学 习 目 标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点) 2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点) 核 心 素 养 1.通过学习利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法，体会数学抽象素养． 2．通过用“五点法”作出简单的正弦曲线，提升直观想象素养.
2．在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，
1
π3π
2，1，(π，0)，2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．
思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？ [提示] 列表、描点、连线．
1．对于正弦函数y＝sin x的图像，下列说法错误的是( A．向左、右无限延展
B．与y＝－sin x的图像形状相同，只是位置不同
2
)
C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称
D [y＝sin x为奇函数，关于原点对称，故D错误．] 2．y＝sin x的图像的大致形状为( )
[答案] B
3．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．
π3π
5π [0＋2＋π＋2＋2π＝5π.]
4．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．
3
π3π2，2 1 [由正弦函数的图像(图略)可知．]
“五点法”作图 【例1】 用五点法作函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的图像． [解] (1)列表：
x sin x 1－sin x 0 0 1 π2 1 0 π 0 1 3π2 －1 2 2π 0 1 (2)描点、连线，图像如图．
4
π3π
1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，2，π，2，2π，然后相应求出y值，再作出图像．
2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
5
1．(1)作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的图像； (2)用五点法画出函数y＝sin 2x(0≤x≤π)的图像． [解] (1)列表：
x sin x 2sin x 描点作图： 0 0 0 π2 1 2 π 0 0 3π2 －1 －2 2π 0 0 6
(2)列表：
x 2x sin 2x 0 0 0 π4 π2 1 π2 π 0 3π4 3π2 －1 π 2π 0 描点得y＝sin 2x(0≤x≤π)的简图，如图：
7
利用正弦函数图像解不等式 1【例2】 利用y＝sin x的图像，在[0,2π]内求满足sin x≥－2的x的取值范围．
[解] 列表：
x sin x 0 0 π2 1 π 0 3π2 －1 2π 0 1描点，连线如图，同时作出直线y＝－2的图像．
1
由图像可得sin x≥－的取值范围为
27π11π0，6∪6，2π.
8
用三角函数图像解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像； (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据图像写出不等式的解集．
9
1
2．利用正弦函数的图像，求满足sin x≥2的x的集合．
[解] 作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，如图所示，由图像可以得到5ππ
满足条件的x的集合为6＋2kπ，6＋2kπ，k∈Z.
正弦函数图像的应用 [探究问题] 10
1．若已知函数y＝f(x)的图像，如何作出函数y＝|f(x)|的图像？
[提示] 将函数y＝f(x)的x轴上方的图像保持不变，将x轴下方的图像关于x轴翻折到x轴上方即可．
2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？
[提示] 可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．
【例3】 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[思路探究] 在同一坐标系中，作出两个函数图像． 3sin x，0≤x≤π，[解] y＝
－sin x，π 1．(变条件，变结论)将例3变为“求方程lg x＝sin x的实数解的个数”应如何求解． [解] 作出y＝lg x，y＝sin x在同一坐标系内的图像 ，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根． 2．(变结论)将例3中的函数f(x)不变，求方程“f(x)＝|log2x|”的解的个数，应如何求解． [解] 在同一坐标系内作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图像如图所示，易知f(x)与g(x)的图像有四个交点，故所给方程有四个根． 12 数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形.利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题. 13 1．“五点法”是我们画y＝sin x图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐π3π 标分别为0，2，π，2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图． 2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数. 14 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( ) (2)函数y＝sin x的图像介于直线y＝－1和y＝1之间．( ) (3)函数y＝sin x的图像关于x轴对称．( ) π －2，－1是其中的(4)用五点法画函数y＝sin x在区间[－π，π]上的简图时，一个关键点．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ π3π2．函数y＝－sin x，x∈－2，2的简图是( ) D [函数y＝－sin x与y＝sin x的图像关于x轴对称，故选D.] 15 2 3．在[0,2π]上，满足sin x≥2的x的取值范围为________． π3ππ3π4，4 [结合图像(图略)可知为4，4.] 4．在[0,2π]内，用五点法作出函数y＝2sin x－1的图像． [解] (1)列表： x sin x 2sin x－1 0 0 －1 π2 1 1 π 0 －1 3π2 －1 －3 2π 0 －1 (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点： π3π (0，－1)，2，1，(π，－1)，2，－3，(2π，－1)． (3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0,2π]的简图，如图所示． 5.2 正弦函数的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解、掌握正弦函数的性质．(重点) 1.通过理解正弦函数的性质，培养数2．会求简单函数的定义域、值域．(重学抽象素养． 16 点) 3．能利用单调性比较三角函数值的大小．(难点) 2．通过求简单函数的定义域、值域、比较三角函数的大小，提升数学运算素养. 正弦函数的性质 定义域 值域 性质 最大值与 最小值 周期性 R [－1,1] π当x＝2kπ＋2(k∈Z)时，ymax＝1； 3π当x＝2kπ＋2(k∈Z)时，ymin＝－1 周期函数，T＝2π 17 单 调 性 性质 奇偶性 对称性 ππ在2kπ－2，2kπ＋2(k∈Z)上是增加的； π3π在2kπ＋2，2kπ＋2(k∈Z)上是减少的 奇函数 图像关于原点对称，对称中心(kπ，0)，k∈Z；对称轴x＝kππ＋2，k∈Z 思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？ π3 [提示] 选取－2，2π上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质． 1．下列函数中是奇函数的是( ) A．y＝－|sin x| C．y＝sin |x| B．y＝sin (－|x|) D．y＝xsin |x| D [利用定义，显然y＝xsin |x|是奇函数．] 1 2．已知M和m分别是函数y＝3sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于 ( ) 2A．3 2B．－3 18 4C．－3 12 D [因为M＝ymax＝3－1＝－3， 14 m＝ymin＝－3－1＝－3， 24 所以M＋m＝－3－3＝－2.] D．－2 3．若函数f(x)＝sin 2x＋a－1是奇函数，则a＝________. 1 [由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)得a＝1.] 4．函数y＝|sin x|的值域是________． [0,1] [由函数y＝|sin x|的图像(图略)可知为[0,1]．] 正弦函数的周期性与奇偶性 【例1】 求下列函数的周期： 1 (1)y＝sin 2x； (2)y＝|sin x|. 19 1111 [解] (1)∵sin2x＋4π＝sin2x＋2π＝sin 2x，∴sin 2x的周期是4π. (2)作出y＝|sin x|的图像，如图． 故周期为π. 1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论． 2．函数y＝sin x为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0,2π]是非奇非偶函数． 20 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xsin x； (2)f(x)＝|sin x|＋1. [解] (1)∵x∈R，且关于原点对称， 又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． (2)∵x∈R，且关于原点对称， 又f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)， ∴f(x)为偶函数． 21 正弦函数的单调性及应用 【例2】 (1)比较下列各组数的大小： ππ4π19π①sin4与sin8；②sin7与sin7. 1π(2)求函数y＝log2sinx－6的递增区间． ππππ [解] (1)①因为0＜8＜4＜2，且y＝sin x在x∈0，2上为单调增函数， ππ ∴sin4＞sin8， π4π5ππ ②因为2＜7＜7＜π，且y＝sin x在2，π上是减少的． 4π5π4π19π 所以sin7＞sin7，即sin7＞sin7. ππ7ππ(2)由sinx－6＞0得2kπ＜x－6＜π＋2kπ(k∈Z)得6＋2kπ＜x＜6＋2kπ(k∈ Z)，① π要求原函数的递增区间，只需求函数y＝sinx－6的递减区间， ππ3π2π5π 令2＋2kπ≤x－6≤2＋2kπ(k∈Z)得3＋2kπ≤x≤3＋2kπ(k∈Z)，② 2π7 由①②可知3＋2kπ≤x＜6π＋2kπ(k∈Z)， 7π2π 所以原函数的递增区间为3＋2kπ，6＋2kπ(k∈Z)． 22 1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较． π β后，再依据单调性2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin2±进行比较． 3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较． 23 2142π 2．比较sin5π与sin5的大小． π21ππ [解] ∵sin5＝sin4π＋5＝sin5， 2π42π2π sin5＝sin8π＋5＝sin5. π2ππ ∵0<5<5<2. π 又y＝sin x在0，2上单调递增， π2π21π42π ∴sin5 24 [提示] 利用换元法转化为二次函数求最值． 【例3】 求下列函数的值域． (1)y＝3－2sin x； 5 (2)y＝－sin2x＋3sin x＋4. [思路探究] (1)利用|sin x|≤1即可求解． (2)配方求解，要注意|sin x|≤1这一情况． [解] (1)∵－1≤sin x≤1， ∴－1≤－sin x≤1， 1≤3－2sin x≤5， ∴函数y＝3－2sin x的值域为[1,5]． (2)令t＝sin x，则－1≤t≤1， 53 y＝－t2＋3t＋4＝－t－2＋2， 23 ∴当t＝2时，ymax＝2. 3 此时sin x＝2， π2π 即x＝2kπ＋3或x＝2kπ＋3，k∈Z. 1 当t＝－1时，ymin＝4－3. 此时sin x＝－1，即x＝2kπ＋ 2 3π ，k∈Z. 2 51 ∴函数y＝－sinx＋3sin x＋4的值域为4－3，2. 25 ππ1．(变条件)将例3(1)的条件变为“函数y＝1＋2sin x，x∈－6，6”求函数 的最值． ππ11 [解] ∵－6≤x≤6，∴－2≤sin x≤2. ∴0≤1＋2sin x≤2. ππ即y＝1＋2sin x，x∈－6，6的最大值为2，最小值为0. 2．(变条件)将例3(1)中的函数变为“y＝3＋asin x(a≠0)”试求函数的值域． [解] ∵－1≤sin x≤1. (1)当a>0时， －a≤asin x≤a， 3－a≤3＋asin x≤3＋a. (2)当a<0时，a≤asin x≤－a， 3＋a≤3＋asin x≤3－a. 综上，当a>0时函数的值域为[3－a,3＋a]； 当a<0时，函数的值域为[3＋a,3－a]． 26 求正弦函数的值域一般有以下两种方法： 1将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝asin x＋b2＋c型的值域问题. 2利用sin x的有界性求值域，如y＝asin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b. 27 1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性． 2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内． 3．观察正弦曲线不难发现： (1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个． π (2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋2(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点. 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 28 (1)正弦函数y＝sin x的定义域为R.( ) (2)正弦函数y＝sin x是单调增函数．( ) (3)正弦函数y＝sin x是周期函数．( ) (4)正弦函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图像上的一条对称轴是( ) A．y轴 π C．直线x＝2 B．x轴 D．直线x＝π π C [结合函数y＝sin x，x∈R的图像可知直线x＝2是函数的一条对称轴．] 3．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________． 偶函数 [f(－x)＝[sin(－x)]2＋1＝sin2x＋1＝f(x)， 所以f(x)为偶函数．] 4．比较下列各组数的大小． (1)sin 2 016°和cos 160°； 75(2)sin4和cos3. [解] (1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°) ＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36° π7π53π 又2<4<2＋3<2， 29 π3π y＝sin x在2，2上是减少的， 75π5 ∴sin4>sin2＋3＝cos3， 75 即sin4>cos3. 30 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容