2011年天津高考试题(文数-word解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文史类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其他答案标号。 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

棱柱的体积公式VSh 其中S表示棱柱的底面面积。

P(AB)P(A)P(B)

h表示棱柱的高。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

13i= 1i A．2i B．2i C．12i D．12i

1．i是虚数单位，复数

x1,2．设变量x，y满足约束条件xy40,则目标函数z3xy的最大值为

x3y40,

A．-4 B．0 C．

4 3D．4

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为-4，则输出y的值为 A．,0．5 B．1 C．2 D．4

4．设集合AxR|x20,BxR|x0，CxR|x(x2)0，

则“xAB”是“xC”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．即不充分也不必要条件

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5．已知alog23.6,blog43.2,clog43.6则

A．abc B．acb C．bac

D．cab

x2y226．已知双曲线221(a0,b0)的左顶点与抛物线y2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲

ab线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（ ）

A．23 B．25 C．43 D．45 7．已知函数f(x)2sin(x),xR，其中0,,若f(x)的最小正周期为6，且当

x

2时，f(x)取得最大值，则 （ ）

A．f(x)在区间[2,0]上是增函数 C．f(x)在区间[3,5]上是减函数

B．f(x)在区间[3,]上是增函数 D．f(x)在区间[4,6]上是减函数

8．对实数a和b，定义运算“”：aba,ab1,2设函数f(x)(x2)(x1),xR。若

b,ab1.（ ）

函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是

A．(1,1](2,) C．(,2)(1,2]

B．(2,1](1,2] D．[-2，-1]

第Ⅱ卷

注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12小题，共110分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知集合AxR|x12,Z为整数集，则集合

AZ中所有元素的和等于________

10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何

体的体积为__________m

11．已知an为等差数列，Sn为其前n项和，nN，

*3

若a316,S2020,则S10的值为_______

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12．已知log2alog2b1，则3a9b的最小值为__________ 13．如图已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长

线上一点，且DFCF2,AF:FB:BE4:2:1.

若CE与圆相切，则CE的长为__________

14．已知直角梯形ABCD中，AD//BC,ADC900,AD2,BC1,

P是腰DC上的动点，则PA3PB的最小值为____________

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

编号为A1,A2,,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下： 运动员编号 得分 运动员编号 得分 区间 人数 A1 15 A2 35 A3 21 A4 28 A5 25 A6 36 A7 18 A8 34 A9 17 A10 26 A11 25 A12 33 A13 22 A14 12 A15 31 A16 38 （Ⅰ）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格； 10,20 20,30 30,40 （Ⅱ）从得分在区间20,30内的运动员中随机抽取2人， （i）用运动员的编号列出所有可能的抽取结果； （ii）求这2人得分之和大于50的概率． 16．（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知BC,2b（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）cos(2A3a. P4)的值．

M17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为

平行四边形，ADC45，ADAC1，O为AC中点，

0DOABCPO平面ABCD，PO2， M为PD中点．

（Ⅰ）证明：PB//平面ACM； （Ⅱ）证明：AD平面PAC；

（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．

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18．（本小题满分13分）

x2y2设椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2。点P(a,b)满足|PF2||F1F2|.

ab （Ⅰ）求椭圆的离心率e；

22 （Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x1)(y3)16相交于M，N

两点，且|MN|

5|AB|，求椭圆的方程。 819．（本小题满分14分）已知函数f(x)4x3tx6txt1,xR，其中tR． （Ⅰ）当t1时，求曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）当t0时，求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）证明：对任意的t(0,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点． 20．（本小题满分14分）

已知数列{an}与{bn}满足bn1anbnan1323(1)n1(2)1,bn,nN*,且a12.

2n （Ⅰ）求a2,a3的值；

* （Ⅱ）设cna2n1a2n1,nN，证明{cn}是等比数列；

（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明

S1S2a1a2S2n1S2n1n(nN*). a2n1a2n3----完整版学习资料分享----

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参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分。 1—4ADCC 5—8BBAB

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分。 9．3 10．4 11．110 12．18 13．7 14．5 2三、解答题

（15）本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础

知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，满分13分。 （Ⅰ）解：4，6，6

（Ⅱ）（i）解：得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13.从中随机抽取2人，所

有可能的抽取结果有：{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3,A11},{A3,A13},{A4,A5},{A4,A10}，

{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11},{A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13}，共15种。

（ii）解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”（记为事件B）

的所有可能结果有：{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11}，共5种。

所以P(B)51. 153（16）本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦

公式等基础知识，考查基本运算能力，满分13分。 （Ⅰ）解：由BC,2b3a,可得cb3a 2

3232aaa2bca144. 所以cosA2bc3332aa22222 （Ⅱ）解：因为cosA221 ,A(0,)，所以sinA1cos2A33

742cos2A2cos2A1.故sin2A2sinAcosA.

