吉林省名校2019届高三第一次联合模拟考试数学(文)试题 (含答案)

吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试

数学考试（文科）

第Ⅰ卷

一、选择题

1．设复数z＝（5＋i）（1－i）（i为虚数单位），则z的虚部是 A．4i B．4 C．－4i D．4

2．已知集合A{x|y2x2,xR}，B＝{x|－1≤x≤3，x∈Z}，则集合A∩B中元素的个数为 A．4 B．3 C．2 D．1

x2y23．已知双曲线221（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2，6），则该双曲线的离心率为

abA．2 B．2 C．3 D．3

4．某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：

男性青年观众 女性青年观众 不喜欢 30 30 喜欢 10 50 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n＝

A．12 B．16 C．24 D．32

5．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 A．2 B．22 C．2π D．4π

x2y4≤0,6．设x，y满足约束条件xy1≤0,，则z＝－2x＋y的最大值是

2xy1≥0,A．1 B．4 C．6 D．7

sinx,x≤47．已知函数f(x)，则下列结论正确的是

cosx,x4A．f（x）是周期函数 B．f（x）奇函数

C．f（x）的图象关于直线xD．f（x）在x对称 45处取得最大值 28．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于

A．4 B．13 C．40 D．41

9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a(2sinB3cosC)3ccosA，点D是边

BC的中点，且AD13，则△ABC的面积为 2A．3 B．333 C．3或23 D．或3 242

10．已知抛物线C：y＝6x，直线l过点P（2，2），且与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为 A．

1531 B． C． D． 342411．函数f（x）＝xsin2x＋cosx的大致图象有可能是

A．

B．

C．

D．

(exa)2(exa)212．已知x＞0，函数f(x)的最小值为6，则a＝

exexA．－2 B．－1或7 C．1或－7 D．2

第Ⅱ卷

二、填空题

rrurrrrrrurr13．已知向量a，b不共线，m2a3b，n3akb，如果m∥n，则k＝________．

14．已知函数f（x）满足f()x3x，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为________． 15．已知sin10°＋mcos10°＝－2cos40°，则m＝________．

16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为________．

x23

三、解答题

17．已知数列{an}为等差数列，a7－a2＝10，a1，a6，a21依次成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn12，数列{an}的前n项和为Sn，若Sn，求n的值． anan12518．随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数yi（单位：人）与时间ti（单位：年）的数据，列表如下：

ti yi 1 24 2 27 3 41 4 64 5 79 （1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

附：相关系数公式r(tt)(yy)iii1n(tt)(yy)2iii1i1nnnn2tyntyiii1n(tt)(yy)2iii1i1nn，参考数据569575.47．

2（2）建立y关于t的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）．

$（参考公式：b(ti1it)(yiy)tyntyiii1n2tinti122(tt)ii1n$ybt$） ，a19．在四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1⊥平面ABCD．AB＝2AD＝4，DAB． 3

（1）证明：平面D1BC⊥平面D1BD； （2）若直线D1B与底面ABCD所成角为

，M，N，Q分别为BD，CD，D1D的中点，求三棱锥C—MNQ的体积． 6x2y220．顺次连接椭圆C：221（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为3且面积为22的菱形．

ab

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（0，－2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，kOA·kOB＝－1，其中O为坐标原点，求|AB|． 21．已知函数f(x)lnx121x(m1)xm． 22（1）设x＝2是函数f（x）的极值点，求m的值，并求f（x）的单调区间； （2）若对任意的x∈（1，＋∞），f（x）＞0恒成立，求m的取值范围． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，曲线C1：xa(1sint),（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴

yacost

（ρ∈R）． 6

为极轴的极坐标系中，曲线C2：

（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）若直线C3的方程为y3x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为23，求a的值．

23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数f（x）＝|4x－1|－|x＋2|． （1）解不等式f（x）＜8；

