基础·能力·创新——由一道探究性高考题引发的思考

基础・能力・创新　由一道探究性高考题引发的思考　曲阜师范大学附属中学　２７３１６５　张海军　探究性问题立意于对发散思维能力的培养和考查，具　有开放性，解法灵活，形式新颖，无法套用统一的解题模　式，可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到众　多高考命题专家的重视，近年来已成为高考试题的一个新　亮点．２０１３年山东省高考数学试卷文、理科第１６题，新定　义以考生熟悉的对数运算为载体，以分段函数的形式呈　现，考查了分类整合及自主学习的能力，“动静结合”，“等　与不等”自然转化，富有思考性和挑战性．　２０１３年山东高考文、理第１６题　定义“正对数”：　ｎ　＝｛ｌ　，０　．　现有四个　命题：　①若口＞０，６＞０，贝４　Ｉｎ　０　＝ｂｌｎ　。；　②若ｒ上＞０，６＞０，贝０　Ｉｎ　ａｂ＝Ｉｎ　。＋Ｉｎ　ｂ；　③若０＞０，６＞０，则Ｉｎ　÷≥Ｉｎ　Ⅱ一ｉｎ　ｂ；　（　若ｎ＞Ｏ，６＞Ｏ，贝０　ｌｎ　（０＋ｂ）≤Ｉｎ　口＋Ｉｎ　ｂ＋ｌｎ　２．　其中的真命题有一　本题是新定义型问题，解题时要严格按照所给定义，　对每个选项逐一论证或排除．　解法１　我们根据正对数的定义可以得到Ｉｎ　＝　１ｎ　十Ｉ　１ｎ　ｌ　９　①Ｉｎ　ｎ　：　＝６　：６ｌｌ１＋。，　２　’　故①是真命题．　②ｌ　’。６＝　ｌｎⅡ＋ｉｎ　ｂ十ｌ　Ｉｎ　ｎ＋１Ｉ１　６　Ｉ　２　≤　２　故②不是真命题　③ｌ…ｎ　。－ｎ　一ｎ詈　ｂ＝　２　ｌｎ　ｎ—ｉｎ　ｂ＋Ｉ　ｌｎ　ｎ　Ｉ—Ｉ　Ｉｎ　６　≥—————　～一——　＝Ｉｎ　０一ｌｎ　ｂ　故③是真命题．　５４　（　（１）当０＜ｎ＋６≤１时，Ｉｎ　（。＋ｂ）　Ｉｎ（　＋ｂ）＋Ｉ　Ｉｎ（ｏ＋ｂ）Ｉ　ｉｎ（０＋ｂ）一ｉｎ（Ⅱ＋６）　一一一　２　２　＝０＜ｌｎ　＋ｌｎ　ｂ＋ｌｎ　２．　（２）当１＜。＋６≤２时，　２　一　一　！　±　２±　ｌ！±　２　：ｉｎ（８＋ｂ）≤Ｉｎ　２≤Ｉｎ　０＋Ｉｎ　６＋Ｉｎ　２．　（３）当。＋６＞２时，则ｏ，６至少有一个大于１，不妨设　０＞１，此时０＜ｂ≤１和ｂ＞１分别对应　１　＋（。＋６）：　＝ｌｎ（ａ＋ｂ）＜Ｉｎ　２ａ＝Ｉｎ　０＋ｉｎ　２＝ｉｎ　０＋Ｉｎ　ｂ＋ｌｎ　２　和ｌｎ　（口＋６）＝Ｉｎ（Ⅱ＋６）≤Ｉｎ　２ａｂ＝Ｉｎ　ｎ＋Ｉｎ　ｂ＋ｌｎ　２＝ｌｎ　ｒ上＋Ｉｎ　６＋ｌｎ　２．　故④是真命题．　综上所述知真命题有①③④．　解法２　根据函数是分段的特点，可采取分段讨论证　明．　①（１）当０＜。＜１时，对ｂ＞０，有０＜ｎ　＜ｌ，故ｌｎ　＝６ｌｎ　Ⅱ＝Ｑ　（２）当Ⅱ≥１时，对６＞０，有ｎ　≥ｔ，故Ｉｎ　０　＝Ｉｎ。　＝ｂｌｎ　ｎ＝ｂｉｎ’０．　从而①是真命题　②当。