可以重复，按次序排

kk成一列，这种排列称为有重复的排列，其排列种数为Pnn(kn)

不尽相异元素的全排列：如果在n个元素中，分别有n1,n2,...nm 个元素相同，且

n1n2...nmn，则这n个元素的全排列称为不尽相异元素的全排列，其排列种数为

nPnn!.

n1!n2!n1!7.1.2 组合

无重复组合：从n个不同的元素中，每次任取k(kn)个不同元素，不考虑其次序组

k合成一组，称为组合，其组合数记为Cn，或

，即

nkkpnn!C(kn)

(nk)!k!k!kn

0并且规定Cn1

多组组合：把n个不同的元素分成m(mn)组，第i组中有 ni(i1,2,...,m)个不同元素，且 n1n2...nmn，这样的组合数为

Cn1,

nn2,...,nmn!.

n1!n2!...nm!有重复的组合：从n个不同的元素中，每次取出k(kn)个元素，可以重复，不考虑次序组合成一组，这种组合成为有重复的组合，其组合数为

kkCnCn(kn). k1

7.2 事件与概率

7.2.1 随机试验与事件

实际中，把对自然现象进行一次观察或一次科学试验统称为试验。如果试验可以在相同

条件下重复进行多次，而且每次的试验结果是事前不可预知的，但可以知道所有可能出现的结果。则称它为一个随机试验，简称为试验。将随机试验的结果称为随机事件，简称为事件。在每次试验中必然要发生的事件称为必然事件，记为 ，而在每次试验中不可能发生的事件成为不可能事件，记为.

如果A,B,Ai(i1,2,...n)都为事件，则事件有下列关系：

（1） 包含事件：如果AB,则称事件A包含于事件B，即它表示事件A发生必导致事

件B发生.

（2） 相等事件：AB当且仅当AB,且BA.

（3） 和事件：事件AB（或AB）,表示事件A与事件B至少有一个发生.一般地，

事件AiA1A2...An表示事件A1,A2,...An中至少有一个发生.

i1n（4） 差事件：事件AB表示事件A发生，而事件B不发生.

（5） 积事件：事件AB(或AB),表示事件A与B同时发生.一般地，事件

i1AiA1A2...An，表示时间A1,A2,...,An同时发生.

n（6） 互不相容事件：事件AB表示再一次试验中事件A与B不可能同时发生.

（7） 对立事件：事件AB且AB,表示事件不可能同时发生，但又必然有其

中之一发生，记为BA或AB.

7.2.2 概率与条件概率

1.概率

实际中，我们在观察一个随机试验的各种事件时，一般说来，总会发现有些事件出现的可能性大，有些事件出现的可能性小，而有些事件出现的可能性彼此大致相同.我们把刻画事件发生可能性大小的数量指标称为事件的概率.事件A的概率记为P(A),并且概率具有以下性质：

（1） 对任一个事件A都有0p(A)1; （2） P()1; （3） P()0; （4） P(A)1P(A)

（5） 若事件A1,A2,...,An互不相容，则P(Ai)i1nP(A).

ii1n2.条件概率

在某些实际问题中，除了需要知道事件 A的概率外，往往还需要知道在“事件 B发生”的条件下事件 A发生的概率，称之为条件概率，记为P(AB) .若P(B)0 ，则有

P(AB)由此，可以得到下面的结论：

P(AB). P(B)n(1) 若事件A1,A2,...,An互不相容，且p(Ai)0(i1,2,...,n)，则对任意事件BAi有

i1P(B)P(Ai)P(BAi)

i1n这就是所谓的全概率公式.

(2) 若事件A1,A2,...,An互不相容，且P(Ai)0(i1,2,...,n)，则对任意事件BAi有

i1n逆概率公式：

P(AiB)P(Ai)P(BAi)P(A)P(BA)iii1n(i1,2,...,n)

7.2.3 统计概率与几何概率

统计概率：假设在同一条件下进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率定义为

P(A)我们称这个概率为统计概率.

A发生的次数m.

试验的总次数n几何概率：假设区域S以及其中任何一个可能出现的子区域A(AS)都是可以度量的，其大小分别为(S)和（A）,则事件A发生的概率为

P(A)(A). (S)这样计算的概率称为几何概率.

