一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.被称为宋元数学四大家的南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中记载了求解三角形面积的公式，如
图是利用该公式设计的程序框图，则输出的*的值为（
）
A. 4
B. 5
C. 6 D. 7
2. 已知集合A = {（x,y）| y = x + l, xeT?},集合B = {（x,y'）\\y = x1, xeA},则集合A B的子集
个数为（
）
B. 2
C. 3
D. 4
A. 1
3. 若执行如图所示的程序框图，输出S的值为M，则输入〃的值是（）
A. 7
4
B. 6 C. 5
A
D. 4
-设集合』={(x1.x2,x3,xi,x5)\\x. e (-1,0,1), i = 1,2,3,4,5}, 那么集合 中满足条件
''1 I电+ |以+|电+凡| +区1 3〃的元素的个数为() A. 60
B. 100 C. 120 D. 130
5.已知函数 y = /(%)是奇函数，当 xe[O,l]时，/'(x) = O ,当工＞1 时，f(x) = log2(x-l),则/'(旦一1)＜。
的解集时(
)
B. (-1,0) (2,3)
C. (2,3)
6
D. (-«),-3) 0(2,3)
-已知命题，_)： 3x0 > 0*使得x0 + 2>-^ < 1*则-p为
B
A. vv 0，总有(x + 2)ex >1 - 3x0 > 0* 使得(x0 + 2)ex» < 1
C. “>o,总有(x 4- 2)ex > 1
D- 3x0 < 0* 使得(x0 + 2)ex» < 1
7.已知函数f(x) = x+aex,贝0 ua＞-1\"是“曲线y = f(x)存在垂直于直线x + 2y = 0的切线”的 () A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
)
8.设a,b,c为ABC中的三边长，且a + b + c^l,则a2 + b~ + c2 + 4abc的取值范围是(
--13 1) 13 r
A. _2752_ B. _2752；
C. < 13 r
；
<272_
9.已知n元均值不等式为：[(方+易+ +七)2
D.
—
,其中x1?x2, ,x“均为正数，已知球
)
的半径为R,利用n元均值不等式求得球的内接正四棱锥的体积的最大值为(
A. 一R'
81
64 *
B. —R3
27
8
4 f C. -R
9
D. -R
3
)
If
10.已知函数/(x)=
log2(X + l)|,XG(-l,3) 4 ，贝!1函数g(x) = /[/(%)]-1的零点个数为( ,,xe[3,+oo) lx-1 B. 3
C. 4
D. 6
A. 1
11.已知集合P = {xe
/?|1 C. [1,2) D. (-CO,-2]O[1,-H») A. [2,3] 12. 巳知a = O.303» A nt)*, C = 1.3°3,则它们的大小关系是 A. c>a>b B. c>b>a C. b>c>a D. a>b>c 二、 填空题：(本题共4个小题，每小题4分，共16分) 13. 课本中，在形如(a + b)n = Cy+Clan'lb + ... C；,an~rbr + ... C；bn 的展开式中，我们把 C；(r = 0,l,2,-, «))叫做二项式系数，类似地在 (1 + X + r )\"=况 + D\\x + D；x2 + ... 三项式系数，则必山<20,5 - D盘• + 以¥“ 的展开式中，我们把以(r = 0,1,2,-, 2n)叫做 +风15 • C方-••• +(-1)* D^)15+...-D^ • C票的值为 14. 若C* = C：,则X的值是 15. 已知复数 z 满足(l + 2z)z = 4 + 3z,贝!j|z|=. C. 1 16. 在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆周长为G，外接圆周长为G，则\"=玉推 广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCZ)的内切球表面积为外接球表面积为$2,则 A = 52 ------------------ ' 三、 解答题：(本题共6个小题，共74分) 17. (本题共12分) (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD是。O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE. (2)设AD不是。。的直径，AD的中点为M,且MB=MC,证明：△ ADE为等边三角形. 18. (本题共12分) 已知函数/(x) = | 2x+l| + |4^-5|的最小值为M. (1) 求 M； (2) 若正实数。，b, c满足Q+》+ C = 2肱，求：(。+ 1)2+0 —2)2+(c —3尸的最小值. 19. (本题共12分) 已知函数/(x) = |2x-«|+|x-l|, acR. （1） （2） 若不等式/（%）<2-|^-1|有解，求实数a的取值范围； 当。<2时，函数/'（X）的最小值为3,求实数a的值. 20. （本题共12分） 已知等比数列｛an｝的前n项和为Sn,且满足2& = 2\"+i +m（m e R）. （1）求数列｛%｝的通项公式； ②若数列也｝满足如=（2〃 + 1）1\"（弓.项,求数列但｝的前〃项和K. 21. （本题共12分） 设a,b^R,已知％,柘为关于x的二次方程工2+2徐+人=0两个不同的虚根， （1） （2） 若b = 2,求实数。的取值范围； 若 -x2| - 2, - + ^- = 1,求实数“，D 的值. 22. （本题共14分） 已知集合人=｛一4亍 _（2a + i）x + （a —I）（a + 2）vo\" B = < x >l,xeR>,若 A^JB = B,求实数 x 2 \"的取值范围. 参考答案 一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1. B 【解析】 【分析】 模拟程序运行，依次计算可得所求结果 【详解】 当 3 = 4, b = 3 9 c = 2时，S = v 12, k = 2； 4 当 a = 5 9 b = 4, c = 3时，S = 6 < 12, k = 3 ； Z1 当 a = 6, b = 5 , c=4时，S = — < 12 ,左=4； 当3 = 7, b = 69 。= 5 时，S = 6A/^>12, k = 5 ； 故选B 【点睛】 本题考查程序运算的结果，考查运算能力，需注意人=上+ 1所在位置 2. D 【解析】 【分析】 因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有22=4个. 【详解】 由题意得，直线y = x+l与抛物线y = x2有2个交点，故A 3的子集有4个. 【点睛】 本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题. 3. C 【解析】 【分析】 将所有的算法循环步骤列举出来，得出，=5不满足条件，1 = 6满足条件，可得出〃的取值范围，从而可 得出正确的选项. 【详解】 S = 0 -------- = — , , = 1 + 1 = 2； 1x3 3 112 ，=2>〃不满足，执行第二次循环，5=- + —- = -, z = 2+l = 3； 3 3x5 5 2 13 ，=3>〃不满足，执行第三次循环，S= 一+——=一,, = 3+1 = 4； 5 5x7 7 3 1 4 ，=4>〃不满足，执行第四次循环，S= 一+「； = —, z=4+l = 5； 7 7x9 9 4 1 5 ，=5>〃不满足，执行第五次循环，S = 一+——=—,, = 5+1 = 6； 9 9x11 11 ，=6>〃满足，跳出循环体，输出S的值为所以，〃的取值范围是5 本题考查循环结构框图的条件的求法，解题时要将算法的每一步列举出来，结合算法循环求出输入值的取 值范围，考查分析问题和推理能力，属于中等题. 4. D 【解析】 【分析】 根据题意，、.中取0的个数为2,3,4.根据这个情况分类计算再相加得到答案. 【详解】 集合A中满足条件'、］|xj + |\"+叩+|心| +的3“ 中取0的个数为2,3,4. 则集合个数为:c； x 2, + C； X 2? + C； x 2】=130 故答案选D 【点睛】 本题考查了排列组合的应用，根据、中取0的个数分类是解题的关键. 5. A 【解析】 【分析】 对X-1的范围分类讨论，利用已知及函数y = y(x)是奇函数即可求得/(X-1)的表达式，解不等式 /(%-1)< 0 即可. 