初三锐角三角函数复习讲义

知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， 则∠A的正弦可表示为：sinA ∠A的余弦可表示为：cosA

∠A的正切可表示为：tanA，它们称为∠A的锐角三角函数

() ①sinA＝______，

斜边②cosA③tanA(斜边)＝______，

()＝______，

A的邻边【特别提醒：1、sinA、cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。

2、取值范围 例1. 锐角三角函数求值：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝9，b＝12，则c＝______，

sinA＝______，cosA＝______，tanA＝______， sinB＝______，cosB＝______，tanB＝______．

典型例题：

类型一：利用直角三角形求值

1．已知：如图，Rt△TNM中，∠TMN＝90°，MR⊥TN于R点，TN＝4，MN＝3．

求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．

2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，sinAOC求：AB及OC的长．

3 4

类型二. 利用角度转化求值：

1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．

DE∶AE＝1∶2．

求：sinB、cosB、tanB．

2． 如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，与x轴的正半轴交于点D，B是y

轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（ ） A． 3134 B． C． D．

2525yCOABDx3，AC2，则2第8题图5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为

sinB的值是（ ）

2334 B． C． D． 32436. 如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知AB8，BC10，AB=8,则tan∠EFC的值为 ( )

A．

A D E Ａ．

34 Ｂ． 43Ｃ．

3 5Ｄ．

4B 5F C

7. 如图6，在等腰直角三角形ABC中，C90，AC6，D为AC上一点，若

tanDBA1 ，则AD的长为( ) 5A．2 B．2 C．1 D．22

类型三. 化斜三角形为直角三角形

1. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长． 2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是 （ ）

A.23 cm2 C.63 cm2

B.43 cm2

D.12 cm2

类型四：利用网格构造直角三角形

1.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ） A． B．1225510 C． D． 5510A C O B AB

2．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.

3．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC绕着点A逆时针旋转得到

AC'B'，则tanB'的值为 （ ）

A.

111 B. C. D. 1

3424．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值是（ ）

A．

5 25 1

B. C. D. 2 552

知识点二：特殊角的三角函数值

sin cos tan

当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而

例1．求下列各式的值．

锐角 30° 45° 60° 1.计算：tan60sin452cos30 2.计算：31+(2π－1)0－

－

23tan30°－tan45° 3

31 4．计算： tan45sin30 2cos60sin45tan303．计算：

221cos60

例2．求适合下列条件的锐角． (1)cos

0（）已知为锐角，且tan(30)0231 (2)tan (3)sin2 (4)6cos(16)33

3223，求tan的值





（）在ABC中，cosA

例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A为锐角，且sin A <

122(sinB)0，A，B都是锐角，求C的度数221，那么∠A的取值范围是 2A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A为锐角，且cosAsin30，则 （ ）

A. 0°< A < 60° B. 30°< A < 60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°

0

类型五：三角函数在几何中的应用

1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，sinA求此菱形的周长．

12 13

2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，ACBC3，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：

(1)∠BAD；

(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．

3. 已知：如图△ABC中，D为BC中点，且∠BAD＝90°，tanB∠CAD、tan∠CAD．

1，求：sin∠CAD、cos3

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB的值．

3，点D在BC边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD5A

5.（本小题5分）如图，△ABC中，∠A=30°，tanBBDC3，2CABAC43．求AB的长.

知识点三：解直角三角形：

1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，

①三边之间的等量关系：________________________________．

②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：

sinAcosB______；

cosAsinB_______；

tanA11 _____；tanB______．

tanAtanB ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．

在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．

CD2＝_________；AC2＝_________； BC2＝_________；AC·BC＝_________．

例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．

(1)已知：a23，b2，求∠A、∠B，c； (2)已知：sinA2，c6，求a、b； 3

（3）．已知：△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．

类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角

1．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ） A． 200米 B． C． D． 200米 220米 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈

图13 31，sin31°≈） 52

3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.

CABDE

4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：21.414，31.732)

45° 30° BDC

5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B、C两点的距离；

（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？

（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，

A3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）

坡度与坡角

1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（ ）

A．100m B．1003m C．150m D．503m

2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度.如图，老师测得升旗

台前斜坡FC的坡比为i=1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）

处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为α，已知tanα=CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆AB的高度.

B

3，升旗台高AF=1m，小明身高7A D C

α iFC=1:10 F E

3.如图，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，

当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A的噪声影响最大时,卡车P与学校A的距离;

(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪影响的时间.

NPO30°80米AM

4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC=4米，AB=6米，中间平台宽度

DE=1米，EN、DM、CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB=31°，

DF⊥BC于F，∠CDF=45°．求DM和BC的水平距离BM的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

C ED45°F

31°

ANMB

5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定

将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．

（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。 (参考数据：21.414,31.732,62.449 )

方位角

1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，31.732)

2. 如图9所示，港口B位于港口O正西方向120 km处，

0

小岛C位于港口O北偏西60的方向．一艘游船从港口O

0

出发，沿OA方向（北偏西30）以v km/h的速度驶离港

0

口D．同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30的方向

以60 km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按照原来的速度给游船送去．

(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间？

(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．

3．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海

里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.

（1）B处距离灯塔P有多远？

（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200

海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由．

类型七：综合题 三角函数与四边形

（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC=

6

． 3

(1) 求BD的长；

(2) 求AD的长．

2．如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．

（1）求证：∠BAE=∠DAF； （2）若AE=4，AF=

三角函数与圆

1. 已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D, (1) 求证：∠AOD=2∠C (2) 若AD=8，tanC=

243，sinBAE，求CF的长． 55C4，求⊙O 的半径。 3D

B AO

2..如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.

（1）求证:BF是⊙O的切线; （2）若cosC4, DE=9，求BF的长． 5EO

DF B C

3．已知，如图，在△ADC中，ADC90，以DC为直径作半圆O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，BED2C． （1）求证：BF是O的切线；

（2）若BFFC，AE3，求O的半径．

A F E B D O C