事实上，统计概率与几何概率都满足通常概率的公理和性质. 7.3 随机变量与分布函数

7.3.1 一维随机变量与分布函数

用数值表示的随机事件的函数称为随机变量.实际中任何用数值表示的随机事件都是随机变量，随机变量的函数也是随机变量.

设为一随机变量，对任意的实数x有函数

F(x)P(x)P(x)

称为随机变量的分布函数.且对任意两个实数x1,x2(x1x2)，有

P(x1x2)F(x2)F(x1).

分布函数F(x)具有下列性质： （1）F(x)是不减函数； （2）0F(x)1；

F(x)F(a). （3）F(x)是右连续函数，即limxa如果随机变量所有取值为有限个或无穷个数值，则这种随机变量为离散型随机变量.

非离散型的随机变量，则称为连续型随机变量.

如果为离散型随机变量，所有的取值为xk，k1,2,...,则称

P(xk)Pk,k1,2,...

为随机变量的分布列，其相应的分布函数为

F(x)pk.

xkx如果为连续型随机变量，则分布函数定义为

F(x)f(x)dx，

x其中f(x)为一个非负可积函数，称之为随机变量的分布密度，或密度函数.并满足下列性质： （1）f(x)0 （2）

f(x)dx1;

（3）P(ab)F(b)F(a)baf(x)dx;

（4）当f(x)为连续函数时有F(x)f(x).

7.3.2 多维随机变量与分布函数

如果1,2,n为n个一维随机变量,则称(1,2,n)为n维随机变量，（或n维随机向量）.同样的可以分为离散型和连续型,相应的也可以定义分布函数.

如果(1,2,n)为连续型n维随机变量,则(1,2,n)分布函数定义为

F(x1,x2,,xn)x1x2xnf(x1,x2,,xn)dx1dx2dxn,

其中n元函数f(x1,x2,,xn)为非负可积函数,称为(1,2,n)的分布密度或1,2,n的联合分布密度.

n个随机变量1,2,n为相互独立的充要条件是相应的联合分布函数可以表示为

F(x1,x2,,xn)F(x1)F(x2)F(xn).

特别地,对于常用的二维随机变量(,),其分布密度函数表示为f(x,y),分布函数为

F(x,y)xyf(x,y)dxdy.

两个随机变量,相互独立的充要条件是相应的联合分布函数可以表示为

F(x,y)F1(x)F2(y)

7.3.3 随机变量的数学期望与方差

对于实际中的许多问题,要具体求出分布函数往往是比较困难的,然而,很多时候并不必求出分布函数, 只需对与随机变量有关的一些数字特征进行研究.这些数学特征虽然不能完全刻画随机变量,但在一定程度上能够反映出随机变量的一些重要特征.最常用的数字特征是数学期望和方差,其数学期望表示随机变量所取值的平均值,而方唱表示随机变量偏离平均值的程度,它们是随机变量的两个最重要的数字特征.

1. 数学期望

设为离散型随机变量,其分布列为P(xk)P,2,,如果级数k,k1xk1kpk收

敛,则称

xk1kpk为随机变量的数学期望,记为E,即Exkpk.

k1设为连续型随机变量,其分布密度函数为f(x),如果积分

xf(x)dx收敛,则称

xf(x)dx为随机变量的数学期望,记为E,即Exf(x)dx.

类似地,设为一个随机变量,函数g()也是一个随机变量,则有 （1）若为离散型随机变量,其P(xk)P,2,,如果级数k,k1则g()的数学期望为

g(x)pkk1k收敛,

Eg()g(xk)pk；

k1

（2）若为连续型随机变量,如果积分

g(x)f(x)dx收敛,则g()的数学期望为

Eg()对于二维的情况有类似的结果:

g(x)f(x)dx.

如果二维随机变量(,)分布列为P(xi,yj)pij(i,j1,2),且级数

g(x,y)piji1j1ij收敛,则

Eg(,)g(xi,yj)pij.

i1j1若二维随机变量(,)的分布密度函数为f(x,y),且积分收敛,则

g(x,y)f(x,y)dxdyEg(,)2. 方差

g(x,y)f(x,y)dxdy.

设为一个随机变量,如果E(E)2存在,则称其值为随机变量的方差,记为D.显然有

DE(E)2E2(E)2.