＝２，６＝÷时，１ｎ　（ｎ６）＝ｌｎ＊　１＝ｏ，而ｌｒ・　ｎ　＋Ｉｎ　ｂ＝Ｉｎ　２，故②不是真命题　③（１）当０＜÷＜１时，则０＜口＜ｂ＜１或０＜“＜　１≤ｂ或１≤ｎ＜ｂ，此时分别对应　ｌｎ　孚：０：ｌ０　ｎ　ｎ—ｌｎ　６或ｌｎ　孚：０≥一ｌＤ　ｎ　ｂ＝ｌｎ　口一ｌｎ　６或ｌｎ　导＝０≥ｌｎⅡ一ｌｎ　ｂ＝ｌｎ　ｎ—ｌｎ　６．　（２）当导≥１时，则０＜６≤ｎ＜１或０＜ｂ≤１≤　Ⅱ或１＜６≤Ⅱ，此时分别对应　ｌｎ　詈：ｌｎ詈：ｌｎ。一ｉｎ　６／＞０＝ｌｌ１　。＿１ｎ　６或ｌｎ’　ａ一Ｄ　＝Ｉｎ旱＝ｌｎ。一ｌｎ　ｂ≥ｌｎ　０—０＝ｌｎ　口一ｌｎ　ｂ，或ｌｎ＋　Ｏ　　’Ｏ　（！）（１）当０＜ｎ＋ｂ≤１时，ｌｎ　（口＋６）：ｍａｘ｛０，ｌｎ（口　＋６）ｌ　＝０＜Ｉｎ＊口＋Ｉｎ　６＋ｌｎ　２．　孚：ｌｎ孚＝ｌｎ。一ｌｎ　６＝ｌｎ＋口一ｌｎ　６．综上所述，③是真　Ｏ　（２）当１＜ｎ＋６≤２时，ｌｎ　（０＋６）：ｍａｘ｛０，Ｉｎ（口＋ｂ）｝　＝ｌｎ（ａ＋６）≤Ｉｎ　２≤Ｉｎ　ｎ＋ｉｎ　６＋１ｎ　２　命题．　（３）当０十ｂ＞２时，则８，６至少有一个大于１，不妨设　口＞１，此时０＜６≤１和ｂ＞１分别对应　ｌｎ　（０＋ｂ）＝ｍａｘ｛０，Ｉｎ（口＋ｂ）｝：ｉｎ（０＋ｂ）＜Ｉｎ　２ａ＝Ｉｎ　０＋Ｉｎ　２＝ｌｎｔ　ｎ＋Ｉｎ　ｂ＋１ｎ　２和Ｉｎ　（０＋ｂ）＝Ｉｎ（０＋ｂ）≤　④（１）当０＜口＋６＜１时，则０＜０＜１，０＜６＜　１，故ｌｎ　（０＋６）＝０＜ｉｎ　２＝Ｉｎ　ａ＋Ｉｎ　ｂ＋ｌｎ　２．　（２）当１≤Ⅱ＋ｂ＜２时，贝Ⅱ　ｌｎ　（ｎ＋ｂ）＝Ｉｎ（０＋ｂ）　＜Ｉｎ　２≤Ｉｎ　。＋Ｉｎ　ｂ＋１ｎ　２．　Ｉｎ　２ａｂ＝Ｉｎ口＋Ｉｎ　ｂ＋Ｉｎ　２＝ｍａｘ｛０，Ｉｎ　ａ｝＋ｍａｘ｛０，Ｉｎ　６｝　＋ｌｎ　２＝Ｉｎ　０＋ｌｎ　６＋ｌｎ　２．　（３）当口＋ｂ≥２时，则ｎ，ｂ至少有一个大于或等于１，　不妨设８≥１，此时０＜６＜１和６≥１分别对应ｌｎ　（Ⅱ＋ｂ）　＝１ｎ（ｏ＋６）＜Ｉｎ　２ａ＝Ｉｎ　ｏ＋Ｉｎ　６＋Ｉｎ　２和Ｉｎ　（口＋ｂ）　＝Ｉｎ（０十ｂ）≤Ｉｎ　２ａｂ＝Ｉｎ口＋Ｉｎ　ｂ＋Ｉｎ　２：Ｉｎ　ｏ＋Ｉｎ　ｂ　＋ｌｎ　２．　故④是真命题．综上所述知真命题有①③④．　“正对数”问题来源于考生比较熟悉的对数知识，考　查了考生自主学习的能力，体现了“源于课本，高于课本，　活于课本”的思想和理念．该题“分类讨论”既是思维的起　点，又是思维的落脚点，较好地考查了考生潜在的数学素　养和创新意识，体现了新课标中所倡导的积极主动探索的　所以④是真命题．综上所述知真命题有　．　解法３　我们根据正对数的定义还可以得到Ｉｎ　＝　ｍａｘ｛０，ｌ似）．　①Ｉｎ　口　＝ｍａｘ｛０，Ｉｎ　ｎ　｝＝ｍａｘ｛０，ｂｌｎ口｝＝ｂｍａｘ｛０，　Ｉｎ　ｎ｝＝ｂｌｎ　ｏ，故①是真命题．　学习方式和注重提高学生的创新思维能力的要求．