文章编号:100026788(2008)1020024207
跳跃2扩散模型框架下基于鞍点近似的信用组合一致性风险度量
詹原瑞,刘久彪
(天津大学管理学院,天津300072)
摘要: 在债务人资产价值的跳跃2扩散模型框架下,应用鞍点近似方法计算了信用组合损失的概率分布,并以算例具体说明了计算过程,得出了信用组合风险的VaR量度和一致性量度ES.然后,将鞍点近似方法得出的损失分布与蒙特卡罗模拟得出的结果相比较,得出了对于要求精度较高、资产数目较多的信用组合,基于鞍点近似方法计算一致性风险量度是信用风险管理的合适方法的结论.关键词: 信用组合;一致性风险量度;鞍点近似;期望短缺(ES)中图分类号: F830 文献标志码: A Coherentmeasuresofcreditportfolioriskunderjump2diffusion
frameworkbasedonsaddlepointapproximations
ZHANYuan2rui,LIUJiu2biao
(SchoolofManagement,TianjinUniversity,Tianjin300072,China)
Abstract: Basedontheobligorsassets’jump2diffusionmodel,thispapercalculatescreditportfoliolossdistributionbyapplyingsaddlepointapproximations,andgivesanexampletoshowtheprocess,thengetscreditportfolioriskmeasureVaRandcoherentriskmeasureES.ThroughcomparingtheresultsfromsaddlepointapproximationsandMonteCarlosimulation,wedrawtheconclusionthatitisapropermethodtocalculatesthecoherentriskmeasurebysaddlepointapproximationsforhighlyaccuratecreditportfolioriskmanagement.Keywords: creditportfolio;coherentriskmeasures;saddlepointapproximations;expectedshortfall(ES)
0 引言
VaR是目前风险管理中使用最为广泛的风险度量方法,然而,根据Artzneretal.(1999)、Embrechts(2000)、Acerbietal.(2002),VaR具有下面几个概念上的问题:1)VaR只度量收益或者损失分布的分位数,
不考虑超过VaR水平的损失程度(我们称为尾部风险),而在风险管理中,度量损失的严重程度是更为重
要的,因为一个大的极端损失就可能冲垮一个运行良好的公司.由于信用损失分布的“偏峰厚尾”性,VaR忽视尾部风险的缺陷在信用风险管理中尤为明显;2)VaR通常不满足次可加性,因而不是一个一致性风险量度.也就是说,组合VaR可能大于各组成成分VaR之和,这意味着使用VaR管理风险不会鼓励分散化.
Acerbietal.(2002)建议,期望短缺(ES)是一个可以替代VaR的、一致性的风险量度.对于给定组合,ES是一定持有期限内超过VaR的组合损失的条件期望.可见,ES不仅是一个满足次可加性的一致性风险量度,而且提供了超过VaR的极端损失的信息.而且,与另一个一致性风险量度CVaR相比,ES对于损失分布没有特殊的要求,在分布函数连续和不连续的情况下都能保证一致性风险量度这一性质,而CVaR只适用于分布函数连续的情况.因而,ES具有更为广泛的适用性,不仅可以应用到任何金融工具的风险度量和控制,也可以处理具有任何分布形式的风险源.
另外,传统的结构模型建模公司资产价值为一个扩散过程.当公司资产价值等于或低于其负债时,违
收稿日期:2007203221
资助项目:国家自然科学基金(70573076);高校博士学科点专项科研基金(20050056057)
作者简介:詹原瑞(1944-),女,江西婺源人,教授,博士生导师,研究方向:金融工程与管理,信用风险管理;刘久彪
(1979-),男,辽宁锦州人,博士研究生,研究方向:信用风险管理.
第10期跳跃2扩散模型框架下基于鞍点近似的信用组合一致性风险度量25
约发生.由于扩散过程是连续的,在结构模型中,公司不会突然违约.但事实上,公司既可能因为连续的不良发展逐渐违约,也可能因为无法预料的意外振荡突然违约.因此,本文考虑到两种违约方式,在扩散过程中加入一个跳跃过程,假设公司资产价值服从一个跳跃2扩散过程,使模型更符合实际.
因此,本文以一致性量度ES作为信用组合的风险量度,在公司资产价值的跳跃-扩散模型框架下建模组合的损失分布,对于重点关心的损失尾部分布,采用统计学中常用的鞍点方法近似求解,以得到一种方便、有效的计算信用组合一致性风险量度ES的方法.