【详解】 因为函数y = /(%)是奇函数，且当xe［O,l］时，/(%) = 0 所以当一—1<1,即：0<%<2fft, /(%-1) = 0, 当%-1>1,即：x>2时，f(x—1)<0可化为： log2(%-2)<0,解得：2 /\"(x-l) = _/\"(1_工)=-log2(7)< 0，解得：x<—1 所以/(x-l)< 0 的解集是(1) (2,3) 故选A 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性应用，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题. 6. C 【解析】 【分析】 原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案 【详解】 .命题p：北0 > 0, 使得(Xo + 2jex\" < 1 「p： vx > 0,总有3 + 2)eA > 1 故选厂 【点睛】 本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题. 7. B 【解析】 【分析】 先根据“曲线y = /(x)存在垂直于直线x + 2y = 0的切线”求。的范围，再利用充要条件的定义判断充 要性. 【详解】 由题得切线的斜率为2, 所以 f (尤)—1 += 2,二 ae — 1,二 a — — > 0 x因为[a\\a> -1} =>(«|« >0}, 所以“a>—1\"是“曲线y = f(x)存在垂直于直线x + 2y = 0的切线”的必要不充分条件. 故答案为B 8. B 【解析】 【分析】 由 f(a,b,c)^a+b+c +4abc,则 /(«, Z?, c) = 1 - 2ab 一 2c(a + b~) + 4abc,再根据三角形边长可以证 222得再利用不等式和已知可得沥〈(号)2=卫于1,进而得到 2 1 O 1 f(aM>c--c+-9再利用导数求得函数的单调性，求得函数的最小值，即可求解. 【详解】 由题意，记f(a,b,c) = a +b + c-^-4abc,又由a+b + c = l, 则 f(a, b,c) = l - 2ab - 2c(a + Z?) + 4abc = 2(c + ab) - 2ab - 2(ab + c) +1 22222232=2[c + 1 9 0,0 1 1 1a - —] -2a 甘 +— = 4(c-~)(~, 1 1 1 又a,b,c为4ABC的三边长, 所以 1 — 2。>0,1 — 2方>0,1 —2c>0,所以 f(a,b,c)<^, 另一方面 f(a,b,c) = k- 2ab(l - 2c) — 2c(l- c), 由于0>0,。>。，所以 ab M 又 1 —2c>0, 所以/(a,Z7,c)>l-2x(1~C ) )2 =(1 了 , (1-2C)-2C(1-C) = C3-|C2+|, 不妨设。2Z?2c,且a,b,c为MBC的三边长，所以0 ,= 13 勇，\\ 1 、„ J 1 1 4x2 1 当c = E时，可得从而— 故选B. 【点睛】 本题主要考查了解三角形，综合了函数和不等式的综合应用，以及基本不等式和导数的应用，属于综合性 较强的题，难度较大，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于难题. 9. A 【解析】 【分析】 先根据球和正四棱锥的内接关系求出半径与边长的关系式，写出体积公式，利用n元均值不等式可求最大 值. 【详解】 设正四棱锥的底面边长为。，高为人，则有皿—时+专心〜,解得a=4hR-2h\\ 正四棱锥的体积 214/?-2方 + 方 + 方64 4 33 V =-ah = -(4hR — 2护)h = — (4R — 2h)hh <-( ------------ --- —) = —7?,当且仅当 h = -R时取到 3 3 3 3 3 81 3 71 1 1 最大值，故选A. 【点睛】 本题主要考查四棱锥体积的求解和n元均值不等式的应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 10. C 【解析】 【分析】 令g(x) = /■[/'3)]T = °，可得/■[/■\")] = 1，解方程g = 1，结合函数f⑴的图象，可求出答案• 【详解】 令g(x) = f[f(x)]-l = O,则/■[/■(>)] = 1, 令/(x) = l,^|log2(x+l)| = l,解得X = 1 或% = -|,符合券(-1,3)；若二=1,解得x = 5,符合 2 % — 1 X G [3, +00). 作出函数/'⑴的图象，如下图，xG(-1,0] 时，f(x)c(0,2]. 结合图象，若/(%) = 1,有3个解;若/(%) = -|，无解;若/(%) = 5,有1个解. 所以函数g(x) = /[/(x)]-l的零点个数为4个. 故选:C. /(x) e[0, +O0)； xe(o,3)0t, /(x)e(0,2)； xe[3,+oo) 本题考查分段函数的性质，考查了函数的零点，考查了学生的推理能力,属于中档题. 11. B 【解析】 有由题意可得：CRQ = | —2 < x< 2}, 则 Pu(4Q)= ( -2, 3 ]. 本题选择B选项. 12. A 【解析】 由指数函数 > = 0.3'的性质可得 0<0.313 <0.3°'3 <1，而 1.303 >1,因此 1.30'3 >0.303 >0.3* \\ 即 c>a>bo 选A。 二、填空题：(本题共4个小题，每小题4分，共16分) 13. 0 根据(1 +》+》2广5(》_］严=(/ —1)2。15的等式两边的严项的系数相同，从而求得要求式子的值. 【详解】 (1 + X + 子).(X _ 1产5 =(码］5 + 以)15* + ^2015%2 + . . • +。盘5对 + . . . + £>露七4030-1 + £)^° 4030 % ) •(巩5 •严-盆5小皿+ C方•严-45产+... + C露。U幻， 其中必暗系数为 码 15 •驾)15 - ^2015 ' GO15 + 庆015 - 2015 -…+(T)\"以015«)15 + …-庆' 2015 , C C (1 + X + y 广5.3 — 1)2015 =3一1广5, 而二项式J」一1广5的通项公式⑶=q015 .代广J, 因为2015不是3的倍数，所以(x3-l)2015的展开式中没有J®项，由代数式恒成立可得 码 15 •驾)15 - ^2015 ' GO15 + 庆015 - 2015 -…+(T)\"以015«)15 + • • • -切3； - <^2015 = > C 0 故答案为：0. 【点睛】 本题考查二项式定理，考查学生的分析能力和理解能力，关键在于构造(l + x + .v)2015-(x-l)2015并分析 其展开式，是一道难题. 14. 2或7 【解析】 【分析】 由组合数的性质，可得x = 7或x+7=9,求解即可. 【详解】 C* = C；, X = 7 或 x+7 = 9,解得 X = 7 或 X = 2, 故答案为2或7. 【点睛】 本题考查组合与组合数公式，属于基础题. 组合数的基本性质有： ① Cnm=Cnn-m；② C“J = C： + C,妇;③ rC； = nCn_r}. 15. V5 【解析】 求出复数z = 2-Z,代入模的计算公式得|Z|=A/5. 【详解】 4 + 3/ 由(l + 2/)z = 4 + 3/nz = -------------- = 2-i, 7 ' l + 2z 所以 I z |= Ji + F = A/S . 2【点睛】 本题考查复数的四则运算及模的计算，属于基础题. 1 16. - 9 【解析】 分析：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的 半径之比，即可求得结论. 详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因 1 S. 1 为正四面体的外接球和内切球的半径之比是3，•••苛=6,故答案为 1 点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的 类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比. 三、解答题：（本题共6个小题，共74分） 17. （1）见解析；（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）由四点共圆性质可得ZD=ZCBE.