若为一个离散型随机变量,且分布列为P(xk)P,2,,则有 k,k1D(xkE)2pk;

k1若为一个连续型随机变量,且分布密度为f(x),则有

D(xE)f(x)dx.

7.4 常用的概率分布及数字特征

(1)两点分布:设随机变量只取0和1两个值,它的分布列为

P(k)pk(1p)1k,k0,1,

则称服从两点分布,且Ep,Dp(1p).

(2)二项分布:设随机变量可能的取值为0,1,2n,且分布列为

kkP(k)Cnp(1p)nk,k0,1,2,n,

则称服从二项分布,且Enp,Dnp(1p).

(3)泊松(Poisson)分布:设随机变量可取所有非负整数,且分布列为

P(k)kk!e,k0,1,2,,

其中0为常数,则称服从泊松分布, 且E,D.

(4)均匀分布:设为连续型随机变量,其分布密度为

1,x[a,b], f(x)ba,x[a,b]0则称服从区间[a,b]上的均匀分布,且Eab1(ba)2. ,D212(5)正态分布:若随机变量的分布密度函数为

f,(x)1e2(x)222,

则称服从正态分布N(,2),记为N(,2),且分布函数为

F,(x)12xe(x)222dx,

其中E,D2.特别地,当0,1时, 称其为标准正态分布,记为

N(0,1).

(6)

n2分布2(n): 若n个相互独立的随机变量1,2,n都服从于N(0,1),则称

k2服从自由度为n的2(n)分布,记为2(n),其分布密度函数为

i1nx1x2e2,x0nn,且En,D2n. f(x)22()2x00,(7)t分布t(n):设随机变量N(0,1),2(n)且相互独立,则T/n服从于

自由度为n的t分布,记为Tt(n),其分布密度函数

n1)1x2n22 fT(x)(1)nnn()2(且E(T)0,D(T)n. n2(8)F分布:设随机变量2(m),2(n)且相互独立,则F/m服从自由度为/nm及n的F分布,记为FF(m,n),其密度函数为

mmn1()mn2x2,x0mnm2n2mn, fF(x)2()()(mxn)220,x0n2n2(nm2)(n2),D(F)且E(F)n2m(n2)2(n4)(n4).

(9) 二维正态分布:设二维随机变量(,)的联合分布密度函数为

f(x,y)1212(xu1)2(xu1)(y2)(yu2)21exp[2r]}, 22222(1r)1r1122其中1,20,1,2均为常数,r1,则称二维随机变量(,)服从于二维正态分布

N(1,1;2,2;r),且E1,D12,E2,D22.

7.4常见的概率模型

本节介绍一些常见的概率模型：轧钢中的浪费模型、机械零件的可靠性设计模型和马氏

链模型.

7.4.1 轧钢中的浪费模型

用连续热轧方法制造钢材时要经过两道工序,第一道是粗轧(热轧),形成钢材的雏形;第

二道是精轧(冷轧),得到规定长度的钢材.粗轧时由于设备﹑环境等方面随机因素的影响,钢材冷却后的长度大致上呈正态分布,其均值可以在轧钢过程中由轧机调整,而其方差则是由设备的精度决定的,不能随意改变,精轧时把多出规定长度的部分切掉,但是如果发现粗轧后的钢材已经比规定长度短,则整根报废.精轧设备的精度很高,轧出的成品材可以认为是完全符合规定长度要求的.

根据轧制工艺的要求,要在成品材规定长度l和粗轧后钢材长度的均方差已知的条件下,确定粗轧后钢材长度的均值m,使得当轧机调整到m进行粗轧,再通过精轧以得到成品材时的浪费最小.

设粗轧后钢材长度为x,x是均值为m,均方差为的正态随机变量,其密度函数为

p(x)1e2(xm)222 (1)

其中已知, m是待确定的值.当成品材的规定长度l给定后,记xl的概率为P,即

PP{xl}.

轧钢过程中的浪费由两部分构成:一是当xl时,精轧时要切掉xl的钢材;二是当xl时,长x的整根钢材报废.分析可知,当m变大时, P增加,第一部分的浪费随之增加,而第二部分的浪费将减少;反之,当m变小时,虽然被切掉的部分减少了,但是整根报废的可能将增加.于是,必然存在一个最佳的m,使得两部分的浪费综合起来最小.