1 信用组合损失建模
111 一致性风险量度
在概率空间(Ω,F,P)上,考虑一个由n个债务人组成的信用组合,银行面临的任意债务人i的信用
风险由下面三个参数评估:违约暴露EADi、违约损失LGDi、违约概率PDi.一个固定的期限(称之为年期
T)后,如果公司价值Vi等于或者低于该公司的违约阈值Hi,发生违约,否则,不发生违约.因此,可以把违
约表示为一个伯努利随机变量Di:Di=
10
以概率PDi发生以概率1-PDi发生
定义债务人i的有效暴露为ωi=EADi×LGDi,那么,由债务人i引起的损失Li是:
Li=EADi×LGDi×Di=ωiDi
因此,信用组合的损失可以记为:
n
n
i
L=
i=1
L∑
=
i=1
ωD∑
i
i
设α为给定的置信水平,信用组合的VaR就是损失分布L的α分位点,即:
VaRα=min{x:P(L≤x)≥α}
(1)
VaR在组合损失服从正态分布,组合中的资产数量不发生变化时,可以比较有效的控制组合的风险.
但是,VaR只度量损失分布的分位数,而不关心超过VaR的损失分布情况,且在处理损失服从非正态分布时不具有次可加性,而信用组合损失分布正是非正态的厚尾分布,因此,VaR不是合适的信用风险量度.
下面,我们考虑期望短缺ES,它是一个一致性风险量度,且在处理分布函数不连续时仍能保持一致性风险度量这一性质.ES被定义为,在给定期限内,超过VaRα的尾部极端损失的条件期望:
ESα=
1))}{E[L・1{L≥VaRα}]-VaRα(P[L≥VaRα]-(1-α
1-α
(2)
上式表明,ES不仅考虑了超过VaRα的极端损失的严重程度,并具有次可加性,而且,ES可以应用于损失分布不连续情况的风险度量,而信用组合损失的分布通常是不连续的,因而,我们这里选用ES作为信用组合风险的量度.
112 公司资产价值的跳跃2扩散模型
跳跃2扩散模型最初被Merton(1976)引入建模股票的价格过程,求解期权价格.在这种模型中,公司价
值由两个随机过程驱动———一个连续的扩散成分和一个不连续的泊松过程的跳跃成分.一个通常的跳跃—扩散模型假设,在概率空间(Ω,F,P)上,公司i的资产价值Vi服从下面过程:
dVi=(μi-λivi)Vidt+σiVidWi+(Ji-1)VidNi
(3)
其中,λvi和σi、i是正的常数,dWi是一个标准布朗运动,Ji>0是一个随机变量,表示跳跃幅度,dNi是一个强度为λdNi和Ji是相互独立的,v=E(Ji-1)表示跳跃幅度的期望,E是随机变量i的泊松过程,dWi、
Ji的期望算子,μi表示公司资产的期望回报.
通过建模跳跃项为一个泊松过程,公司价值的每次跳跃被假设是独立同分布的,在δt时间内,发生一
δ次跳跃的概率为λit.
对跳跃2扩散过程应用伊藤公式,上式可被写成:
26
dlnVi=
系统工程理论与实践2008年10月
12
μσ-λi-ividt+σidWi+lnJidNi
2i
12
μσ-λJi,n(t)i-ivit+σiWi(t)2i
nj=1
对其进行积分,可以得到:
Vi(t)=Vi(0)・exp
(4)
这里,Wi(t)～N(0,t),Vi(0)是已知的公司期初价值,Ji,n(t)=
∏J
i,j
,其中,Ji,j是独立同分布的随机变
量,n≥0,Ji,0=1,n是参数为λt的泊松分布.换句话说,Ji,n(t)代表[0,t]时间内的跳跃次数为n时,跳跃成分引起的公司价值的改变.