再结合条件/CBE=ZE,得证（2）由等腰三角形性质得OM±AD, 即得AD〃BC,因此ZA=ZCBE=ZE.而ZD=ZE,所以AADE为等边三角形. 试题解析：解：’ ⑴由题设知A, B, C, D四点共圆，所以ZD=ZCBE. 由已知得ZCBE=ZE,故ZD=ZE. ⑵设BC的中点为N,连结MN,则由MB=MC知MN±BC,故0在直线MN上.又AD不是0 0的直径,M为AD的中 点，故 0M±AD, 即 MN±AD,所以 AD〃BC,故ZA^ZCBE. 又ZCBE=ZE,故ZA=ZE.由⑴知，ZD=ZE,所以AADE为等边三角形. 7 18. (1) M =- (2) 3. 2 【分析】 将绝对值函数写成分段函数形式，分别求出各段的最小值，最小的即为函数的最小值。 由（1）知a+b + c = 7,直接利用公式：平方平均数2算数平均数，即可解 出最小值。 【详解】 ,，, 1 -6% + 4, xV -— -2x + 6,-—<%< — （1）/■（》）= < 2 4 6x-4,x>~ 如图所示 4 /. M 7 2 (2)由(1)知 a + Z? + c = 7 [(「+ 1) + (5-2) + (c-3)「 =(a + 1尸 + (力一2)2 + (c — 3尸 + 2(a +1)0-2) + 2(a + l)(c-3) + 2(b — 2)(c — 3) [(a + b + c) — 4]2 M3[(a + 1)2 +0 — 2)2 +(c —3尸] [7-4]2 <3[(a +1)2 +(b-2)2 + (c — 3)2] (a +1)2 +(b-2)2 +(C-3) 2 >3 当且仅当a = 0, Z> = 3 c = 4是值最小 (a+ 1沪 + (Z? — 2)2 + (c —3)~ 的最小值为 3. 【点睛】 本题考查绝对值函数及平方平均数与算数平均数的大小关系，属于基础题. 【解析】 分析：(1)由绝对值的几何意义知|x-^|+|x-l|>|^-l|,由不等式f(x)<2-|x-HW，可得 即可求实数a的取值范围；(2)当a<2时，画出函数的图像，利用函数f (x)的最小值为3,求实数a 的值. 详解： (1)由题/(x)<2-[x-l|,即为 X-? +|x-l| r a — -3x + 61 +1(X < y) I /(x)= < x-a+l(^ 如图可知/'(X)在(_气?)单调递减，在[%+8)单调递增， f(X)!»£ = = — y + 1 = 3 > 得a = -(合题意)，艮Pa = —4 . 点睛：这个题目考查了含有绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题; 一般对于解含有多个绝对值的不等式，根据零点分区间，将绝对值去掉，分段解不等式即可. 20. (1) an = 2\"i (2) ---------------- 2〃 + 1 【解析】 ，、 , 1 分析：(1)利用项和公式求出数列｛%,｝的通项公式.(2)先化简得々=(2〃 + I)(2〃 — 1)'再利用裂项相消 法求数列｛々｝的前〃项和K. 详解：(1)由 25„ = 2混1 + m(m e R)得 n1=2\" + m(m e R), 当 n>2 时，2an=2Sn-2Sn_x=T ,即 an =2~ (n>2), 又4=5=2+号，当m = -2时符合上式，所以通项公式为为 = 2\"七 ⑵由(1)可知 log2 («„a„+]) = log2(2~'2 ) = 2n-lnn1 -If 1 _________ （2n + l）（2n-l） 2（2〃-1 2n + l） ••L =b\\ +b2+... + bn =— 2 2 3 1 —+ ... +二 2〃一1 1 2〃 + l n 2〃 + 点睛：(1)本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和 计算能力.(2)类似(其中｛弓｝是各项不为零的等差数列，。为常数)的数列、部分无理数列等. Es J 用裂项相消法求和. 21. (1) a c (―； (2) a = ±A/3 ,b — 4 【解析】 【分析】 ⑴由题可得二次函数y = x+2ax + b的判别式小于0,列式求解即可. 1(2)利用韦达定理代入幅-易| = 2可求得\"，的关系,再化简:+亍T利用韦达定理表示，换成\"，力的形 式进行求解即可. 【详解】 ⑴由题二次函数y = x-+2ax + 2的判别式小于0,故4疽—8 <0,解得ac侦&心 (2)由为关于x的二次方程工2+2徐+人=0两个不同的虚根可得-% +易=-2。，X]A-2 =b，又 |无―对=2则 + %2）2 — 4X,X2 | = 2,得 \\la2 —b = 1,因为 （叫+赴）2—2叫易 4/ 故。=±0人=4 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程的复数根的性质，注意幅-易| = 2的意义为X] -x2的模长为2,故 %-》2=±2z•.属于中等题型. a2 -Z? vO,故a2 一b = —1，又 =1=> = 3,4a = 3b, b 22. (3,5] x2 x1 a2 -b = -1 4a2 = 3b a = 故< +A/3 化简集合A,B,由A^JB = B知即可求解. 【详解】 5 由— 21,得 J<0, Y-7 x — 2 x — 2 .•.8 =(2,7] A = [Q — 1,3 + 2] 61 + 2 < 7 .•.IE(3,5] a — 1〉2 【点睛】 本题主要考查了集合的交集，集合的子集，属于中档题. 2019-2020高二下数学期末模拟试卷 一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 已知复数z满足（l-z）z = l + 3z,则复数z在复平面内对应的点为（ A. 2. X2 B. (2,-1) C.(2,1) D. + x+y）5的展开式中，疽、3的系数为（ B. 20 C. 30 D. 60 A. 10 3. 在x（l + x）6的展开式中，含尤3项的系数为（ A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 4. 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了 15次和20次试验，并且 利用线性回归方法，求得回归直线为11和12,已知在两人的试验中发现对变量X的观测数据的平均值恰好 相等，都为s,对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t,那么下列说法正确的是（） A. 直线11和直线12有交点（S, t） C. 直线11和直线12必定重合 B.直线11和直线12相交，但交点未必是点（s, t） D.直线h和直线12由于斜率相等，所以必定平行 5. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，4人中既有男生又有女生的不同选法共有（ 6. 80种 A. B. 100种 若复数z满足(l-2z)z = -2-z,则|z + l —Z|=(). A. 7. 函数 C. 120种 D. 126种 在二‘I上单调递增，则实数G的取值范围是（ ） f（x） = fax3 — x2 + a ， A. a>l B, a > 1 c- a> 2 D. a>2 能被2整除的数的个数为（ 8. 在0、1、2、3、4、5这6个数字组成的没有重复数字的六位数中, A. 216 B. 288 x>0 x+2y>3, 9. 若X，丁满足约束条件< 2x + y <3 则z = x —y的最小值是（ C. 312 D. 360 ） A. B. -3 3 C.— 2 D. 3 10.已知b, c是不全相等的正数，则下列命题正确的个数为（） ®(6i-Z?)2 + (/?-c)2 + (c-^)2 =0； ② a>b与及\"c中至少有一个成立; ③ iwc, b〃c, al人不能同时成立. II.函数为)壬的图象为() 12 -已知】为虚数单位’若复数z = m(q)的实部\"则+ < > A. 5 B. 7? C. V13 D. 13 二、填空题：(本题共4个小题，每小题4分，共16分) 13.已知函数y =：的图象的对称中心为(0,0),函数y = | + -^的图象的对称中心为]—4，°]，函数 y = -+^—+^—的图象的对称中心为(—1,0) .由此推测，函数^ =三旦+三彳+ X X ~1~ 1 JC ~I- Z X X ~I- J. x + 2020心的 + --------- 的图 象的对称中心为. x + 2019 14.甲、乙两位射击爱好者在某次射击比赛中各射靶5次，命中的环数分别为：甲：7,8,7,4,9；乙: 9,5,7,8,6,则射击更稳 定的爱好者成绩的方差为 15.