这是一个优化模型,建模的关键是选择合适的目标函数,并用已知的和待确定的量

l,,m把目标函数表示出来.一种很自然的想法是直接写出上面分析的两部分浪费,以二者之和作为目标函数,于是容易得到总的浪费浪费长度为

W(xl)p(x)dxxp(x)dx (2)

ll利用

p(x)dx1,

xp(x)dxm,和

llp(x)dxP,上式可化简为

W(xl)p(x)dxxp(x)dxlxp(x)dxllp(x)dx (3)

mlPW是每粗轧一根钢材浪费的平均长度.设想共粗轧了N根钢材(N很大),所用钢材总长度为mN,N根中可以轧出成品材的只有PN根,成品材总长度为lPN,于是共浪费的长度为mNlPN,平均每粗轧一根钢材浪费的长度为

mNlPNmlP (4)

N与(2)相同.那么以W为目标函数是否合适呢?

轧钢的最终产品是成品材,浪费的多少不应以每粗轧一根钢材的平均浪费为标准,而应该用每得到一根成品材浪费的平均长度来衡量.为了将目标函数由前者改为后者,只需将(3)式左端分母N改成成本材总数PN,即

J1mNlPNml (5)

NPP因为l是已知函数,所以目标函数可等价地只取(5)式右端第一项,即

J(m)m (6) P(m)式中P(m)表示P为m的函数,实际上,JJ1l恰是每得到一根成品材所需钢材(粗轧后)的平均长度.

下面求m使J(m)达到最小.

P(m)ylp(x)dxxmlm(y)dy (7)

lm1()若记zlm,并记T(z)J(m),则

T(z)令T'(z)0,得

lz (8)

1(z)(1(z))(lz)((z))0

即

(z)z(z)l(z)10 (9)

*上述方法比较复杂,可利用数值解法求解,由于z0,所以可以证明(9)只有唯一解z使J(z)取得极小值,从而可以求出使J(m)取得极小的m.

上述模型中假定当粗轧后钢材长度x小于规定长度l时就整根报废,实际上这种钢材还常常能轧成短一些,比如l1(l1l)的成品材,只有当xl1时才整根报废.或者说当xl时可以降级使用.这些情况下的模型求解就比较复杂了.

在日常生产活动中类似的问题很多,如某种物品包装成500克一袋出售,在众多因素的影响下,包装封口后一袋的重量是随机的,不妨仍认为服从正态分布,均方差已知,而均值可以在包装时调整.出厂检验时精确地称量每袋的重量,多于500克的仍按500克一袋出售,厂方吃亏;不足500克的降价处理,或打开封口返工,或直接报废,将给厂方造成更大的损失.问如何调整包装时每袋重量的均值使厂方损失最小,这和轧钢中的浪费问题非常相近.

7.4.2 马氏链模型

马氏链模型是关于随机动态系统的一类模型，适用于时间、状态都离散并具有无后效性（或马尔克夫性）的场合.所谓无后效性就是系统未来的状态只与系统现在的状态有关，与以前的状态无关.

马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域中有着广泛的应用.值得提出的是，虽然它是解决随机转移过程的工具，但是一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链模型处理.

1 模型实例

例1 保险公司把人的健康状态分为健康和疾病两种状态.以一年为一个时段，设转移概率为：今年健康明年健康的概率为0.8，今年健康明年疾病的概率为0.2；今年疾病明年健康的概率为0.7，今年疾病明年疾病的概率为0.3.若按此规律一直进行下去，处于健康和疾病状态的人的概率分布将如何？

人的健康状态是随机的，每年转变一次，用随机变量Xn表示第n年的状态，Xn1表示健康，Xn2表示疾病，n0,1,2,，ai(n)表示第n年处于状态i的概率(i1,2)，即ai(n)P{Xni}.用pij表示今年处于状态i，明年转为状态j的概率(i,j1,2)，即

pij称为状态转移概率.这里Xn1只与XnpijP{Xn1j|Xni}.ai(n)称为状态概率，

和pij有关，而与系统以前的状态Xn1,Xn2,无关，即无后效性.由此，利用全概率公式容易得到

a1(n1)a1(n)p11a2(n)p21 （10） a(n1)a(n)pa(n)p2112222根据已知条件，p110.8,p120.2,p210.7,p220.3.

