湖北高考数学文科2007

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数 学（文史类）

本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效．

3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．

4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．tan690°的值为（ ）

33Ａ． Ｂ． Ｃ．3 Ｄ．3 332．如果Ux|x是小于9的正整数，A1，2，3，4，B3，4，5，6，那么痧UA（ ） ，2 Ａ．1UB

Ｂ．3，4

n

Ｃ．5，6

Ｄ．7，8

23．如果3x23的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）

xＡ．10

Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3 2x1４．函数yx(x0)的反函数是（ ）

21x1x1Ａ．ylog2Ｂ．ylog2(x1) (x1)

x1x1x1x1Ｄ．ylog2(x1) (x1)

x1x15．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中Ｃ．ylog2点，G为棱A1B1上的一点，且AG(0≤≤1)．则点G到平面D1EF的1距离为（ ）

Ａ．3

2Ｂ．

22Ｃ． 35Ｄ． 5D1

C1

G A1 E B1 F C

A D B

6．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如右图所示．根据此图，估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为（ ） A．300 B．360 C．420 D．450

频率 0.08 组距0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 体54.5 56.5 58.5 60.5 62.5 64.5 66.5 68.5 70.5 72.5 74.5 76.5

重

7．将5本不同的书全发给4名同学，每名同学至少有一本书的概率是（ ） A．

15 64B．

15 128C．

24 125D．

48 1258．由直线yx1上的一点向圆(x3)2y21引切线，则切线长的最小值为（ ） A．1

B．22

C．7

D．3

3)，a在b上的投影为9．设a(4，（ ）

52，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为214) A．(2，B．2，2 7C．2，

278) D．(2，10．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是

s的必要条件，现有下列命题：

①s是q的充要条件；

②p是q的充分条件而不是必要条件； ③r是q的必要条件而不是充分条件； ④p是s的必要条件而不是充分条件；

⑤r是s的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是（ ） A．①④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．②④⑤

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．

xy3≥0，11．设变量x，y满足约束条件xy≥0，则目标函数2xy的最小值为 ．

2≤x≤3，

x2y21左焦点F1的直线交曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，12．过双曲线

43则MF2NF2MN的值为______．

，f(1))处的切线方程是y13．已知函数yf(x)的图象在点M(1f(1)f(1)＿＿＿＿．

14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是

1x2，则21，他投球10次，恰好投进3个球的概率为 2y（毫克） ．（用数值作答）

15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为

1 1y16ta（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，

回答下列问题：

（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与

O 0.1 t（小时）

时间t（小时）之间的函数关系式为 ．

（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)2sin2πππx3cos2x，x，． 442（I）求f(x)的最大值和最小值；

（II）若不等式f(x)m2在x，上恒成立，求实数m的取值范围．

42

17．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥VABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且

πππACBCa，∠VDC0．

2Ｖ

Ｃ A Ｄ

Ｂ

（I）求证：平面VAB⊥平面VCD；

（II）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为

π． 6

18．（本小题满分12分）

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． （I）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； （II）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 19．（本小题满分12分）

2设二次函数f(x)xaxa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21．

（I）求实数a的取值范围； （II）试比较f(0)f(1)f(0)与20．（本小题满分13分）

已知数列{an}和{bn}满足：a11，a22，an0，bn1的大小．并说明理由． 16anan1（nN*），且

{bn}是以q为公比的等比数列．

（I）证明：an2anq2；

（II）若cna2n12a2n，证明数列{cn}是等比数列； （III）求和：

111111． a1a2a3a4a2n1a2n

21．（本小题满分14分）

2在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2py（p0）相交于

A，B两点．

（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；

（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

y C A O N （此题不要求在答题卡上画图）

B x

2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）试题参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ａ 2．Ｄ 3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｃ 9．Ｂ 10．Ｂ

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 11．3 212．8 13．3

14．

15 128

110t，0≤t≤，1015．y；0.6 1t1110，t1610三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．