在一般的跳跃分布情况下,需要借助数值方法求解上式.这里,我们假设Ji,j服从对数正态分布:
2
σlnJi,j～N(μi,J,i,J)
在这个假设下,我们可以求出公司i的违约概率的解析解.113 单因素模型框架下的信用组合损失模型为了方便计算,这里我们假设违约只在债务的到期日发生,就是说,在债务的到期日T,如果公司i的
资产价值Vi(T)等于或者低于该公司的违约阈值Hi(T),违约发生,否则,公司不违约,于是,我们可以计算公司i的违约概率为:
PDi≈P{Vi(T)≤Hi(T)}
(5)
在单因素模型框架下,我们假设宏观经济因素Y由一个布朗运动dWY驱动,dWY和dWi具有瞬时相ρ关性,dWidWY=ρidt,i为常数,于是,我们可以把dWi分解为ρidWY+运动,代表公司特质因素的连续变化.于是,我们重写(4)式为:
Vi(t)=Vi(0)・exp
1-ρidW′i,dW′i也是一个布朗
n
2
12
μσ-λρi-ivit+σi(iWY(t)+2i
1-ρiW′i(t))+
2
i=1
lnJ∑
i
(6)
假设组合中各个公司间没有违约传染,公司资产价值只通过系统因素相关,在驱动宏观经济因素Y
的布朗运动WY(T)确定了一个实现y～N(0,T)后,各个公司资产价值是条件独立的,那么,每个公司的条(6)式,计算公司i在宏观经济因素WY(T)=y条件下的违约概率为:件违约概率也是独立的.根据(5)、
P(y)=P(Li=1|WY(T)=y)=P[Vi(T)≤Hi(T)|WY(T)=y]
N(T)
12
σ-λ=PlnVi(0)+μi-iviT+σi(ρiy+2i
N(T)
1-ρiW′i(T))+
2
i=1
lnJ∑
i
≤lnHi(T)|WY(T)=y
=Pσi1-ρiW′i(T)+
2
i=1
∑
lnJi≤lnHi(T)-lnVi(0)-
12
μσ-λρi-iviT+σiiy|WY(T)=y
2i
(7)
12
σ-λ 为表达方便,我们设Ci(T)=lnHi(T)-lnVi(0)-μT.同时,我们注意到,在[0,T]时i-ivi2i
间内的跳跃次数N(T)=k的条件下,有下面关系存在:
N(T)
σi1-ρiW′i(t)+
2
i=1
∑
222
μσσlnJi～N(ki,J,i(1-ρi)T+ki,J)
于是,我们得到公司i在宏观经济因素WY(T)=y、[0,T]时间内的跳跃次数N(T)=k的条件下的违约概率为:
P(y|N(T)=k)=P[Vi(T)≤Hi(T)|WY(T)=y,N(T)=k]
=ΦρμCi(T)+σiiy-ki,J
222
σσi(1-ρi)T+ki,J
(8)
考虑到[0,T]时间内的跳跃次数N(T)为强度λT的泊松过程,因此,得到跳跃次数N(T)=k的概率为:
kT)-λT(λ(9)P(T,k)=P[N(T)=k]=e
k!
第10期跳跃2扩散模型框架下基于鞍点近似的信用组合一致性风险度量27
对于k=1,2,…,N的情况,使用相同的方法,并应用全概率公式,可以得到公司i在宏观经济因素WY(T)=y条件下的违约概率P(y):
∞
P(y)=
k=1
∑P(T,k)Φi
ρμi,JCi(T)+σiiy-k
222
σσi(1-ρi)T+ki,J
(10)
2 鞍点近似
独立随机变量之和的计算在理论和实践中都是一个非常重要的问题,正态分布近似、Edgeworth展开和鞍点近似是三个最为常用的方法.正态近似非常简单,但经常不够准确,特别是对于小样本.Edgeworth展开稍复杂,但它只是正态近似基础上的改进,其数值精度也令人怀疑.而鞍点近似却能提供比较精准的近似,尤其是对独立随机变量之和尾部分布的估计.因此,下面我们采取鞍点近似的方法,在跳跃-扩散模型框架下估计信用组合损失的尾部分布.211 鞍点近似基础
鞍点近似方法首先求助于矩母函数(MGF)的计算,设随机变量X的分布函数为F(x),则称
tX
MX(t)=E(e)=
∫
-∞
+∞
edF(x)
n
tX
(11)
为X的矩母函数.对于一个有限序列的独立随机变量Xi,i=1,2,…,n,它们之和X=是Xi的矩母函数MXi(t)的乘积:
n
i=1
∑X
i
的矩母函数
MX(t)=
i=1
∏M
X
i
(t)(12)
设KX(t)=lnMX(t)是X的累积矩母函数(CGF),鞍点就是使得KX(t)-tx稳定的点t,就是说,在鞍点t=t,使得累积矩母函数(CGF)的一阶导数具有下式成立:
K′t)=xX(
随机变量X的尾部概率P{X>x}能通过KX(t)及其在t=t点的一阶、二阶导数近似得到.