（2）若关于x的不等式f（x）＋5|x＋2|＜a－8a的解集不是空集，求a的取值范围．

高三数学考试参考答案（文科）

1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．C 8．C 9．D 10．C 11．A 12．B

2

13．9 2

14．18x－y－16＝0 15．3 16．20π

17．解：（1）设数列{an}的公差为d，因为a7－a2＝10， 所以5d＝10，解得d＝2．

2因为a1，a6，a21依次成等比数列，所以a6a1a21，

即（a1＋5×2）＝a1（a1＋20×2），解得a1＝5． 所以an＝2n＋3． （2）由（1）知bn所以bn所以Sn2

11， anan1(2n3)(2n5)111()， 22n32n51111111n[()()L()]， 257792n32n55(2n5)由

n2，得n＝10．

5(2n5)2518．解：（1）由题知t3，y47，

ntyii15i852，(tt)ii1n210，(yy)ii1n22278，

则r(tt)(yy)iii1(tt)(yy)2iii1i1nn2tyntyiii1n(tt)(yy)2iii1i1nn

21471471470.970.75．

2278025695150.94故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．

$（2）由（1）得btyntyiii1nnti12int214.7，

$4714.732.9． a

所以y与t的回归方程为y＝14.7t＋2.9． 将t＝6带入回归方程，得y＝91.1≈91， 所以预测第6年该公司的网购人数约为91人．

19．（1）证明：∵D1D⊥平面ABCD，BC平面ABCD， ∴D1D⊥BC．

又AB＝4，AD＝2，DAB， 323， 3∴BD2

2

2242224cos2

∵AD＋BD＝AB，∴AD⊥BD． 又∵AD∥BC， ∴BC⊥BD．

又∵D1D∩BD＝D，BD平面D1BD，D1D平面D1BD， ∴BC⊥平面D1BD，而BC平面D1BC， ∴平面D1BC⊥平面D1BD；

（2）解：∵D1D⊥平面ABCD，

∴∠D1BD即为直线D1B与底面ABCD所成的角，即D1BD而BD23，∴DD1＝2．

， 61VCMNQVQCMNVQBDC，

4∴VCMNQ11132321． 43262

2

20．解：（1）由题可知，2ab22，a＋b＝3， 解得a2，b＝1．

x2y21． 所以椭圆C的方程为2（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

当直线l斜率不存在时，明显不符合题意，故设l的方程为y＝kx－2，

x2y21，整理得（1＋2k2）x2－8kx＋6＝0． 代入方程2由Δ＝64k－24（2k＋1）＞0，解得k所以x1x22

2

23， 28k6，． xx122212k12kkOAkOB2

y1y2k2x1x22k(x1x2)41， x1x2x1x2解得k＝5．

|AB|1k2(x1x2)24x1x221．解：（1）f(x)lnx421． 111211，f(x)xm1． x(m1)xm（x＞0）

22x因为x＝2是函数，f（x）的极值点， 所以f(2)213m10，故m． 22152x25x20， 令f(x)xx22x1或x＞2． 211所以f（x）在（0，）和（2，＋∞）上单调递增，在（，2）上单调递减．

221（2）f(x)xm1，

x解得0x当m≤1时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，

121x(m1)xm0恒成立； 221当m＞1时，易知f(x)xm1在（1，＋∞）上单调递增，

x又f（1）＝0，所以lnx故存在x0∈（1，＋∞），使得f′（x0）＝0，

所以f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增， 又f（1）＝0，则f（x0）＜0，这与f（x）＞0恒成立矛盾． 综上，m≤1．

22．解：（1）消去参数t得到C1的普通方程：（x－a）＋y＝a． C1是以（a，0）为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ带入C1的普通方程，得到C1的极坐标方程ρ＝2acosθ． （2）C3的极坐标方程将

222

5（ρ∈R）， 35，代入ρ＝2acosθ，解得13a， 63ρ2＝a， 贝△OMN的面积为

1323aasin()a23，解得a＝2． 26323x3,x≤2123．解：（1）由题意可得5x1,2x，

413x3,x≥4当x≤－2时，－3x＋3＜8，得x，无解；

531991时，－5x－1＜8，得x，即x； 4554111111当x≥时，3x－3＜8，得x，即≤x．

4343911所以不等式的解集为{x|x}．

53当2x（2）f（x）＋5|x＋2|＝|4x－1|＋|4x＋8|≥9， 则由题可得a－8a＞9， 解得a＜－1或a＞9．

2