99所以cos2A

72422872cos2Acossin2Asin. 444929218----完整版学习资料分享----

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（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间

想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。

（Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。因为PB平面ACM，MO平面ACM，所以PB//平面ACM。 （Ⅱ）证明：因为ADC45，且AD=AC=1，所以DAC90，即ADAC，又PO平面

ABCD，AD平面ABCD，所以POAD,而ACPOO，所以AD平面PAC。

（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MN//PO，且

MN1得MN平面ABCD，所以MAN是直线AM与平面ABCDPO1,由PO平面ABCD，

25151，所以DO，从而ANDO，

2242所成的角，在RtDAO中，AD1,AO 在RtANM中,tanMANMN145，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为AN55445. 5（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离

公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满分13分。 （Ⅰ）解：设F1(c,0),F2(c,0)(c0)，因为|PF2||F1F2|，

ccc所以(ac)b2c，整理得210,得1（舍）

aaa222 或

c11,所以e. a223c，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线FF2的方程为

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a2c,by3(xc).

2223x4y12c,A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0。解得

y3(xc).8xc,2x0,581 x10,x2c，得方程组的解5y13c,y33c.25

不妨设Ac,8533，B(0,3c)， c5----完整版学习资料分享----

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216833所以|AB|cc3cc. 5555于是|MN||AB|2c.

82

圆心1,3到直线PF2的距离d2|333c|23|2c|. 2

3|MN|2因为d2，所以(2c)2c216. 442整理得7c212c520，得c

26（舍），或c2. 7

x2y21. 所以椭圆方程为

1612（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、

解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当t1时，f(x)4x3x6x,f(0)0,f(x)12x6x6

322f(0)6.所以曲线yf(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y6x.

22 （Ⅱ）解：f(x)12x6tx6t，令f(x)0，解得xt或x

因为t0，以下分两种情况讨论：

t. 2 （1）若t0,则tt,当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 2t,

2+

x

t,t 2-

t,

+

f(x) f(x)

所以，f(x)的单调递增区间是,tt,t,;f(x)的单调递减区间是,t。 22 （2）若t0,则tt，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： 2----完整版学习资料分享----

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x

,t

+

tt,

2-

t, 2+

f(x) f(x)

所以，f(x)的单调递增区间是,t,tt,;f(x)的单调递减区间是t,.

22t2t,内单调递增，2 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当t0时，f(x)在0,内的单调递减，在以下分两种情况讨论： （1）当

t1,即t2时，f(x)在（0，1）内单调递减， 2f(0)t10,f(1)6t24t3644230.

所以对任意t[2,),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。

（2）当0ttt1,即0t2时，f(x)在0,内单调递减，在,1内单调递增，若222771t(0,1],ft3t1t30.

442

f(1)6t24t36t4t32t30.

所以f(x)在

t,1内存在零点。 27373ttt1t10. 244

若t(1,2),f f(0)t10

所以f(x)在0,内存在零点。

所以，对任意t(0,2),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。 综上，对任意t(0,),f(x)在区间（0，1）内均存在零点。

t2

（20）本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分

析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。

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2,n为奇数,3(1)n1,nN*，可得bn （Ⅰ）解：由bn 21,n为偶数,

又bn1anbnan121，

当n1时,a12a21,由a12,可得a2; 当n2时,2a2a35,可得a38.

n32 （Ⅱ）证明：对任意nN*

a2n12a2n22n11 ① 2a2na2n122n1 ②

②-①，得a2n1a2n132所以{cn}是等比数列。

2n1

,即cn322n1,于是cn14 cn

（Ⅲ）证明：a12，由（Ⅱ）知，当kN*且k2时，

a2k1a1(a3a1)(a5a3)(a7a5)(a2k1a2k3)

23(2223522k32(14k1))2322k1

14

*2k1故对任意kN,a2k12.

由①得22k12a2k22k11,所以a2k因此，S2k(a1a2)(a3a4)于是，S2k1S2ka2k122k1,kN* 2k(a2k1a2k).

2 故

S2k1S2ka2k1a2kk12k12. 2k12k1k2k122kk1k221. 2k12k2kkkk1222144(41)22k12

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