空间几何练习题一(含答案)

2 ．无公共点的两条直线不一定平行（可能是异面的）；不平行的两条直线不一定相交（可能异面）．

3．分别在两个平面内的两条直线不一定是异面直线（可能平行，也可能相交）． 4．两两相交的三条直线不一定共面（如教室中三面墙的交线），当它们相交于一点且不共面时，能确定三个平面．

5．平行于同一平面的两条直线不一定平行（可能相交，也可能异面）． 6．两条平行线中的一条直线平行于一个平面，但另一条不一定平行于这个平面（另一条可能在这个平面内）．

7．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，这两个平面不一定平行（当这个平面内的任意一条直线，平行于另一个平面时，这两个平面平行）． 8．夹在两平行平面间的等长线段不一定平行（还可能相交，也可能异面）． 9．与两条异面直线都相交的两条直线不一定异面（还可能相交）．

例1 如图：已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，面对角线A B1，

D1 A1 E G D A M B C N

B1 C1 F BC1上分别有两点E、F，且B1E = C1F．

求证：⑴EF∥平面ABCD；⑵平面AC D1∥平面A1BC1． 一、线与面垂直关系转化

线线垂直、线面垂直、面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以相互转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理，应当灵活应用这些定理证明问题和求解问题．

例2 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥ E CE，且CE = CA= 2BD，M是EA的中点，求证：⑴DE = DA；⑵平面BDM⊥平面ECA；⑶平面DEA⊥平面ECA． F

M

C

N

二、创设辅助线与面

D1 如果已知条件中找不出现成的平行或垂直关系，此时要

根据题意灵活作出有理有据的辅助线或辅助面，适当添加辅助线或

A1 辅助面是面是促进转化的重要环节．

D

A

D

B

A

C1

B1 M

N C B

例3 正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是对角线AB1、BC1上两点，且

B1MC1N=，求证：MN∥平面A1B1C1D1． MANB

1.⑴证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN，

∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴EM∥BB1，FN∥BB1，∴EM∥FN． ∵A B1= BC1，B1E = C1F，∴AE = BF，又∠B1AB =∠C1BC = 45°，∴Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM = FN．

∴四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN． 又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．

⑵证明：如图 ∵正方体ABCD—A1B1C1D1中，AD1∥BC1，CD1∥B A1，

又AD1CD1= D1，BC1B A1= B， ∴平面ACD1∥平面A1BC．

A A1 D B

D1 C1

B 1 C

说明：较低一级的位置关系，判定着较高一级的位置关系，

如线线平行线面平行面面平行，反之较高一级的位置关系具有较低一级的性质，如面面平行线面平行线线平行，这种低级到高级、高级到低级的转化构成位置关系证题中的主要思维指向．

2.分析：⑴要证明DE = DA，只须证明Rt△DFE≌Rt△DBA；⑵注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；⑶仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线．

证明：⑴如图，取EC的中点F，连接DF， ∵EC⊥BC，易知DF∥BC，∴DF⊥EC．

在Rt△DFE 和Rt△DBA中，

1∵EF =EC = BD，FD = BC =AB，

2∴Rt△DFE≌Rt△DBA， 故DE = DA．

//⑵取CA的中点N，连接MN、BN，则MN∴MN∥BD，即N点在平面BDM内，

∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BC，

1EC， 2又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA，

∵BN在平面MNBD内， ∴平面MNBD⊥平面ECA． ⑶∵DM∥BN，BN⊥平面ECA， ∴DM⊥平面ECA， 又DM平面DEA，

∴平面DEA⊥平面ECA．

说明：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，其中证明BN⊥平面ECA是关键．从解题方法上说，由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直线面垂直面面垂直转化途径进行．

3.分析：在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：

⑴由“面面平行线面平行”去证．

在面A1B内，作MK∥A1B1，交BB1于K点，连接KN，由平行线截割定理知

B1MB1KBMCNBKCN=，而1=1已知），∴1 =1 ，则KN∥B1C1， MAKBMANBKBNBD1 C1

B1 N ∴平面MKN∥平面A1B1C1D1， 即平面MKN平面A1B1C1D1=， 而MN平面MKN， ∴MN∥平面A1B1C1D1．

⑵添加辅助线，由“线线平行线面平行”去证．

A1 M

K D

A

B

C

连接BM并延长交A1B1于P点，连接PC1，则可证△B1MP∽△AMB， ∴

B1MPMBMCN=，而1=1（已知）， MAMBMANBPMC1N=，由平行截割定理得：MN∥PC1， MBNBA

D1 A1 M B1 N C B

C1

∴

D

而PC1平面A1B1C1D1，∴MN∥平面A1B1C1D1．

说明：辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断．