高中数学_利用导数研究函数单调性教学设计学情分析教材分析课后反思

-------利用导数判断函数的单调性

一．教学目标

知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系

2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间

过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法

2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。

情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、

善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。

二．教学重难点

对于函数单调性与导数，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。

教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。 三．教法分析： 1．教学方法的选择：

为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、讲练结合的教学方法。通

过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。 2．教学手段的利用：

本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。 3．教学课堂结构

知识回顾—问题情境—新课探究—知识运用（例题精讲—变式训练—拓展延伸—能力提升）—课堂小结—作业布置 四．学法分析：

为使学生积极参与课堂学习，我主要指导了以下的学习方法： 1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题；2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与数学活动； 3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。 五．教学过程： （一）知识回顾

从已学过的知识（导数几何意义、求导公式、判断二次函数的单调性）入手，提出新的问题（判断三次函数的单调性），引起认知冲突，激发学习的兴趣。

设计意图：通过复习回顾，巩固旧知，学生疑惑，逐步浮现本节课的探讨任务。 (二)问题情境

从导数几何意义和图像出发，提出本节课要探索的问题，函数的单调性与导数的关系。由观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。 (三)新课探究

探究一 导函数与原函数单调性的关系

通过导数的几何意义归纳总结导数的单调性与导数的关系来验证由具体函数所得到的结论，形成一般性结论。让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会函数单调性与导数的关系。 【小结】f(x）>0f(x)单调递增f(x)0 探究二 如何求单调区间

从具体的函数出发，让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度，让学生在老师的引导下自主学习和探索，提高学习的成就感和自信心。

【小结】导数图像看正负，函数图像看增减； 探究三 已知函数单调性，求参数取值范围 探究四 讨论函数单调性 例4 已知

【小结】分类讨论思想的应用

f(x)ln(1x)xk2x,k0,2讨论f(x)的单调区间；

二次函数（ex类）f(x)（来自lnx或f(x)的分母）；令g(x)= “二次函数”（研究正负）；

分类讨论的依据：1. a；2.；3.两根大小；4.根是否在定义域内； 分类讨论的步骤：1.先确定a的取值情况； 2.分情况讨论参数a；

3.每种情况下，画g(x)图像（开口方向、根的大

小、定义域）

(四)知识应用

具体题目设置详见课堂学案。 必做：《学案导学》例1-3 选做：《学案导学》例4 (五)课堂小结

通过这堂课的研究，我明确了导数与函数单调性的对应关系，我的收获与感受是利用导数这一工具使函数的单调性更易于研究，体会了数学的巧妙与重大作用。 (六)作业布置

采用分层作业的方式，体现分层教学。 六.板书设计

利用导数判断函数的单调性 探究一：导数与函数对应关系 探究三：求参数取值范围 小结： 小结： 探究二：求单调区间 小结：

学情分析

-----函数的单调性与导数

“函数单调性”，“导数”这两个概念学生并不陌生，因为学生已经系统的研究了一些基本初等函数的图像和性质。之前又学习了导数的概念、计算、几何意义等内容，所以，在知识储备方面，学生已经具备足够的认知基础。但要将二者联系到一起，学生对数学整体的认识以及抽象概括的能力还不够，在教学中，还需要引导学生通过观察图形逐步得出函数单调性与其导数的正负关系，使学生充分体验到用导数判断函数单调性时的有效性和优越性。 其中，有利因素：

1）已经学习了函数的单调性，会用图像法、定义法求函数的单调性； 2）在物理学瞬时速度的辅助下掌握了导数概念及几何意义，会求简单函数的导函数；

3）学生好奇心强，探究导数与函数单调性关系对他们而言是一个挑战，更能激发他们学习兴趣。

另外，不利因素：学生发现能力欠缺，对于这两个知识板块的整合，学生存在很大兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合去发现规律，总结结论。

由于学生已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。

效果分析

通过本节课的学习，学生当堂能够掌握利用导数求函数的单调性，并了解其优越性。学生普遍反映良好。但本节课容量较大，因此本节课我是分为两节课来完成。

根据新课标的建议，本节课的效果分析分以下3个方面进行： 1. 相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。在学生探究过程中，关注其思维过程，鼓励其大胆猜想，让学生在发现知识的过程中体验成功的快乐，并在此基础上纠正偏差。

2.通过练习，让学生相互发现存在的问题，在讲评中给予及时指正，关注学生是否积极主动地参与数学学习、是否愿意与同伴交流数学学习体会、与他人合作探究数学问题。

3.通过作业，再次对本节课进行强化，以便查缺补漏。

现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节课的设计从单调性与导数关系的发现到应用都有意识地营造一个较为自由的空间，意图让学生能主动地去观察、猜测、发现、验证，积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法。

预想整个教学过程突出三个注重： 1. 注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单问题的乐趣。2. 注重师生间、同学间的互动协作、共同提高。 3.注重知能统一，让学生在获取知识的同时，掌握方法，灵活应用。

教材分析

-----函数的单调性与导数

本小节选自普通高中课程标准实验教科书—数学《选修1-1》

（人教B版）第三章第三节“3.3.1利用导数判断函数的单调性”，主要内容是学习导数在求函数单调区间中的作用。首先可以对前面常见函数求导和运算法则进一步加深巩固，其次也是导数作为工具研究函数最值等性质，还原函数图像的基础。因此，学习本节内容具有承上启下的作用，同时在高考中占有举足轻重的地位。

本节课内容教材主要学习函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；利用导数信息绘制函数的大致图像;会求函数和的单调区间。

本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打下基础。

由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性.通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性.