如图是一个算法流程图，若输入值%e[-l,2],则输出值为2的概率为 X1 16,已知函数/(%) = 一，g(x) = x+l, /z(x) = < 4 三、解答题：(本题共6个小题，共74分) 17.(本题共12分) 知函数 /(x) = |2x+4| +|2x-a|. /(%),/(%)> g(x) 、：、 、,当xe[-2,2]时,的值域为 g(x),f(x) (2) 已知a>-2, g(x) = x2 + 2ax + ^-,若对于券 ~1~，都有/(x)>g(x)成立，求。的取值范围. 18.(本题共12分) 命题F：函数f(x) = 7x2-(7?7 + 13)x-7?7 - 2的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上；命题Q：函数 g(x) = |x3-(/77 + 4).v+x有极值.若命题F,。为真命题的实数秫的取值集合分别记为A, B. (1) 求集合A, B； (2) 若命题“尸且Q”为假命题，求实数〃？的取值范围. 19. (本题共12分) 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4,乙 袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球， (1) 若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2) 若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功.某人第一次左手先取两球, 第二次右手再取 两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望. 20. (本题共12分) x=t+2 在平面直角坐标系xQv中，直线Z的参数方程为 ° . . U为参数)，将圆.r + y2 = 1上每一个点的 〔\"3—2 横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C. (1) 求直线/的普通方程及曲线C的参数方程； (2) 设点尸在直线Z上，点g在曲线C上，求IPQI的最小值及此时点Q的直角坐标. 21. (本题共12分) 已知数列的前〃项和为S\且％ = 8 , Sn = —n — 1. (1) 求数列｛%｝的通项公式； (2) 2x3n 求数列 ------- 的前〃项和为T,,. 0知J 22. (本题共14分) 已知函数 y(x) = lnx —a]l —](\"cR) (1) 若当x>l时，f(x)> 0恒成立，求实数。的取值范围. (2) 设F(x) = 3 — 3x[33)何=2.71828 ),求证：当。=1 时，〈空兰. 参考答案 一、选择题：(本题共12个小题，每小题5分，共60分) 1. A 【解析】 【分析】 利用复数除法运算，化简z为。+衍的形式，由此求得z对应的点的坐标. 【详解】 l + 3i (l + 3i)(l + i) -2 + 4i . , 、 依题意z= ~ =—~~ =—-— = -l + 2i,对应的点为(-1,2),故选A. 1-1 (l-i)(l + i) 2 ' 7 【点睛】 本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标，属于基础题. 2. B 【解析】 【分析】 将二项式表示为(子+ x + y)5 = \"2 * x) + yj ,利用二项展开式通项.(亍+工)5-，* ,可得出「= 3 , 再利用完全平方公式计算出(x2 + %)\"展开式中X，的系数，乘以C；可得出结果. 【详解】 Q(X2 + X+V)5 =[(X2+X)+V]5,其展开式通项为顷笆+瑚'V，由题意可得r = 3, 此时所求项为 Cl •(.? + X)2 V3 = Cl • (X 4 +2X3 + 舟)y3 , 因此，(r+x+v)5的展开式中, 3 的系数为2C； =2x10 = 20,故选B. 【点睛】 本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运 算求解能力，属于中等题. 3. B 【解析】 分析：利用二项展开式的通项公式求出(l + x)6的第r + 1项，令工的指数为2求出展开式中f 的系数.然 后求解即可. 详解：(1 + %)66展开式中通项Tr+i = C6'x, 令广=2可得，7； = Qx- =15x2 , r2(l + x)6展开式中x2亍项的系数为1, 在X（l + X）6的展开式中，含/项的系数为：1. 故选：B. 点睛：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用.牢记公式是基础，计算准确是关键. 4. A 【解析】 【分析】 根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。 【详解】 由于回归直线必过样本的数据中心点，则回归直线\"和回归直线匕都过点（S'\"，做了两次试验，两条回 归直线的斜率没有必然的联系，若斜率不相等，则两回归直线必交于点（s,f）,若斜率相等，则两回归直 线重合，所以，A选项正确，B、 C、D选项错误，故选：A. 【点睛】 本题考查回归直线的性质，考查“回归直线过样本数据的中心点\"这个结论，同时也要抓住回归直线的斜 率来理解，考查分析理解能力，属于基础题。 5. C 【解析】 【分析】 在没有任何限制的情况下减去全是男生和全是女生的选法种数，可得出所求结果. 【详解】 全是男生的选法种数为C； =5种，全是女生的选法种数为=1种， 因此，4人中既有男生又有女生的不同选法为5-1 = 120种，故选C. 【点睛】 本题考查排列组合问题，可以利用分类讨论来求解，本题的关键在于利用间接法来求解，可避免分类讨论, 考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6. D 【解析】 【分析】 先解出复数z,求得z + 1-i,然后计算其模长即可. 【详解】 -2-z （-2-z）（l + 2z） 解：因为（1-2贝=-27,所以2 =商=（1_2,.）（1 + 2/）=一' / 、 所以 z + l-z = l-2z 所以 |z+ 1 —z［ = +(—2)2 = y/5 故选D. 【点睛】 本题考查了复数的综合运算，复数的模长，属于基础题. 7. D 【解析】 【分析】 根据.一、单调递增可知十、..二「在上恒成立，采用分离变量的方法可知 一 ， 得到结果. 【详解】 由题意得：r(x)= a.V_2x 对在［1,2］上单调递增等价于广(x) > 0在［1,2］上恒成立 : ，、，求出最大值即可 a > (j)g BP： ax2-2x>Q 2X 2 •• a > —=- X： X 当X e ［1,2］时，2 , a 2 2 本题正确选项：° 【点睛】 本题考查根据函数在区间上的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为恒成立问题，从而利 用分离变量的方式来进行求解. 8. C 【解析】 【分析】 根据能被2整除，可知为偶数.最高位不能为0,可分类讨论末位数字，即可得总个数. 【详解】 由能够被2整除，可知该六位数为偶数，根据末位情况，分两种情况讨论： 当末位数字为0时，其余五个数为任意全排列，即有出种； 当末位数字为2或4时，最高位从剩余四个非零数字安排，其余四个数位全排列，则有援C：力， 综上可知，共有善+C抵尤=5x4x3x2x1 + 2x4x4x3x2x1 = 120 + 192 = 312个. 故选：C. 【点睛】 本题考查了排列组合的简单应用，分类分步计数原理的应用，属于基础题. 9. B 【解析】 可行域为一个三角形ABC及其内部,其中A(0,-),3(0,3), C(l,l),所以直线z = x— y过点3时取最小值 3 -3,选 B. 10. C 【解析】 【分析】 ① 假设等式成立，由其推出a、b、c的关系，判断与题干是否相符； ② 假设其全部不成立，由此判断是否存在符合条件的数； ③ 举例即可说明其是否能够同时成立. 【详解】 对①，假设(a-b) 2+ (b-c) 2+ (c-a) 2=0^a=b=c与已知a、b> c是不全相等的正数矛盾，.•.①正确； 对②，假设都不成立，这样的数a、b不存在，.•.②正确； 对③，举例a=l, b=2, c=3, a尹c, b尹c, a尹b能同时成立，③不正确. 故选C. 【点睛】 本题考查命题真假的判断，利用反证法、分析法等方式即可证明，有时运用举例说明的方式更快捷. 11. A 【解析】 【分析】 利用导数研究函数的单调性，根据单调性，对比选项中的函数图象，从而可得结果. 