时间序列分析考试卷及答案

考核课程 时间序列分析（B卷） 考核方式 闭卷 考核时间 120 分钟

注：B为延迟算子，使得BYtYt1；为差分算子，。

一、单项选择题（每小题3 分，共24 分。）

1. 若零均值平稳序列Xt，其样本ACF和样本PACF都呈现拖尾性，则对Xt可能建立（ B ）模型。

A. MA(2) B.ARMA(1,1) C.AR(2) D.MA(1)

2.下图是某时间序列的样本偏自相关函数图，则恰当的模型是（ B ）。

A. MA(1) B.AR(1) C.ARMA(1,1) D.MA(2)

3. 考虑MA(2)模型Ytet0.9et10.2et2，则其MA特征方程的根是（ C ）。

（A）10.4,20.5 （B）10.4,20.5 （C）12，22.5 （D） 12，22.5

4. 设有模型Xt(11)Xt11Xt2et1et1，其中11，则该模型属于（ B ）。 A.ARMA(2,1) B.ARIMA(1,1,1) C.ARIMA(0,1,1) D.ARIMA(1,2,1)

5. AR(2)模型Yt0.4Yt10.5Yt2et，其中Var(et)0.64，则E(Ytet)（ B ）。 A.0 B.0.64 C. 0.16 D. 0.2

6.对于一阶滑动平均模型MA(1): Ytet0.5et1，则其一阶自相关函数为( C )。 A.0.5 B. 0.25 C. 0.4 D. 0.8

7. 若零均值平稳序列Xt，其样本ACF呈现二阶截尾性，其样本PACF呈现拖尾性，则可初步认为对Xt应该建立（ B）模型。

A. MA(2) B.IMA(1,2) C.ARI(2,1) D.ARIMA(2,1,2)

8. 记为差分算子，则下列不正确的是（ C ）。

A. 2YtYtYt1 B. 2YtYt2Yt1Yt2

kXtYt C. YtYtYtk D. (XtYt）二、填空题（每题3分，共24分）；

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1. 若Yt满足： 12Ytetet1et12et13， 则该模型为一个季节周期为

(0,_1_,1)(_0_,1,1)s模型。 s__12____的乘法季节ARIMA2.

时间序列

Yt的周期为s的季节差分定义为：

sYt_____YtYts________________________。 3. 设ARMA (2, 1)：YtYt10.25Yt2et0.1et1

则所对应的AR特征方程为___1x0.25x20_____________，其MA特征方程为________10.1x0_____________。

4. 已知AR（1）模型为：xt0.4xt-1t，t~WN(0,2)，则E(xt)=_______0_____________, 偏自相关系数11=________0.8__________________，kk=________0__________________（k>1）； 5.设Yt满足模型：YtaYt10.8Yt2et，则当a满足______0.2a0.2__________时，模型平稳。

6.对于时间序列Yt0.9Yt1et,et为零均值方差为e2的白噪声序列，则

Var(Yt)=_______

e210.81____________________。

7.对于一阶滑动平均模型MA(1): Ytet0.6et1，则其一阶自相关函数为_______________

8.一个子集ARMA(p,q)模型是指_形如__ARMA(p,q)模型但其系数的某个子集为零的模型_。

0.6________________________________。

10.36

三、计算题（每小题

5分，共10分）

已知某序列Yt服从MA(2)模型：

Yt40et0.6et10.8et2 ，若e220,et2,et14,et26

（a)预测未来2期的值；

（b)求出未来两期预测值的95%的预测区间。

ˆ1E(YY,Y,Y)E((40e0.6e0.8eY,Y,Y)400.6e0.8e 解：（1）Ytt112tt1tt112ttt1 =400.620.8(4)35.6

ˆ2E(YY,Y,Y)E((40e0.6e0.8eY,Y,Y)400.8e Ytt212tt2t1t12tt =400.8241.6

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（2）注意到Var[etl1。因为l]2j，

2ej0l101,10.6,故有

Var[et1]20，Var[et2]20(10.36)27.2。未来两期的预测值的95%的预测区间为:

Yˆlzt0.025ˆlz,2。代入相应数据得未来两Varetl,Yt0.025Varetl，其中z0.0251.96,l1期的预测值的95%的预测区间为：

, 44.3654)； 未来第一期为： (35.61.9620,35.61.9620)，即 (26.8346, 51.8221)。 未来第二期为： (41.61.9627.2,41.61.9627.2)，即(31.3779

四、计算题（此题10分）

设时间序列{Xt}服从AR(1)模型：XtXt1et，其中{et}是白噪声序列，E(et)0,Var(et)e2

x1,x2(x1x2)为来自上述模型的样本观测值，试求模型参数,e2的极大似然估计。

2解：依题意n2，故无条件平方和函数为 S()(x2x1)2(12)x12x12x22x1x2

t22 易见(见p113式(7.3.6)）其对数似然函数为 (,e)log(2)log(e)2211log(12)S() 222e22xx2x1x2212(,)e022e所以对数似然方程组为，即222x1x20(,e)02e212e2x1x2ˆ22xx12。解之得。 222xxˆ212222x1x2

五、计算题（每小题6分，共12分）

判定下列模型的平稳性和可逆性。

(a) Yt0.8Yt1et0.4et1 (b)Yt0.8Yt11.4Yt2et1.6et10.5et2 解：（a)其AR特征方程为： 10.8x0，其根x1.25的模大于1，故满足平稳性条件，该模型平稳。

其MA特征方程为：10.4x0，其根x2.5的模大于1，故满足可逆性条件。该模型可逆。

综上，该模型平稳可逆。

0.80.645.6x1,2（b) 其AR特征方程为： 10.8x1.4x20，其根为，故其根的模为21.45.6小于1，从而不满足平稳性条件。该模型是非平稳的。 21.4第 3 页（共 4 页）

MA特征方程为：11.6x0.5x20，其有一根不满足可逆性条件。所以该模型不可逆。 综上，该模型非平稳且不可逆。

x1.62.562的模小于1，故20.5六、计算题（每小题5分，共10分）

某AR模型的AR特征多项式如下：

(11.7x0.7x2)(10.8x12) （1) 写出此模型的具体表达式。 （2) 此模型是平稳的吗?为什么？ 解：（1）该模型为一个季节ARIMA模型，其模型的具体表达式是（其中B为延迟算子） (11.7B0.7B2)(10.8B12)Ytet

或者 Yt1.7Yt10.7Yt20.8Yt121.36Yt130.56Yt14et。

（2）该模型是非平稳的，因为其AR特征方程(11.7x0.7x2)(10.8x12)=0有一根x1的模小于等于1，故不满足平稳性条件。

七、计算题（此题10分）

设有如下AR(2)过程： Yt0.7Yt10.1Yt2et，et为零均值方差为 1 的白噪声序列。 (a) 写出该过程的Yule-Walker方程，并由此解出1,2；（6分） (b) 求Yt的方差。（4分）

解答：（a)其Yule-Walker方程（见课本P55公式（4.3.30））为:

0.70.111 

0.70.112719,2。 1155(b）由P55公式（4.3.31）得

解之得 1e21162。 Var(Yt)010.710.1210.770.119275

1155第 4 页（共 4 页）