当某人开始处于健康状态，即a1(0)1，a2(0)0时，用（10）立即可以算出

a1(n),a2(n),n1,2,,结果如下表1所示

表1 初值为（1，0）的迭代结果表 n 0 1 2 3 0.778 0.222 4 0.778 0.222 „ „ „  7/9 2/9 a1(n) a2(n) 1 0 0.8 0.2 0.78 0.22 由数字变化规律可以看出，当n时，a1(n)7/9,a2(n)2/9.

当某人开始处于疾病，即a1(0)0，a2(0)1时，用同样的方法可以得到下表2 表2 初值为（0，1）的迭代结果表 n 0 1 2 3 0.777 0.223 4 0.7777 0.2223 „ „ „  7/9 2/9 a1(n) a2(n) 0 1 0.7 0.3 0.77 0.23 对照表1和表2可以看出，虽然对于各个n，具体的数字不完全相同，但是当n时，却会得到完全一样的结果，即n时的状态概率趋于稳定值，且这个稳定值与初始状态无关，后面我们将仔细讨论这个问题.

例2 若把人的状态分为健康、疾病、和死亡三种状态.以一年为一个时段，设转移概率为：今年健康，明年健康的概率为0.8，明年疾病的概率为0.18，明年死亡的概率为0.02；今年疾病，明年健康的概率为0.65，明年疾病的概率为0.25，明年死亡的概率为0.1；今年死亡明年仍为死亡的概率为1.若按此规律一直进行下去，处于健康、疾病和死亡状态的人的概率分布将如何？

设Xn表示第n年的状态，Xn1表示健康，Xn2表示疾病，Xn3表示死亡.ai(n)表示第n年处于状态i的概率(i1,2,3)，即ai(n)P{Xni}.pij表示今年处于状态i，明年转为状态j的概率(i,j1,2,3)，即pijP{Xn1j|Xni}.则由全概率公式可得

a1(n1)a1(n)p11a2(n)p21a3(n)p31a2(n1)a1(n)p12a2(n)p22a3(n)p32 （11） a(n1)a(n)pa(n)pa(n)p1132233333根据已知条件，p110.8,p120.18,p130.02,p210.65,p220.25,p230.1，

p310,p320,p331.

当某人开始处于健康状态，即a1(0)1，a2(0)0，a3(0)0时，用（11）立即可以算出a1(n),a2(n),a3(n),n1,2,,结果如下表3所示

表3 初值为（1，0，0）的迭代结果表 n 0 1 20 50 0.1293 0.0326 0.4284 100 0.0206 0.0052 0.4963 „ „ „ „  0 0 1 a1(n) a2(n) a3(n) 1 0 0 0.8 0.18 0.02 0.3898 0.0983 0.2660 由数字变化规律可以看出，当n时，a1(n)0,a2(n)0,a3(n)1.

当某人开始处于疾病状态，即a1(0)0，a2(0)1，a3(0)0时，用（11）立即可以算出a1(n),a2(n),a3(n),n1,2,,结果如下表4所示

表4 初值为（0，1，0）的迭代结果表 n 0 1 20 50 0.1177 0.0297 0.3811 100 0.0187 0.0047 0.4429 „ „ „ „  0 0 1 a1(n) a2(n) a3(n) 0 1 0 0.65 0.25 0.01 0.3549 0.0895 0.2332 对照表3和表4可以看出，虽然对于各个n，具体的数字不完全相同，但是当n时，却会得到完全一样的结果.事实上，不论初始条件如何，n时的结果都是一样的.顺便指出，如果开始时处于状态3，有a1(0)0，a2(0)0，a3(0)1，那么对于任意的n都有a1(n)a2(n)0，a3(n)1，即一旦进入状态3，就永远不会转移到其他状态.

通过这两个例子容易了解下面给出的马氏链的基本概念.

2 马氏链及其基本方程

按照系统的发展，时间离散化为n0,1,2,，对每个n，系统的状态用Xn表示.设Xn取k个离散值Xn1,2,,k，记ai(n)P{Xni}，即状态i的概率，状态转移概率

pijP{Xn1j|Xni}.