【详解】 因为/'(x)=-7，所以 f'W =—, X<1 时，/'(X)>O, /(A-) = ^ 在(F,l)上递增； x>l时,/'(x)<0, /(A-) = ^在(1,+8)上递减， 只有选项A符合题意，故选A. 【点睛】 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向， 该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手， 根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及8时函数图象 的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 12. C 【解析】 分析：利用复数的除法运算得到z,进的得到|z|. 1 — ui/ 详解：由题复数\"切(q)的实部为-2, \\ 1 — cii (1 ——Z) 1 —♦ —(\" + 1)Z z =云=扁金十一… 1 — CL — _ … 1 —。— | I /— ---=—2,】=5, 则 z = ---------------- - ------- = —2 — 3i,|z| = A/13. 故选C. 点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题. 二、填空题：(本题共4个小题，每小题4分，共16分) 13. 半 2020 【解析】 【分析】 由已知可归纳推测出y=- + -^— + X x + 1 1 + ------- x + n 11 的对称中心为(--,0),再由函数平移可得 +——-——的对称中心. x+1 x+2 y — - 1 ------------- F X X + 1 【详解】 x + 2020 = 2020 + - + -^— + + ------------- x + 2019 x x + 1 x + 2019 1 由题意，题中所涉及的函数的对称中心的横坐标依次为0,-1,,即0, 由此推测y = —I ------- + H ------------ 的对称中心为(―=,°)・ I 2 2 2 2 2 1 又\" -------- + ------ + + ------------ = 2020 + — + ------ + x x + 1 x + 2019 x x + 1 (2019 \\ 所以其对称中心为I -一—, 2020 1. 半 2020 x x + 1 x + n x + 1 x + 2 x + 2020 _ _ _ _ 1 1 H ------------ x + 2019 故答案为: 【点睛】 本题考查归纳与推理，涉及到函数的对称中心的问题，是一道中档题. 14. 2 【解析】 【分析】 分别计算出甲，乙的方差，较小的更加稳定，故为答案. 根据题意, ---------------- =/， —7+8+7+4+9 「 x甲= -~ 【点睛】 2j77)2+(87)2+(7+(47)2+(97)2 ~/~~=r 同理e 字，故更穗定的为 乙, 方差为2. 本题主要考查统计量方差的计算，难度不大. 2 15. — 3 【解析】 分析：先根据流程图确定分段函数解析式，再求输出值为2的对应区间，最后根据几何概型概率公式求结 果. 1, x < 0 详解：因为y= c \"所以输出值为2的对应区间为[0,2], 2, x > 0 因此输出值为2的概率为 2 — (—1) J 点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解. (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出 变量，在坐标系中表示所需要的区域. 16. [3-2^2,3]. 【解析】 【分析】 2 首先根据题设条件，计算f(x)-g(x) = (X + 1),由/(x)>g(x)结合可xe[-2,2]求得 -2<.V<2-2A/2 >由y(x) f(x)-g(x)=彳-(x + 1)，且XC[-2,2], 2 当/(x)>g(x),则 j —(x + l)2O,解得-2 当 y(x) —,-2 函数A(x)在［-2,2 - 2 讪=2-2A/2+1 = 3-2A/2, /心)叩=2 + 1 = 3 故力3)的值域为［3-2^,3］. 故答案为：［3 —2j^,3］ 【点睛】 本题是一道考查不等式的题目，考查了分段函数的值域，解题的关键是化简解析式，属于基础题. 三、解答题：(本题共6个小题，共74分) 5 7 17. (1) (%| x< ——或xZR .⑵［一仍,京. 【解析】 分析：⑴当a = 6时，对x分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得 结果；(2)当。>-2, /(x) = 2x+4-(2x-a) = 4+a. 所以/(x)>g(x)，即 A+a>g(x)又g(x) = x2 + 的最大值必为g(-1),g仲］之一. 5 9 , 11 C 4 + a 2 ------ 2a 4 所以 / 、5 ， 7 4 + a>—a~ + — 即< 〔4 3a>-- 4 4 ,进而可得结果. — a2-a-—<0 4 4 详解：(1)当a = 6时, /(x) = |2x+4| + |2x-6|, /(x)212等价于|尤+2| + |工一3| 26. 2x -1, x > 3 因为|尤 + 2| + |尤一3〔 = < 5,—. —2x +1, x < —2 所以 x>3 -2 < A- < 3 或］ c 1 /或< ［2x-l>6 ［5>6 7 5 解得一或x<——. 2 2 所以解集为■或X x < —2 -2x + l>6 (2)当。>一2,且xe -1,-| 时，f(X)= 2X+4-(2X-0)= 4 + Q. 所以/(x)>g(x),即4+a>g(x).又g (x) = x + 2ax + ^-的最大值必为g (-1), g侦］之一. 2, 11 c 4 + 0 2 ----- 2a 4 所以 / 、5 ， 7 4 + a>—a~ + — 解得——<«<-. 即< 〔4 3a>-- 4 4 — a2-a-—<0 5 4 9 5 4 12 '5 9 所以a的取值范围为-仍，泣 点睛：绝对值不等式的常见解法： ① 利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ② 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③ 通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 18. (1) A = [m\\~4 【解析】 【分析】 (1) 通过函数的零点，求解〃？的范围；利用函数的极值求出〃z的范围，即可. (2) 利用复合函数的真假推出两个命题的真假关系，然后求解即可. 【详解】 (1)命题户：函数/(x)=7x2-(m + 13)x-m-2的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上； /(0) = -m-2 > 0 可得：< /(I) = 7-m-13-m-2<0 ,解得me(^,O) /(2) = 28 — 2m — 26 —m —2>0 命题Q ：函数g(x) = ：r _+ 4)『+ X有极值，g，(x)= r _ 2(z„ + 4).X +1由2个不相等的实数根, 所以4(〃z + 4)2— 4〉0,可得m<-5或m>—3. 命题P,。为真命题的实数秫的取值集合分别记为A, B. 所以集合 A = {m\\~^ (2)命题“尸且Q”为假命题，可知两个命题至少1个是假命题， 当且Q\"为真命题时，实数衍的取值范围为集合M={m|一3<口<0}, ... “尸且Q”为假命题时，实数〃？的取值范围为= {切函，一3或 本题考查命题的真假的判断与应用，函数的零点以及函数的导数的应用，考查计算能力. 2 19. (1) -； (1)分布列详见解析，E(X) = —. 3 【解析】 19 36 试题分析：本题主要考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解 决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在总数中去掉左右手各取一球，所取颜色相同的情况，即 所取颜色均为红色，均为黑色、均为白色的情况；第二问，先分别求出左右手所取的两球颜色相同的概率, 再利用独立事件计算两次取球的获得成功的次数为次、1次、1次的概率，列出分布列，利用 0 +XZP: + + 计算数学期望. 试题解析：(1)设事件且为“两手所取的球不同色\"，则尹(,4) = 1-- - - - T =二 依题意，x的可能取值为o, 1, i. 