评测练习：

变式1 设函数f(x)在(a,b)上连续且可导，

（1）f(x)>0是f(x)单调递增的 条件； （2）f(x)<0是f(x)单调递减的 条件；

变式2 （1）f(x)lnx,g(x)f(x)f(x),求g(x)单调区间；

（2）f(x)

lnx1求单调区间； xe变式3（3）若f(x)(k1)lnxx在(1,)上是减函数，则实数k取值范围是（ ）

22（-，-2][2,) A.[-1,1] B.[-2,2] C.（-，-1][1,) D.

变式4 已知f(x)ln(1x)x

【小结】分类讨论思想的应用

k2x,k0,讨论f(x)的单调区间； 2二次函数（ex类）f(x)；令g(x)= “二次函数”（研究正负）；

（来自lnx或f(x)的分母）分类讨论的依据：1. a；2.；3.两根大小；4.根是否在定义域内； 分类讨论的步骤：1.先确定a的取值情况； 2.分情况讨论参数a；

3.每种情况下，画g(x)图像（开口方向、根的大小、定义域）

【检测】：

1.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )

2．函数f(x)＝x－e的单调增区间是( )

x

A．(1，＋∞) B．(0，＋∞ ) C．(－∞，0) D．(－∞，1) 3．三次函数f(x)＝ax＋x在x∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) 1

A．a>0 B．a<0 C．a<1 D．a<

3

（4）已知函数f(x)lnxax

3

1a11(aR)，当a时，讨论f(x)的单调性.

2x课后反思

函数单调性是函数的一个重要性质，函数单调性，单调区间的概念掌握起来有一定困难，特别是增函数、减函数的定义很抽象，学生很难理解，这样会增加学生的负担，不利于学生学习兴趣的激发。因此，在教学的整个过程中，弱化抽象概念的讲解，从具体函数的图象分析入手，使学生对增、减函数有一个直观的印象。进一步，通过分

析函数图象的变化趋势，启发学生归纳总结出增、减函数中函数值与自变量之间的变化规律，使学生会熟练的通过函数的图象来判断一个函数是增函数，还是减函数。

在次基础上，给出函数单调性，函数单调区间的概念。在课堂上重点训练了学生从函数图象上来判断函数单调区间，以及在每个单调区间上的单调性的能力，从学生的的课堂反应来看，学生能熟练的通过函数的图象来判断函数的单调性，然后用定义证明一个函数是增函数（减函数）,整堂课下来，使学生会通过函数图象来判断函数单调性这一目标基本上达到，学生课堂反应积极、热情。当然，其中还是存在了很多的问题，譬如最大的问题就是学生探究时间紧张，教师讲多了。

围绕难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题： 1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数的认识，学生对“y随x的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数在定义域上的单调性的讨论．

2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．

3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．

4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．

但从学的视角去评价就会发现:教师为了营造轻松愉快的课堂气氛,注重了学生学习兴趣的培养,但过于心切,总想尽快地“直奔主题”把主要内容教授给学生后进行习题训练;而让学生经历实践，然后通过探讨等得出概念的过程却在师生间的简单问答中滑过,学生必要的能力得不到良好训练,学习情感得不到有效激发.

由此,很有必要从以下几个方面进行改进:在新授课上,应从学生的已有知识和生活经验出发,围绕知识目标展开新知识出现的情境,适当推迟新知识得出时间,丰富学生的情感体验,在知识目标得到有效落实的同时,达成能力目标。在习题课上,应以能力培养为核心,注重在知识网络的交汇点设计问题,突出基础知识的应用和基本技能的运用,强化知识目标,广泛建立知识之间的联系,培养学生学习数学的情感,在知识应用课上,应强调数学走向生活,解决具有现实意义的生活问题,培养学生的数学建模能力.

在教学时，我们也要适当使用多媒体教学手段，帮助学生可以更加直观的理解函数的图象变化。

函数的单调性的教学加强了对数形结合等数学思想方法学习要求，让学生尽量从图形上直观的认识函数的性质，然后再从理论上进行研究，这种发现问题、提出问题、研究问题的探究方式，也是新课程提出的新的教学理念的一个体现。

课标分析

导数在新课程标准中的高中数学教材中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰富的外延,在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.而导数的应用已经成为课改后中学数学的一个重点、难点、亮

点,是进一步学习高等数学的基础,它为我们提供了新的解题工具,特别是在求曲线的切线、研究函数的单调性、求解函数的单调区间和研究函数极值、最值、证明不等式、恒不等式问题中求参数的取值范围等问题中,处理起来程序化,非常方便、简捷,是高考的热点.

但导数在初等数学中的应用远不止于此,近几年高考试题中频频出现的方程根的研究问题、函数图象的画法、解析几何中的最值等问题也都显示了导数的威力与魅力.

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的．必修课程是整个高中数学课程的基础,选修课程是在完成必修课程学习的基础上,希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成．在系列1和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻．

在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等．我们知道,函数的这些性质都可以通过函数的图象表示出来,因而,如果能准确地作出函数的图象,函数的性质就一目了然,函数的性态也容易掌握了．

掌握了导数的知识之后,学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线,然后再结合描点法,就能较为准确地作出函数的图象．这样就有利于学生更好地理解函数的性态,同时也拓宽了学生的知识面．如果所涉及的函数是

基本初等函数,用描点法就可以作出函数的图象．但是,如果所涉及的函数是非基本初等函数，就需要通过研究导数来研究函数的单调性，从而研究函数。

此外，导数的学习有利于学生更好地掌握函数思想。