知识讲解—相似三角形的判定及有关性质

 相似三角形的判定及有关性质 【学习目标】 1. 了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理． 2. 理解并掌握相似三角形的判定及性质。 【要点梳理】 要点一、平行截割定理 1。平行线等分线段定理： 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等。 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 如右图：l1∥l2∥l3，则ABDEABDEBCEF，，，… BCEFACDFACDF推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． 要点诠释： 由上述定理可知：在证明有关比例线段时，辅助线往往作平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比. 要点二、相似三角形 1.定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。 要点诠释： 关于相似三角形要注意以下几点： ① 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③ 两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 2．相似三角形的判定定理 ①两角对应相等的两个三角形相似。 ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 ③三边对应成比例的两个三角形相似。 ④平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3．相似直角三角形的判定定理 ①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 4．相似三角形的性质 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 ②相似三角形周长的比等于相似比。 ③相似三角形面积的比等于相似比的平方。 ④相似三角形外接圆的直径比，周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。 要点诠释： 相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等． 要点三、射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项。 A如右图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高， 则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。 要点诠释： BDC① 根据射影定理，已知“直角三角形斜边上的高”图形中六条线段中的任意两条，就可求出其余四条线段， ② 有时需要用到方程的思想. ③ 在复杂图形中分解出射影定理的基本图形来使用它的性质进行证明，是一种常用的证明线段等积式的方法，必要时需结合代换线段或线段的等积式来解决问题. 【典型例题】 类型一、平行截线定理的应用 例1. 如图，D、E、F分别为△ABC边BC、CA、AB上的点，DE和CF互相平分。 BDCFAAEAFCD。连结DE、CF。求证：ECBFBDE【思路点拨】证明两条线段互相平分，最好的方法就是证明这两条线段是一个平行四边形的对角线。因此可以连结EF、DF，然后证四边形DCEF是平行四边形。 【解析】连结EF、DF ∵AEAF ECBF∴EF∥BC（如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。） 同理DF∥AC ∴四边形DCEF是平行四边形 ∴DE和CF互相平分 【总结升华】证两直线平行，通常都是通过证角的关系来得到，现在我们又有了新的方法——证对应线段成比例。 举一反三： 【变式1】 如图，F是□ABCD的边CD上一点，连结BF，并延长BF交AD的延长线于点E。 求证：DECFBDEDF AEDC∴CD∥AB，AD∥BC A【答案】∵□ABCD DEEF（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例） AEEBEFDF同理可得 EBDCDEDF∴ AEDCDE1【变式2】如图，在△ABC中，E为中线AD上的一点，。连结BE， AE2∴延长 BE交AC于点F。求证AF=CF。 【答案】作DH∥AC，交BF于点H HEBDAFDHBD∴（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得CFBC的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。） ∵D是BC的中点 CDHBD1= CFBC2DE1∵ AE2DHDE1同理可得 AFAE2DHDH∴ AFCF∴∴AF=CF 【变式3】已知：如图，AD是△ABC的角平分线,求证：【答案】 BDBA DCAC过点C作CE∥DA，与BA的延长线交于点E， ∵CE∥DA，∴∠AEC=∠BAD，∠DAC=∠ACE 又∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠DAC ∴∠ACE=∠AEC ∴AC=AE。 由平行截线定理知：BDBABDBA，即。 DCAEDCAC类型二、相似三角形的判定及性质的应用 例2．（2016春 淇滨区校级月考）如图所示，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM=CN，且下列结论正确的是（ ） AMBMANCN , A. △ABM∽△ACB B. △ANC∽△AMB C. △ANC∽△ACM D. △CMN∽△BCA 【思维点拨】证明AMBM，∠CNM=∠CMN，即可。 ANCN【解析】因为CM=CN，所以∠CNM=∠CMN 因为∠CNA=∠CMN+∠MCN，∠AMB=∠CNM+∠MCN 所以∠CNA=∠AMB 因为AMBM ANCN所以△ANC∽△AMB，故选B。 举一反三： 【变式1】如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则【答案】1。利用平行转相似。 EFFG________。 BCAD【变式2】（2016 蚌埠一模）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点． （1）求BD长； （2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD． 