左手所取的两球颜色相同的概率为 CRY =— 9x9 3 C： 右手所取的两球颜色相同的概率为G-q+c：18 = 1 C： 4 P(X = 0)= 1 HE 13 3 13 —X—=— 18 4 24 5 1 ； 1 7 P(X = 1)=—x(l-l)+(l-—)x-=— 18 4 18 4 18 s 1 5 P(X = 2) = —x± = — 18 4 72 所以X的分布列为： X 0 1 1 P 13 24 £ 8画项 min 72 13 7 5 19 £(JQ = 0x—+ lx —+2x—=— 24 18 72 36 考点：概率、离散型随机变量的分布列和数学期望. 2。•⑴3x-,-8 = 0, [”了二(。为参数)⑵ [y = 2sm0 【解析】 【分析】 巫 时if 10 13 13 (1)运用消参求出直线Z的普通方程，解出曲线C的普通方程，然后转化为参数方程 (2)转化为点到直线的距离，运用参数方程进行求解 【详解】 x-2 = t （1）由< [y = 3t-2 [y + 2 = 3t ,消元得3x—y—8 = 0 得 x = t + 2 设(历,乂)为圆上的点，在已知变换下变为C上的点(x,y),依题意得 尤=尤1 < 由%! + yf =1,得亍+冒=1 2 c V 2 3 = cosO .•./+匕=1化为参数方程为 （。为参数） 4 [y = 2sm3 （2）由题意，|P0最小值即椭圆上点。到直线/距离的最小值 设Q（cosQ2sin。），』」3cos。-2sin。-8| |而海泌 + 列（其中。顽=二，sin妇土） Vo Vid 53 J13 ,此时cos（° + ©） = L 即0 +（/）= Ikn （keZ） ：.6 = 2k兀一0,k cZ , cos^ = coseJ = I— = 而 13 2sin0 = 2sin（2#i — °） = —2sin© = ~^= = ~ 【点睛】 本题考查了普通方程与参数方程之间的转化，需要运用公式熟练求解，在求最值问题时运用参量来求解, 转化为三角函数的最值问题。 21. (1)弓=3\"-1 (2) --—J— ” 2 3n+l-l 【解析】 试题分析：(1)利用和项与通项关系，当n>2时，％=&-&_],将条件张=号-〃-1转化为项之 间递推关系：0g = 3a,, + 2 ,再构造等比数列{an +1}: (a,1+1 +1) = 3(% +1),根据等比数列定义及通 2x3\" 项公式求得an+1 = 3\即得a, =3\"-1；注意验证当川=1时是否满足题意，(2)由于 ---------------------- 可裂成相 a”a,+i i i 3\"T 3H+I -1 2x3〃 邻两项之差： —所以利用裂项相消法求数列 ---------------------------- 的前〃项和K・ 试题解析：(I)因为S“ =室一〃 一1,故当〃 =1时，％=冬一1 — 1 = 2； 2 2 当 “ 2 2 时，2S\" = an+｝ — 2/z — 2 , 2S“_] =— 2(” —1) — 2两式对减可得0\"+】=3% + 2 ；经检验，当 〃 =1 时也满足=3%+ 2； 故(S]+1) = 3(%+1),故数列｛«„+!｝是以3为首项，3为公比的等比数列，故。,,+1 = 3”,即 a„ = 3\" -1 • 2x3\" 2x3” (II)由(I)可知，由=(3“ _ 1)(3，』_ 1)=百 - 1 1 ， 故 T = ----------- i— + —i ----------- ---- + . . . + —i ------- i— = - ------- i— \"31 -1 32 -1 32 -1 33 -1 3,!-1 3,!+| -1 2 3,,+| -1' 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法, 裂项相消法适用于形如(其中｛%｝是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法 J 1 1 求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和，如一-一 或 ~ (H + 1)(\" + 3) 〃(〃 + 2) 22. (1) (f,l]；⑵证明见解析 【解析】 【分析】 (1)解法一：求得函数导数并通分，对。分成a 数。的取值范围.解法二：将原不等式JW> 0分离常数。，得到a< ~ ,构造函数g(x)= ~ , x-1 vln x x-1 利用导数结合洛必达法则，求得g(x)的取值范围，由此求得。的取值范围.(2)解法一：先由(1)的结 论，证得当^>1时 F(x)〈夹工成立.再利用导数证得当0 伊(x) = 2 —2x —xlnx(x>0),利用导数证得^皿)〈爽二1,进而证得2 —2x —xlnx〈空兰。',也即 e' 2e3 +1 证得F(x)〈竺 二 e 解：(1)【解法一】由 f3) = lnx-a\"-得: /•,/、 1 。 x-a / 八、 f (x) = =—^(x〉0) X X X ①当a VI时，由x>l知，f'(x) >0 e y = /(x)在区间(1,+co)上为增函数, .••当 x>l 时，/(X)> /(I) = 0恒成立, 所以当时，满足题意 ②当“>1时，y = /(x)在区间(l,a)上是减函数，在区间(。,+8)上是增函数. 这时当x>l时，f(x)>f(a) = ]na-(a-I), 1 1 — Z7 令 g(a) = In a - (。一 l)(a >1),贝l| g\\a)=——1 = ----------- < 0(a > 1) a a 即g(a)在(l,+8)上为减函数，所以g(a) < g⑴=0 即f (x)在(1, -H»)上的最小值f(a) < 0, 此时，当x>l时，了(x)> 0不可能恒成立，即有。>1不满足题意. 综上可知，当x>l,使了(x)> 0恒成立时, a的取值范围是(—°o, 1]. 【解法二】 当X>1时，/(%)> 0等价于QV三巴 x-1 令g(X)=M，则只须使⑴ x-1 vln X ,/ 、 (1 + Inx)(x-1)-xInx x-1-lnx z 八 g ⑴= ---- ------ ------------- = — (X — 3 > 1) 1 Y — 1 设/z(x) = x-l-lnx,/z (x) = 1 ——= ----------- x x x > I,.'. Ii(X)> 0, A(.x)在(1, +°o)上为增函数，.，. h(x) > h(l) = 0 所以g'⑴> 0, g⑴在(1, +8)上为增函数, 当x>l时，g3)〉li%3) ,/ 、 「 xlnx 「 (xlnx) 「 “ 〔 、」 由洛必达法则知啤心=理*=!写寸厂四(1+1心)=1 即当工>1时，g3)>l,所以有\"VI r即当x>l,使/(x)> 0恒成立时，则a的取值范围是(-8,1] (2)解法一：由(1)知，当。=1时， 当 X 21时,f (x) > 0, xf{x)>Q, -xf{x) 心=3-3、F(吼0<堇二成立 e' e 故只须在证明，当0 <2-2x-xinx 所以，只须证明2-2x-xlnx〈爽M 即可; e /. F(x)= 2-2x-xlnx 设(p(x) = 2-2x-x\\n x(0 < x < 1), 由\"(x) = 0 得：x = e~ 3= -2 - (1 + In x) = - In x - 3(0 < x< 1) •••当0Vive',时(p(x) >0 当 e~ 3 . i .••当 0 vxvl 时，(p(x) = 2-2x-xlnx <(p^e~) = 2-2e~ -e~ Ine~ =——— 3333 F(x) <四二成立 e 综上可知，当。=1时，F(x)〈竺二成立. e ②解法二：由⑴知当声时，心= 1= 空产<匕 1 等价于2-2x-xlnx< 2' ee x 设(p(x) = 2-2x- xlnx(x > 0),。(x) = 一2-(1 + Inx) = -Inx-3(x > 0) 由9‘(x) = 0得：x = e •.•当 0 （p（x） = 2-2x-xlnx< 伊（e\"） = 2-2e-3 一e~3 Ine~3 = & 3*^ 因为x> 0时，ex>l.所以爽尹〈爽 e e 2/ + ] 所以 2 -2x — xlnx< -------- - - / 成立. e 2W 4-1 综上可知，当。=1时，”⑴v 刍挡成立. e 【点睛】 本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想, 考查化归与转化的数学思想方法，难度较大，属于难题. 2019-2020高二下数学期末模拟试卷 一、选择题：(本题共12个小题，每小题5分，共60分) 2 2 1. 