根据Lugannani和Rice(1980),随机变量X的尾部概率分布函数P{X>x}的鞍点近似给出是:
P(X>x)=1-FX(x)≈1-Φ(r)+φ(r)
(13)
1u
-
1r
(14)
这里,Φ和φ分别是标准正态的累积分布函数和密度函数.由于上面式子在计算方面的复杂性,根据
Barndorff2Nielsen(1991),一个可替换的式子给出是:
P(X>x)=1-FX(x)≈1-Φr-
1r
ln
1u
(15)
其中,两种情况下的参数r、u均为:
u=t
(t), r=sgn(K″t)2[xt-K(t)]
sgn表示r符号的选择根据鞍点t的符号,使两者的符号相同.
即使对于随机变量Xi服从正态分布、伽马分布和逆高斯分布等情况,对于X的尾部分布的鞍点近似仍是十分准确的.如果需要得到更高的精确度,还可以求助于鞍点近似的三阶以上的近似结构(关于鞍点近似的细节,推荐看Jensen(1995)).212 信用组合损失的鞍点近似
根据113节的分析,在单因素模型框架下,驱动宏观经济因素Y的布朗运动WY(T)确定了一个实现y后,各个债务人的资产价值是条件独立的,因此,各个债务人的违约概率Pi(y)和其引起的条件损失
Li(・|y)也是条件独立的.因此,我们可以直接对给定y的条件下的组合损失L的矩母函数应用鞍点近
似,使每个债务人引起的条件损失是相互独立的,鞍点近似能够得到比较好的结果.
(12)式,我们可以得到y条件下的损失的条件矩母函数为:根据(11)、
28
M(t,y)=
系统工程理论与实践
n
2008年10月
i=1
∏
[1-Pi(y)+Pi(y)e
ωt
i
](16)
计算M(t,y)的条件累积矩母函数及其一阶、二阶导数为:
n
K(t,y)=
i=1
∑
n
ln[1-Pi(y)+Pi(y)e
ωt
i
](17)(18)
ωiPi(y)eωit
(t,y)=∑K′ωt
Pi(y)+Pi(y)eii=11-n
(t,y)=K″
i=1
∑2t
[1-Pi(y)]ωiPi(y)ei
ωt2
[1-Pi(y)+Pi(y)ei]
ω
(19)
(t,y)是关于t的单调增函数,在[0,Σωi]上是有界的,对于每一个x∈[0, 由(18)式可以看出,K′
Σωi],等式(13)存在唯一解(19)式,结合(15)式,即可得出鞍点近似的信用组合t,即鞍点,然后带入(17)、的条件损失密度和条件尾部概率,将条件损失密度函数,对正态分布的宏观经济因素Y进行积分,可求出
非条件信用组合损失密度和尾部概率分布,进而求出一定置信水平的组合的VaR和一致性风险量度ES.
3 算例
下面我们举出算例来详细说明上面的计算方法.为了计算简单,我们假设组合中的债务人及其贷款金额是完全相同的,对于异质组合的情况,除计算稍繁琐,其它均与同质组合是相同的,因此,我们的算例具有很好的示范性.
算例 假设某完全由公司贷款组成的信用组合,各个债务人的信用特征和贷款金额是相同的,公司资产价值V服从跳跃2扩散过程,其期初公司价值为V0=2815亿元,违约阈值为HT=1419亿元,公司的年期
2
望收益为μ=5%,表示公司风险的价值波动性为常数σ=0125,跳跃过程的强度为λ=0110,跳跃幅度服从对数正态分布lnJ～(0,010054),公司资产价值V与宏观经济因素Y之间的相关性为ρ=0115,组合中包含100笔贷款,各债务人的有效风险暴露均为1亿元,债务人之间没有违约传染.
我们考察组合在1年内的损失分布情况,首先应用我们上面的鞍点近似方法,求出鞍点近似的组合损
失分布,列出累积概率大于95%的组合损失分布如表1.
表1 鞍点近似的累积概率大于95%的组合损失分布
损失(亿元)
3.33.43.53.63.73.83.94.04.14.24.34.44.54.64.74.84.9
累积概率
0.94350.95040.95650.96200.96680.97110.97490.97820.98110.98370.98590.98780.98960.99110.99230.99340.9944
损失(亿元)
5.05.15.25.35.45.55.65.75.85.96.06.16.26.36.46.56.6
累积概率
0.99520.99590.99650.99710.99750.99790.99820.99850.99870.998940.999110.999380.999690.999470.999560.999630.99969
损失(亿元)
6.76.86.97.07.17.27.37.47.57.67.77.87.98.08.18.28.3
累积概率
0.999740.999780.999820.999850.999880.999900.999920.9999290.9999420.9999510.9999590.9999660.9999720.9999760.9999810.9999830.999986
损失(亿元)
8.48.58.68.78.88.99.09.19.29.39.49.59.69.79.89.910.0
累积概率
0.9999880.9999890.9999910.9999920.99999290.99999370.99999430.99999480.99999520.99999550.99999580.99999600.99999620.99999630.99999640.99999650.9999966
从表中可以看出,基于鞍点近似的方法求解信用组合损失分布可以得到很高的精确度,对于要求置信
第10期跳跃2扩散模型框架下基于鞍点近似的信用组合一致性风险度量29
度很高的信用风险管理(AA级以上的银行要求置信水平达到99%),鞍点近似是一种理想的工具.