解：（Ⅰ）∵f(x)1cosπ2x3cos2x1sin2x3cos2x 2π12sin2x．

3

又∵x，，∴≤2x≤，即2≤12sin2x≤3，

633342ππππ2ππ∴f(x)max3，f(x)min2．

（Ⅱ）∵f(x)m2f(x)2mf(x)2，x，，

42ππ∴mf(x)max2且mf(x)min2，

∴1m4，即m的取值范围是(1，4)．

17．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理

运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

解法1：（Ⅰ）∵ACBCa，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点， ∴CDAB，又VC底面ABC．∴VCAB．于是AB平面VCD． 又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD．

（Ⅱ） 过点C在平面VCD内作CHVD于H，则由（Ⅰ）知CD平面VAB． 连接BH，于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角． 依题意CBHπ，所以 6在Rt△CHD中，CH2asin； 2πa， 62在Rt△BHC中，CHasin∴sin∵0故当2． 2ππ，∴． 24ππ时，直线BC与平面VAB所成的角为． 46，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空解法2：（Ⅰ）以CA0，，0)A(a，0，，0)B(0，a，，0)D，，0，V0，0，间直角坐标系，则C(0，aaaa2于是，VD，，，，0，AB(a，a，0)．

222atan，CD22aa222atan，

211aa从而AB·CD(a，a，0)·，，0a2a200，即ABCD．

2222

aa21212·VD(a，a，0)·，，atanaa00， 同理AB22222即ABVD．又CDVDD，∴AB平面VCD． 又AB平面VAB．

∴平面VAB平面VCD．

（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，

则由n·AB0，n·VD0．

z V axay0，得a a2aztan0．xy222可取n(11，，2cot)，又BC(0，a，0)，

A πn·BCa2sin， x 于是sin62n·BCa·22cot2C D B y 即sin故交=ππ2∵0，∴=．

242ππ时，直线BC与平面VAB所成的角为． 46解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC，DB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所

0，，0)A0，示的空间直角坐标系，则D(0，222a，0，B0，a，0，Ca，0，0，22222222V0，atan0，atan0，02a，，于是DV2a，，DC2a，，22AB(0，2a，0)．

2a，0，0从而AB·DC(0，2a，0)·20，即ABDC． 22·DV(0，2a，0)0，atan同理AB2a，0，即ABDV． 2又DCDVD，∴AB平面VCD． 又AB平面VAB，

∴平面VAB平面VCD．

（Ⅱ）设平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，

2ay0，则由n ·AB0，n·DV0，得22axaztan0．2222a，a，00，1)，又BC可取n(tan，， 22V 2atanπn·BC2sin， 于是sin2262n·BCa·1tanπππ∵0，∴=． 即sin，224π故交时，

4π即直线BC与平面VAB所成角为．

6A

C D x B y 18．本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力．

解：（Ⅰ）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx，若记商品在一个星期的获利为

2f(x)，

则依题意有f(x)(30x9)(432kx)(21x)(432kx)，

22·22，于是有k6， 又由已知条件，24k所以f(x)6x126x432x9072，x[0，30]．

（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有f(x)18x252x43218(x2)(x12)．

232x f(x) f(x) 2 0，  2 0 极小 (2，12) 12 0 极大 30 12，    故x12时，f(x)达到极大值．因为f(0)9072，f(12)11264，所以定价为

301218元能使一个星期的商品销售利润最大．

19．本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运

算能力．

解法1：（Ⅰ）令g(x)f(x)xx2(a1)xa，

0，1aa0，1，0则由题意可得0a322． 1a1，2g(1)0，0，a322，或a322，g(0)故所求实数a的取值范围是(0，322)．

（II）f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2，令h(a)2a2．

当a0时，h(a)单调增加，当0a3220h(a)h(3222)2(3 22)2(172117122116，即f(0)f(1)f(0)116．

解法2：（I）同解法1．

（II）f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)2a2，由（I）知0a322， ∴42a1122170．又42a10，于是 2a2116116(32a21)116(42a1)(42a1)0， 即2a21160，故f(0)f(1)f(0)116． 解法3：（I）方程f(x)x0x2(a1)xa0，由韦达定理得