若焦点在y轴上的双曲线 ------------- m-1 m-3 A. 0 B. 4 =1的焦距为4,则秫等于( C. 10 D. -6 ) 2. 甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点, 则甲、乙、丙 三球的半径的平方之比为() A. 1 ： 2 ： 3 C. 1 ：啊：折 B. 1 ： ,/2 ： ^3 D. 1 : 2^2 : 3^3 3. 一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是a,b,c,当且仅当a>bKc>b时称为“凹数”,若 。，农cc{l,2,3,4},从这 些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是 15 A. — 3 B. — 32 2 7 C. — 32 7 D.— 12 4. 若函数fW = logi(3x2-«x+5)在区间(_i,+3)上是减函数，则实数。的取值范围是() A. (-8,+co) B. [-6,+co) C. (-co,-6] ) D. [一8, 5. 下列函数中，既是奇函数又是(-1'1)上的增函数的是( A. y = 2V B. y = tanx C. y =广 D. V = cosx 6.设I是函数y = /(x)的定义域,若存在x(( e I,使/•(%)=-气，则称x。是f (x)的一个“次不动点”， 也称/'(X)在区间I上存在\"次不动点\".若函数/(x) = or3-3x2-x+l在R上存在三个“次不动点 X。\"，则实数“的取值范围是() A. (-2,0)o(0,2) B. (-2,2) C. (-l,0)o(0,l) D. [-1,1] 7. 已知/⑴为定义在(-co,0)0(0,+oo)上的奇函数，当工>0时，f(x) = x + -，则f(x)的值域为() A. (-8,-2] [2,+时 C. (-oo,-l] [!,+<») B. [-2,2] D. [2,+co) 8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是() （W 视图 B. ax 1 D. 1 ¥ ~T~xl 的展开式中的常数项为（ A. 20 2 2 B. -20 C. -15 D. 15 10.椭圆与+ 土 = 1（。〉力〉0）的左右焦点分别是耳、F,,以马为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆 a b~ 交于点P,若直线Pg恰好与圆F?相切于点P,则椭圆的离心率为（） R V3+1 IS. 2 厂V2 D.旦 A. ^3-1 11.将点的直角坐标（一2, 2^3）化成极坐标得（）■ 2 2 n、 A. (4,―) 12. 18xl7xl6x A・As B. (-4,―) xl2xll等于( B.As ) c. (-4,-) D. (4,-) C.As D.总 二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分） 13. 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的 二等品件数，则 DX= 14. 分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是. 15. 已知平面向量。，力满足\\a\\=l, \\b\\=2, \\a - b I=A/3 ,则“在b方向上的投影是. 2/（% - 2）, % e （1, +oo） 16. 函数/（%） = ^ || ，若关于x的方程f（x） — lo葺5=0 （。〉0且\"）在区间[0,5] 内恰有5个不同的根，则实数。的取值范围是. 三、解答题：（本题共6个小题，共74分） 17.（本题共12分） 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按照题目要求 独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2 2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是孑，且每题正确完成与否互不影响. （1） 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； （2） 请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？ 18. （本题共12分） 2 2 已知椭圆C： % +云=1（。〉。〉0）的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的 圆与直线 x+y-2 = 0相切. （1） 求椭圆C的标准方程； （2） 设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E, 使得EA EB为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由• 19. （本题共12分） 设抛物线「的方程为y2=4x,点P的坐标为（1, 1）. （1） （2） 过点P,斜率为-1的直线1交抛物线「于U, V两点，求线段UV的长； 设Q是抛物线「上的动点，R是线段PQ±的一点，满足PR =2 RQ ,求动点R的轨迹方程； （3） 设AB, CD是抛物线「的两条经过点P的动弦，满足AB1CD.点M, N分别是弦AB与CD的中 点，是否存在 一个定点T,使得M, N, T三点总是共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理 由. 20. （本题共12分） 在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩（百分制）的茎叶图. 甲 乙 8 6 9 6 7 1 5 8 6 8 2 4 6 5 9 •1 （I）若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由； （ID若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量&求&的 分布列和均值. 21.（本题共12分） 已知某厂生产的电子产品的使用寿命X （单位：小时）服从正态分布N（1000, 4）,且 P（X<800）=0.1, P（X 21300）= 0.02. （1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在［1200,1300）的概率； （2）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在（800,1200）的件数为F,求F的分 布列和数学期望E（K）. 22.（本题共14分） 高二某班4名同学期末考完试后，商量购买一些学习参考书准备在高三时使用，大家约定：每个人通过掷 一枚质地均匀的 骰子决定自己去哪购买，掷出点数大于或等于5的人去图书批发市场购买，掷出点数小于 5的人去网上购买，且参加者必须从图书批发市场和网上选择一家购买. （1） 求这4人中至多有1人去图书批发市场购买的概率； （2） 用§、〃分别表示这4人中去图书批发市场和网上购买的人数，记X=事〃，求随机变量X的分布 列和数学期望E（X）. 参考答案 一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1. B 【解析】 777 - 1 > 0 分析：根据题意，由焦点的位置可得 m - 3 > 0 。八，又由焦距为4,即c = 2,再由双曲线的几何性质可得 c2 — m — l + m — 3 = 4- >即可求得秫. 详解：根据题意，焦点在y轴上的双曲线， m -1 > 0 则 „八，即m>3, m - 3 > 0 又由焦距为4,即c = 2, 则有c2 =m —1 + 秫—3 = 4 , 解得m = 4. 故选：B. 点睛：本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点在y轴上，先求出a的范围. 2. A 【解析】 【分析】 设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。 设立方体为以2为边长的正方体，则&=1 , R乙=也,R、=用 所以夫2”人2乙：夫2丙=1：2：3 【点睛】 设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。 