【解析】（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB． ∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9． ， （2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A． ∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO． ∴AD=AO 【高清课堂：相似三角形的判定及有关性质401238例题1】 【变式3】在梯形ABCD中，AD//BC，AC，BD相交于O， AO=2 cm， AC=8 cm，且S△BCD =6 cm2， 求S△AOD. 【答案】 因为AD//BC ∠ADO=∠DBC 且∠AOD=∠BOC 所以 △AOB∽△BOC S△AOD：S△BOC=AO²：OC²=4：36=1:9 且OD：BO=2:6 =1:3 在△BCD中 △BOC与△DOC共高 所以其面积比为OB：OD=1:3 设S△AOD=x 则 S△BOC=9x S△DOC=3x S△BCD=S△DOC+S△BOC=9x+3x=12x=6 x=0.5 所以 S△AOD=1/2 (cm2 ) 例3．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，点D是垂足． 求证：BC2＝2CD·AC. 【思路点拨】作AE⊥BC，证明△AEC和△BDC相似即可． 【解析】 过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∴CE＝BE＝1BC，由BD⊥AC，AE⊥BC. 2又∴∠C＝∠C，∴△AEC∽△BDC. 1BCACECAC∴，∴2， DCBCCDBC即BC2＝2CD·AC. 【总结升华】判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．除了平行，还可利用“两角对应相等”、“两边对应成比例及夹角相等”、“三边对应成比例”这三个判定定理。在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到． 举一反三： 【变式1】如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举. 【答案】 此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可. 当满足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC. 条件一：∠1=∠B. 条件二：∠2=∠ACB. 条件三：，即. 【变式2】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC， Q是CD的中点． 求证：△ADQ∽△QCP． 【答案】因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定．具体证明过程如下： 在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴ ∵AD=2 QCBPBC=3，∴=4 PCPCDQ 又∵BC=2DQ，∴=2 PCADDQ 在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°， QCPC ∴△ADQ∽△QCP． 【变式3】 如图△ABC中，∠C，∠B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、E， 求证：△BDO∽△BOC∽△DEC 【答案】易得AO平分∠BAC，AO⊥DE ∴ ∠ADO=∠AEO ∴ ∠BDO=∠CEO 又∠BDO=90°+∠BOC=180°－=90°+1∠BAC 21（∠ABC+∠ACB） 21∠BAC 2∴ ∠BDO=∠BOC 又∠DBO=∠OBC ∴ △BDO∽△BOC 同理△ECO∽△OCB ∴ △BDO∽△BOC∽△OEC 类型三、射影定理的应用 例4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝6，DB＝5，则AD的长为＿＿＿． 【解析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴AC2 =AB·AD． 设AD＝x，则AB＝x＋5，又AC=6， ∴62＝x(x＋5)，即x2＋5x－36=0． 解得x=4(舍去负值)， ∴AD=4． 【总结升华】射影定理包含三个等式，主要用于与直角三角形斜边上的高有关的证明或计算．本题也可以用勾股定理列方程组求解，但不如这里的解法简捷． 举一反三： 【变式1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=3，则AC=________。 【答案】213，直接由公式可得。 3( ) 【变式2】Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，AB∶AC＝3∶2，则CD∶BD＝ A．3∶2 C．9∶4 B．2∶3 D．4∶9 【答案】D。由射影定理得AB2＝BD·BC， 由△ADC∽△BAC得AC2＝DC·BC， CD·BCAC24∴BD·BC＝AB2＝9，即CD∶BD＝4∶9. 【变式3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：AC3AE。 3BCBF【答案】由直角三角形射影定理知： AC2=AD·AB，BC2=BD·AB AC2AD∴ 2BCBDADBDAE由△ADE∽△ABC，得DE由△ADE∽△DBF，得DE BFAC BCAEAEDEACADACAC2AC3∴ 23BFDEBFBCBDBCBCBC【变式4】如右图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H. 求证：(1)DG2＝BG·CG； (2)BG·CG＝GF·GH. 【答案】(1)DG为Rt△BCD斜边上的高， ∴由射影定理得DG2＝BG·CG. (2)∵DG⊥BC，∴∠ABC＋∠H＝90°， ∵CE⊥AB，∴∠ABC＋∠ECB＝90°， ∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB， ∴∠H＝∠ECB. 又∵∠HGB＝∠FGC＝90°， ∴Rt△HBG∽Rt△CFG， BGGH∴GF＝GC，∴BG·CG＝GF·GH.