(2)式,可以求出同时,根据我们基于鞍点得到的损失频率结果(损失频率表在此不再列出),结合(1)、
对于不同置信水平的VaRα和ESα,将α=95%、99%、9919%和99199%分别计算出的VaRα和ESα列表如表2.
以上,我们在跳跃—扩散模型的框架下,应用鞍点近似的方法,得到了信用组合损失的概率分布,并计算出了对于不同置信水平的VaRα和ESα.为了更进一步直观的说明鞍点近似方法的优势,我们对上面算例中的组合在跳跃2扩散
表2 鞍点近似得出不同置信水平
的VaRα和ESα
置信水平
VaRα
95%3.35
99%4.5599.9%99.99%5.95
7.25
模型框架下进行30000次的蒙特卡罗模拟,得出基于模拟ESα4.095.146.467.45
的组合损失分布,将两者比较,显示如图1.
可以看出,两者的形状极为相似,均具有信用组合损失分布的“偏峰厚尾”特征,这意味着组合内存在发生概率很大的数额很小的损失,和发生概率很大的巨额损失.在损失的尾部,和正态分布相比,具有明显的厚尾性,这使得度量市场风险十分有效的VaR量度在这里不再适用,因为这会忽视VaR之后的尾部损失.
但在图1中,我们很难看清鞍点近似和模拟两种方法得出的组合损失分布的尾部的区别,为此,我们截取VaR99%之后的损失尾部分布放大如图2,对两者进行比较.
图1 鞍点近似和模拟的组合损失概率分布比较
图2 鞍点近似和模拟的大于99%VaR的
组合损失尾部概率分布比较
从图2可以看出,基于鞍点近似得出的组合损失尾部分布仍然十分稳定,但由于采样误差的影响,模拟得出的结果已经不再稳定,这一点在图3显示的VaR9919%后面的组合损失尾部概率分布中显得更为明显.
图3中,基于模拟方法得出的损失分布的采样误差已经十分明显,不断出现跳跃,本文采用的模拟次数已经达到了30000次,这样的模拟次数已经十分费时,但对于实际情况,9919%的置信水平要求是十分平常的,特别是对于计算尾部期望的一致性风险量度ES,还需求得损失尾部分布,这对于模拟的方法几乎是不可能实现的,即使我们成倍数的增加模拟次数,得出的一致性风险量度ES结果的可信度仍然是值得怀疑的.
特别的,我们还选取了99199%VaR之后的损失尾部,如图4所示.
从图4中,我们可以看出,基于鞍点近似得出的尾部分布仍然保持着很好的稳定性,但是模拟得出的结果已经完全不可相信,甚至在大于8之后的损失中不在出现,但事实上,这样的损失的概率并不为0,对于计算一致性风险量度ES,这仍是需要考虑的部分.
30系统工程理论与实践2008年10月
图3 鞍点近似和模拟的大于99.9VaR的组合损失尾部概率分布比较图4 鞍点近似和模拟的大于99.99%VaR的组合
损失尾部概率分布比较
4 结论
从以上分析和算例,我们可以得出结论:1)信用组合的损失分布呈现明显的“偏峰厚尾”性,使用VaR模型会忽视度量尾部损失的严重程度,进而在实践中造成严重的后果;而一致性风险量度ES考虑了尾部损失严重程度的度量,因而是合适的信用风险量度.
2)在跳跃-扩散模型的框架下,基于鞍点近似的方法可以得出十分准确、稳定的信用组合损失概率分布,尤其是对于损失尾部分布的度量,鞍点近似具有明显的优势,因而是基于一致性风险量度ES的信用风险管理中,估计损失尾部分布的一个理想方法.
3)鞍点近似的方法对于因素模型具有很好的适用性,即使是对于比较复杂的跳跃2扩散过程、甚至多因素模型,应用鞍点近似都可以求解.
4)模拟并不是求解信用组合风险量度的合适方法,尤其是对于求解尾部期望的一致性风险量度ES,或者是对于要求精度较高的金融机构.这时,我们可以求助于鞍点近似方法.
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