3. C 【解析】 【分析】 先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】 先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有4x4x4 = 64个三位 数. 再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有C：x2 = 8种，第二类，凹 数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有C：xl = 6种方法，所以共有凹数8+6=14个， 14 由古典概型的概率公式得P=—. 故答案为：C 【点睛】 7 64 32 本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能 力. 4. D 【解析】 【分析】 根据复合函数的单调性，同增异减，则t^3x-ax + 5,在区间(-1,+3)上是增函数，再根据定义域则 2t = 3x2 -ax + 5> 0在区间(-1,+°°)上恒成立求解. 【详解】 因为函数/(^) = logi(3x2-«x + 5)在区间(_l,+oo)上是减函数， 2 所以t = 3x —ax+5 9在区间(一1,+8)上是增函数，且/ = 3了2 一破+ 5>0在区间(—1,+8)上恒成立. 2所以 ％-1 且 3 + 1+5Z0, 6 解得-S 5. B 【解析】 【分析】 分别画出各选项的函数图象，由图象即可判断. 【详解】 选项D为 由图象可知，选项B满足既是奇函数又是(-1,1)上的增函数， 故选:B 【点睛】 本题考查判断函数的单调性和奇偶性,考查基本初等函数的图象与性质. 6. A 【解析】 【分析】 由已知得GXQ — 3x02 — x0 +1 = —x0在R上有三个解。即函数y =。妃-3X()2 +1有三个零点，求出 y' = 3ax2-6x,利用导函数性质求解。 【详解】 因为函数/(x) = at3-3x2-x + l在R上存在三个\"次不动点工0” , 所以ax^ — 3x0~ — x0 +1 =-气在R上有三个解，即ax^ — 3x0~ +1 = 0在R上有三个解， 2 y = axg - 3x02 +1,则 y' = 3ax2 - 6x,由已知令 y' = 0 得 3心2 一 6》=0，即 x = 0 或 x = — a 当a〉0时，xe (-co,0)u^—,+co^j, / >0； 则 j£|<0 即/<4,解得 0 矿<0,要使 y = ax03 - 3x02 +1 有三个零点， 则 0 即/<4,解得—2<。<0； 所以实数\"的取值范围是(-2,0)(0,2) 故选A. 本题考查方程的根与函数的零点，以及利用导函数研究函数的单调性，属于综合体。 7. A 【解析】 【分析】 先用基本不等式求X > 0时函数的值域，然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域. 【详解】 当x>0^ f(x) = x + ->2,(当且仅当x = l时取等号)， 又/'(X)为奇函数，当x<0时， 则/' (x)的值域为(—3, —2] u [2, +8). 故选：A. 【点睛】 本题考查函数奇偶性的应用，考查利用基本不等式求函数最值问题，属于基础题. 8. B 【解析】 由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2,则V=：.」.1.1.2=选B. 3 2 【考点定位】三视图与几何体的体积 3 9. B 【解析】 【分析】 利用定积分的知识求解出“，从而可列出展开式的通项，由6-2r = 0求得广=3,代入通项公式求得常 数项. 【详解】 f J 1 a = \\xdx- — x n 2 令6-2r = 0,解得：r = 3 本题正确选项：B 【点睛】 7； = C^x(-l)3 =-20,即常数项为：—20 本题考查二项式定理中的指定项系数的求解问题，涉及到简单的定积分的求解，关键是能够熟练掌握二项 展开式的通项公式 a= [ 的形式. 展开式通项公式为: 10. A 【解析】 【分析】 由题得PF}IPF2,再利用椭圆定义得PR,P%的长度，利用勾股定理求解即可 【详解】 由题得 PF\\ -L PF2 > 且 P%=c,又 PF[- PFz=2a PF[=2a-c 由勾股定理得（2«-C）故选：A 【点睛】 本题考查椭圆的定义及几何意义，准确求得Pg,PZ是关键，是基础题 2 +C2 =4c2^e2+2e-2 = 0 ,解得e = &l 11. A 【解析】 【分析】 由条件求得p — Jx + 2sin =—的值, 可得。的值，从而可得极坐标. P 【详解】 .\"=&+白2 =(4 + 12=4, cos6> = sinO = J = XL吏 q 4 2 2〃 ・・・可 取。=— 3 直角坐标（-2,20 ）化成极坐标为 4,寻 故选A. 【点睛】 本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题.注意运用Q = Jr+y2、cos9 =》、 c V / \\ sin 0 =板（。由（X, y）所在象限确定）. 12. A 【解析】 【分析】 根据排列数的定义求解. 【详解】 18xl7xl6x 【点睛】 xl2xll = <,故选 A. 本题考查排列数的定义. 二、填空题：(本题共4个小题，每小题4分，共16分) 13. 1.96 【解析】 【分析】 根据二项分布X ~ 5(100,0.02),由公式得到结果. 【详解】 由于是有放回的抽样，所以是二项分布X ~ 5(100,0.02), DX = npq = 100x0.02x0.98 = 1.96,填1. 96 【点睛】 本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数 与方程思想，是基础题. 14. 相交或异面 【解析】 【分析】 根据异面直线的定义可知与两条异面直线相交的两条直线不可能平行，可得到位置关系. 【详解】 如下图所示：此时7也〃的位置关系为：相交 如下图所示：此时7也〃的位置关系为：异面 /a b / 若〃平行，则〃与的四个交点，四点共面；此时。，。共面，不符合异面直线的定义 综上所述：刀，〃的位置关系为相交或异面 本题正确结果；相交或异面 【点睛】 本题考查空间中直线的位置关系的判断，属于基础题. 1 15.— 2 【解析】 分析：根据向量的模求出a,b=L再根据投影的定义即可求出. 详解:V|a|=1, \\b 1=2, \\a - b l=^> •'•la?+\\b I2 - 2a,b =3, 解得。=1， a-b ] 在人方向上的投影是-ET = -, \\b\\ 2 故答案为」 2 点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题. 16. (JM+oo) 【解析】 【分析】 作y = /W以及yTogf)图像，根据图像确定实数\"满足的条件，解不等式得结果. 【详解】 作y = /W以及y=iog!W图像，根据图像得< a>\\ log, (2 + 1) <2 对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中 参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从 图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等. 三、解答题：（本题共6个小题，共74分） 17. （1）详见解析；（2）甲获得面试通过的可能性大 【解析】 试题分析：（1）确定甲、乙两人正确完成面试题数的取值，求出相应的概率，即可得到分布列，并计算其 数学期望； （2）确定Dg （1）设甲正确完成面试的题数为S，则&的取值分别为1, 2, 3 1 C2Cl 3 c3C° 1 C ：；户付=2)=兮=& 户(g = 3)=籍=( C 〉 6 6 应聘者甲正确完成题数己的分布列为 g p 1 1 5 2 3 5 3 1 5 设乙正确完成面试的题数为〃，则〃取值分别为0, 1, 2, 3 户（〃=。）=建 P(〃 = 2)= C； 应聘者乙正确完成题数〃的分布列为: 0 p 1 27 27 27 27 1 6 27 27 2 12 27 3 8 27 v 7 E(ri} = 0x —+ lx —+ 2x —+ 3x — = 2. (2)因为D(^) = (l-2)-x- +(2-2)'x| +(3-2) x- = -, 9 1 9 3 9 1 9 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容:.3-3x-xf(x) < 0