0，x1x20，x1x21a，x1x2a，于是0x1x21x1x20， (1x1)(1x2)0，(1x1)(1x2)0a0，a1，0a322． a322或a322故所求实数a的取值范围是(0，322)．

（II）依题意可设g(x)(xx1)(xx2)，则由0x1x21，得

时，

122)

f(0)f(1)f(0)g(0)g(1)x1x2(1x1)(1x2)[x1(1x1)][x2(1x2)]

11x1x1x21x2f(0)f(1)f(0)，故． 116221620．本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技

能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（I）证：由

22aaabn1q，有n1n2n2q，∴ an2anq2(nN*)．

anbnanan1（II）证：anqn2q2，

a2n1a2n3q2a1q2n2，a2na2n2q2a2qn2， cna2n12a2na1q2n22a2q2n2(a12a2)q2n25q2n2．

cn是首项为5，以q2为公比的等比数列．

（III）由（II）得

1a2n11122n122n，2n2q，于是 qaaa1111111111 a1a2a2na1a3a2n1a2a4a2n

1111111111 a1q2q4q2n2a2q2q4q2n2

31111212n2． 2qqq当q1时，

11131111242n2 a1a2a2n2qqq

3n． 2当q1时，

11131111242n2 a1a2a2n2qqq

31q2n21q2 

3q2n12n22． 2q(q1)

32n， q1，111故 2nq1a1a2a2n，q1.2n22q(q1)解法2：（I）同解法1（I）．

（II）证：

cn1a2n12a2n2q2a2n12q2a2nq2(nN*)，又c1a12a25， cna2n12a2na2n12a2ncn是首项为5，以q2为公比的等比数列．

（III）由（II）的类似方法得a2n1a2n(a1a2)q2n23q2n2，

aaaaaa11112342n12n， a1a2a2na1a2a3a4a2n1a2na2k1a2k3q2k232k22，，n． ，k1，4k4qa2k1a2k2q21113(1q2q2n2)． a1a2a2k2下同解法1．

21．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解法1：（Ⅰ）依题意，点N的坐标为N(0，x直线AB的方程为ykx22p，yp与x2py联立得，消去y得

x．pyk2x22pkx2p20．

由韦达定理得x1x22pk，x1x22p2． 于是S△AMNS△BCNS△ACN·2px1x2．

y B C A O N x 12px1x2p(x1x2)24x1x2 p4p2k28p22p2k22， ∴当k0，(S△ABN)min22p2．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，

设AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，

则OHPQ，Q点的坐标为x1y1p，．

22y ∵OP1121ACx1(y1p)2y12p2， 222B l A OHa2y1p12ay1p， 2222OC O N 11∴PHOPOH(y12p2)(2ay1p)2 44x pay1a(pa)，

2p2∴PQ(2PH)24ay1a(pa)．

2令app0，得a，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为22yp， 2即抛物线的通径所在的直线．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得

AB1k2x1x21k2·(x1x2)24x1x21k2·4p2k28p2 2p1k2·k22，

又由点到直线的距离公式得d2p1k22．

从而S△ABN·d·AB·2p1k·k2·121222p1k22p2k22，

∴当k0时，(S△ABN)max22p2．

（Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为ya，则以AC为直径的圆的方程为

(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，

2将直线方程ya代入得xx1x(ap)(ay1)0，

则△x14(ap)(ay1)4a

2p． ya(pa)12

设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则有PQx3x4令app4ay1a(pa)2ay1a(pa)．

22pp0，得a，此时PQp为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为22y

p， 2即抛物线的通径所在的直线．