高中物理万有引力与航天真题汇编(含答案)

一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天

1．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体的质量均为 m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?

33GmL【答案】（1）4（2） 3L5Gm【解析】 【分析】

（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期； （2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速度； 【详解】

（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：

Gm2Gm222m()L 22(2L)LTL3 T45Gm（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗

L星，满足：Gm

22cos30m(2)Lcos302解得：=3Gm L3

2．如图轨道Ⅲ为地球同步卫星轨道，发射同步卫星的过程可以筒化为以下模型：先让卫星进入一个近地圆轨道Ⅰ（离地高度可忽略不计），经过轨道上P点时点火加速，进入椭圆形转移轨道Ⅱ．该椭圆轨道Ⅱ的近地点为圆轨道Ⅰ上的P点，远地点为同步圆轨道Ⅲ上的

Q点．到达远地点Q时再次点火加速，进入同步轨道Ⅲ．已知引力常量为G，地球质量为

M，地球半径为R，飞船质量为m，同步轨道距地面高度为h．当卫星距离地心的距离

GMm为r时，地球与卫星组成的系统的引力势能为Ep（取无穷远处的引力势能为

r零），忽略地球自转和喷气后飞船质量的変化，问：

（1）在近地轨道Ⅰ上运行时，飞船的动能是多少？

（2）若飞船在转移轨道Ⅱ上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．已知飞船在椭圆轨道Ⅱ上运行中，经过P点时的速率为v1，则经过Q点时的速率v2多大？ （3）若在近地圆轨道Ⅰ上运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围（即探测器可以到达离地心无穷远处），则探测器离开飞船时的速度

v3（相对于地心）至少是多少？（探测器离开地球的过程中只有引力做功，动能转化为引

力势能） 【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）万有引力提供向心力，求出速度，然后根据动能公式进行求解； （2）根据能量守恒进行求解即可；

（3）将小探测器射出，并使它能脱离地球引力范围，动能全部用来克服引力做功转化为势能； 【详解】

（1）在近地轨道（离地高度忽略不计）Ⅰ上运行时，在万有引力作用下做匀速圆周运动

GMm2GM2GM2GM（2）v12（3） 2RRhRRmMv2即：G2m

RR则飞船的动能为Ek12GMmmv； 22R（2）飞船在转移轨道上运动过程中，只有引力做功，引力势能和动能相互转化．由能量守恒可知动能的减少量等于势能的増加量：

1212GMmGMmmv1mv2() 22RhR若飞船在椭圆轨道上运行，经过P点时速率为v1，则经过Q点时速率为：

v2v122GM2GM； RhR（3）若近地圆轨道运行时，飞船上的发射装置短暂工作，将小探测器射出，并使它能脱离

地球引力范围（即探测器离地心的距离无穷远），动能全部用来克服引力做功转化为势能 即：GMm12mv3 R2则探测器离开飞船时的速度（相对于地心）至少是：v3【点睛】

2GM． R本题考查了万有引力定律的应用，知道万有引力提供向心力，同时注意应用能量守恒定律进行求解．

3．设地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G．将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响．若把一质量为m的物体放在地球表面的不同位置，由于地球自转，它对地面的压力会有所不同．

（1）若把物体放在北极的地表，求该物体对地表压力的大小F1； （2）若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表压力的大小F2；

（3）假设要发射一颗卫星，要求卫星定位于第（2）问所述物体的上方，且与物体间距离始终不变，请说明该卫星的轨道特点并求出卫星距地面的高度h．

2GMmMm42GMT （2）F2G2m2R（3）h3【答案】（1）R 22RRT4【解析】 【详解】

(1) 物体放在北极的地表，根据万有引力等于重力可得：G物体相对地心是静止的则有：F1mg，因此有：F1GMmmg 2RMm R2(2)放在赤道表面的物体相对地心做圆周运动，根据牛顿第二定律：

GMmR2F2m42T2R

Mm42解得： F2G2m2R

RT(3)为满足题目要求，该卫星的轨道平面必须在赤道平面内，且做圆周运动的周期等于地球自转周期T

以卫星为研究对象，根据牛顿第二定律：GMm(Rh)2m42T2(Rh)

2GMT解得卫星距地面的高度为：h3R 24

4．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半

径为R，万有引力常量为G，求：

（1）该星球表面的重力加速度； （2）该星球的密度； （3）该星球的第一宇宙速度v；

（4）人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T． 【答案】(1)【解析】 【分析】 【详解】

(1) 小球落在斜面上，根据平抛运动的规律可得：

Rt3vtan2v0tan2v0Rtana ；(4)2；(2)0；(3) vtant2GRtt012gty2gt tanαxv0t2v0解得该星球表面的重力加速度：

g2v0tanα t(2)物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：

GMmmg 2R则该星球的质量：

gR2 MG该星球的密度：

(3)根据万有引力提供向心力得：

M43R33vtanα3g04GR2GRt

Mmv2G2m RR该星球的第一宙速度为：

v2v0RtanaGM gRRt(4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动时，运行周期最小，则有:

T2R v所以：

T2RtRt2 v0Rtanαv0tan点睛：处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．

5．如图所示，A是地球的同步卫星．另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内．已知地球自转角速度为0 ，地球质量为M ，B离地心距离为r ，万有引力常量为G，O为地球中心，不考虑A和B之间的相互作用．（图中R、h不是已知条件）

（1）求卫星A的运行周期TA （2）求B做圆周运动的周期TB

（3）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】（1）TA【解析】 【分析】 【详解】

（1）A的周期与地球自转周期相同 TA20（2）TB2r（3）GM3t2 GM0r320

（2）设B的质量为m， 对B由牛顿定律:

GMm22m()r r2TBr3 解得： TB2GM（3）A、B再次相距最近时B比A多转了一圈，则有：(B0)t2 解得：

t2 GM0r3点睛：本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力，向心力的公式选取要根据

题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用；第3问是圆周运动的的追击问题，距离最近时两星转过的角度之差为2π的整数倍．

6．假设在月球上的“玉兔号”探测器，以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回抛出点，已知月球半径为R，引力常数为G． (1)求月球的密度．

(2)若将该小球水平抛出后，小球永不落回月面，则抛出的初速度至少为多大？ 【答案】（1）【解析】 【详解】

(1)由匀变速直线运动规律：v0所以月球表面的重力加速度g3v02Rv0 （2） 2GRttgt 22v0 tGMmmg 2R由月球表面，万有引力等于重力得

gR2 MG月球的密度=3v0M V2GRtv2(2)由月球表面，万有引力等于重力提供向心力：mgm

R可得：v2Rv0 t

7．侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行,它的运行轨道距地面高为h,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来,卫星在通过赤道上空时,卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球半径为R,地面处的重力加速度为g,地球自转的周期为T．

42【答案】lT【解析】 【分析】 【详解】

(hR)3 g设卫星周期为T1,那么:

Mm42m(Rh)G, ① (Rh)2T12又

G由①②得

Mmmg, ② 2R2T1R(hR)3. g设卫星上的摄像机至少能拍摄地面上赤道圆周的弧长为l,地球自转周期为T,要使卫星在一天(地球自转周期)的时间内将赤道各处的情况全都拍摄下来,则

Tl2R. T1所以

2RT142lTT【点睛】

(hR)3. g摄像机只要将地球的赤道拍摄全，便能将地面各处全部拍摄下来；根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星周期；由地球自转角速度求出卫星绕行地球一周的时间

内，地球转过的圆心角，再根据弧长与圆心角的关系求解．

8．我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L，质量分别为M1、M2(万有引力常量为G)试计算：

1双星的轨道半径 2双星运动的周期．

【答案】1?【解析】

设行星转动的角速度为ω，周期为T．

M2M1LL，L；2?2L；

M1M2M1M2GM1M21如图，

对星球M1，由向心力公式可得： GM1M2M1R1ω2 2L同理对星M2，有：G两式相除得：

M1M2M2R2ω2 2LR1M2，(即轨道半径与质量成反比) R2M1M2M1L，R2L

M1M2M1M2又因为LR1R2 所以得：R12有上式得到：ω1因为TGM1M2LL

L2π，所以有：T2πL

GMM12ωM2M1L，L；

M1M2M1M2答：1双星的轨道半径分别是

2双星的运行周期是2πLL

GM1M2点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期．

9．宇航员来到某星球表面做了如下实验：将一小钢球以v0的初速度竖直向上抛出，测得小钢球上升离抛出点的最大高度为h（h远小于星球半径），该星球为密度均匀的球体，引力常量为G，求：

（1）求该星球表面的重力加速度；

（2）若该星球的半径R，忽略星球的自转，求该星球的密度． 【答案】（1）【解析】

（1）根据速度-位移公式得：

，

（2）

得

（2）在星球表面附近的重力等于万有引力，有及

联立解得星球密度

10．“场”是除实物以外物质存在的另一种形式，是物质的一种形态．可以从力的角度和能

量的角度来描述场．反映场力性质的物理量是场强．

（1）真空中一个孤立的点电荷，电荷量为+Q，静电力常量为k，推导距离点电荷r处的电场强度E的表达式．

（2）地球周围存在引力场，假设地球是一个密度均匀的球体，质量为M，半径为R，引力常量为G．

a．请参考电场强度的定义，推导距离地心r处（其中r≥R）的引力场强度E引的表达式． b．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．推导距离地心r处（其中r＜R）的引力场强度E引的表达式． 【答案】（1）E【解析】 【详解】 （1）由EGMGMkQEEr 2a b （）．．引引r2r2R3FqQkQ，Fk2 ，得 E2 qrrF万GMm，由F万， 2rm（2）a．类比电场强度定义，E引得 E引GM 2rb．由于质量分布均匀的球壳对其内部的物体的引力为0，当r＜R 时，距地心r处的引力场强是由半径为r的“地球”产生的．设半径为r的“地球”质量为Mr，

M43r3Mrr3M． 4R33R3得E引GMrGM3r r2R