如果Xn1的取值只取决于Xn的取值及转移概率，而与Xn1,Xn2,无关，则这种随机转移过程称为马氏链.得到马氏链及其基本方程

aj(n1)ai(n)pij,i1kj1,2,,k （12）

并且ai(n)和pij应满足

a(n)1,ii1kn0,1,2 （13）

pij0,i,j1,2,k （14）

pj1kij1,i1,2,k （15）

引入状态概率向量和转移概率矩阵

a(n)(a1(n),a2(n),ak(n))

P{pij}kk

则方程（12）表达为

a(n1)a(n)P

则 a(n1)a(0)P

n3 马氏链的两种类型

（1）正则链

例1 表示的一类马氏链的特点是从任意状态出发经过有限次转移到达另外的任意状态.我们给出如下的定义

定义1 一个有k个状态的马氏链如果存在正整数N，使从任意状态i经N次转移都以大于零的概率到达状态j(i,j1,2,,k)，则成为正则链.

定理1 若马氏链的转移矩阵为P，则它是正则链的充分条件是，存在正整数N，使

PN0.

定理2 正则链存在唯一的极限状态概率w(w1,w2,,wk)，使得当n时，状态概率a(n)w，w与初始状态a(0)无关.w又称稳态概率，满足

wPw （16）

wi1ki1 （17）

首达概率：从状态i出发经n次转移，第一次到达状态j的概率称为i到达j的首达概率，记作fij(n).

平均转移次数：ijnfn1ij(n)为由状态i第一次到达状态j的平均转移次数.ii是状

态i首次返回的平均转移次数.

定理3 对应正则链ii1. wi（2）吸收链 转移概率pii1的状态i称为吸收状态.如果马氏链至少包含一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，都能以正的概率经有限次转移到达某个吸收状态，则这个马氏链称为吸收链.

若吸收链有r个吸收状态，kr个非吸收状态，则转移矩阵的标准形式可表示为

IrrPR

其中kr阶方阵的特征值满足

0 Q1.

定理4 对于吸收链P的标准形式，(IQ)可逆，即

M(IQ)Qs

1s0记元素全为1的列向量e(1,1,,1)，则yMe的第i分量是从第i个非吸收状态出发，被某个吸收状态吸收的平均转移次数.

对前面的健康、疾病和死亡三态模型中，按标准形式标为Xn1表示死亡，Xn2表示健康，Xn3表示疾病，则标准的转移矩阵为

T0010.80.18P0.020.80.18，Q

0.650.250.10.650.2522.72735.4545M(IQ)1

19.69706.060628.1818yMe

25.7576即健康的人平均经过28.1818次转向死亡，患病的人平均经过25.7576次转向死亡. 设状态i是非吸收状态，j是吸收状态，那么首达概率fij(n)是i经n次转移被j吸收的概率，而fijfn1ij(n)是从非吸收状态i出发被吸收状态j吸收的概率.

定理5 设吸收链的转移概率矩阵P为标准形式，记F(fij)(kr)r，则

FMR

对前面的健康、疾病和死亡三态模型中，

22.72735.45450.02，M(IQ)R

19.69706.06060.11则 FMR 表示健康态和疾病态最终被死亡态吸收的概率都为1.

117.6 参考案例与参考文献

1.参考案例

（1）彩票方案的中奖率问题----文献[1]:133-140 （2）机票预售问题----文献[2]:144-148 （3）锁具互开问题----文献[3]:58-65 （4）蠓的分类问题----文献[4]:37-40

（5）截断切割中的最优排列问题----文献[5]:120-121 （6）防空与空袭问题----文献[6]:195-204

2.参考文献

[1] 韩中庚.“彩票中的数学”问题的优化模型与评述.工程数学报,2003, 20(5):107-116

[2] 袁震东.“数学建模方法”.上海:华东师范大学出版社,2003

[3] 全国大学生数学建模竞赛组委会.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编.北京:中国物价出版社,2002

[4] 刘承平.数学建模方法.北京:高等教育出版社,2002

[5] 赵静,但琦等.数学建模与数学实验.北京:高等教育出版社,2000 [6] 《数学建模》编写组.数学建模.广州:华南理工大学出版社,2003 [7] 中山大学.概率论及数理统计.北京:高等教育出版社,1984 [8] 陈魁.应用概率统计.北京:清华大学出版社,2000

[9] 肖华勇.实用数学建模与软件应用.西安:西北工业大学出版社,2008