探索性　问题一直是数学中的一个热点问题，它对于知识点的交融　性及灵活运用都有着较高要求，而高考命题的一个最大的　特点就是着重于在知识网络的交汇处去命题，从而体现高　考命题的综合性、灵活性，所以对于学生来讲既是一个重　点，也是一个难点．对于这类问题的教学，笔者认为着眼点　不能仅仅局限于多讲或多练几个题目，总结几种方法，而　②１ｎ　＝Ⅱ础｛Ｏ，ｉｎ　｝＝ｍａｘ｛０，Ｉｎ　０＋Ｉｎ　ｂ｝≤　’　Ｏ　ｍａｘ｛０，Ｉｎ口｝＋ｍａｘ｛０，Ｉｎ　６｝：Ｉｎ　口＋Ｉｎ　ｂ，　故②不是真命题．　Ｏ　③ｌｎ　孚＝ｍａｘ｛ｏ，ｌｎ孚｝＝ｍａｘ｛０，ｌｎ　ｄ—ｉｎ　６｝≥　ｍａｘ｛Ｏ，Ｉｎ　ｏ｝一ｍａｘ｛Ｏ，Ｉｎ　ｂｌ＝Ｉｎ　口一Ｉｎ　ｂ，　③是真　命题．　应充分调动学生求知与探索的欲望，激发他们的自信，进　而培养他们解决探究性问题的能力，在这中间，老师的关　键作用就是如何起好穿针引线的作用．　形数三进高考　魅力涛声依Ｉ　Ｅｔ　湖北省武汉市黄陂六中“多边形数”是新课标人教Ａ版课本必修５第２．１节　“数列的概念与简单表示法”的引言部分和选修３—１第　４３０３００　梅磊　例１　（２００９年湖北文理１Ｏ题）古希腊人常用小石子　在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如　●　２。２节“毕达哥拉斯学派”部分的的内容．在数学史上，古希　腊数学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　●　…　起，把数描绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的　形状，把正整数与正三角形、正方形等图形联系起来，将数　●　１　３　６　１０　分为三角形数，正方形数等．这样一来，抽象的正整数就有　了生动的形象，寻找它们之间的规律也就容易多了．后期　图１　毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在《算术引论》中将多边　形数推广到立体数．　形数种类丰富，性质优美，应用广泛．解决形数问题不　仅需要数列、平面几何和立体几何等相关知识的支撑，而　且还需要一定的合情推理能力．２００９年高考湖北卷文理１０　题、２０１２年高考湖北卷文ｌ７题和２０１３年高考湖北卷理ｌ４　题，均属客观题中的经典题．这几道难得的考题视角独特、　设计新颖、卓而不群、别具一格．　他们研究过图１中的１，３，６，１０，…，由于这些数能够表　示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图２中的１，４，　９，１６，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又　是正方形数的是　Ａ．２８９　Ｂ．１０２４　Ｃ．１２２５　Ｄ．１３７８　５５