古冶区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

2． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）

A．30 B．50 C．75 D．150

3． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）

A．80 B．40 C．60 D．20

4． 已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A．3

B．

C．

D．

，

5． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（ ） A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1

6． 若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（ ）

A．[0，+∞） B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）

2

7． 点集{y）||x|﹣1）+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线， （x，（这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ）A．

B．

C．

D．

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8． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=an+，则S2015的值是（ ）

A．

B．

C．2015 D．

9． 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ） A．1：2：3

B．2：3：4

C．3：2：4

D．3：1：2

10．一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（A．6 B．3 C．1

11．函数y=x+xlnx的单调递增区间是（ ） A．（0，e﹣2）

B．（e﹣2，+∞） C．（﹣∞，e﹣2） D．（e﹣2，+∞）

12．已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为

12时，则输入的值为（ ）

A．2 B．1 C．1或2 D．1或10

二、填空题

13．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）． 14．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是

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） D．2

15．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为 海里． 16．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且x(0,2)7)的值为 ▲ ．时f(x)x21，则f(

17．不等式ax2a1x10恒成立，则实数的值是__________.

18．分别在区间[0,1]、[1,e]上任意选取一个实数a、b，则随机事件“alnb”的概率为_________.

三、解答题

19．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.

（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC中，求角B的正弦值.

20．设点P的坐标为（x﹣3，y﹣2）．

（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现在从盒子中随机取出一张卡片，记下标号后把卡片放回盒中，再从盒子中随机取出一张卡片记下标号，记先后两次抽取卡片的标号分别为x、y，求点P在第二象限的概率；

（2）若利用计算机随机在区间上先后取两个数分别记为x、y，求点P在第三象限的概率．

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21．（本小题满分12分）

设函数fx22x7a4x1a0且a1. （1）当a2时，求不等式fx0的解集； 2（2）当x0，1时，fx0恒成立，求实数的取值范围．

22．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为

23．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；

（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？

，求直线l的方程．

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24．（本小题满分14分）

设函数f(x)ax2bx1cosx，x0,（其中a，bR）.

21，求f(x)的单调区间； 2（2）若b0，讨论函数f(x)在0,上零点的个数.

2（1）若a0，b【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.

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古冶区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

2

【解析】解：函数f（x）=ax+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，

可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，

2

所以函数为：f（x）=x+1，x∈[﹣2，2]，

函数的最大值为：5． 故选：A．

【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．

2． 【答案】B

【解析】解：该几何体是四棱锥， 其底面面积S=5×6=30， 高h=5， 则其体积V=故选B．

3． 【答案】B

【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本， ∴三年级要抽取的学生是故选：B．

【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．

4． 【答案】B 则F（，0），

×200=40，

S×h=

30×5=50．

【解析】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，

．

依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|， 则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和， d=|PF|+|PM|≥|MF|=

=

．

即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为故选：B．

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【点评】本题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．

5． 【答案】D

×4πR2=

．

2

【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr=

，∴r=．

∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和

∴两个圆锥的体积比为： =1：3．

故选：D．

6． 【答案】 D

【解析】解：令f（x）=﹣2x3+ax2

+1=0，

易知当x=0时上式不成立； 故a=

=2x﹣

，

令g（x）=2x﹣，则g′（x）=2+

=2

，故g（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，

在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数； 故作g（x）=2x﹣

的图象如下，

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，

g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3， 故结合图象可知，a＞﹣3时， 方程a=2x﹣

有且只有一个解，

32

即函数f（x）=﹣2x+ax+1存在唯一的零点，

故选：D．

7． 【答案】A

22

【解析】解：点集{（x，y）|（|x|﹣1）+y=4}表示的图形是一条封闭的曲线，关于x，y轴对称，如图所示．

由图可得面积S=故选：A．

=+=+2．

【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想．

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8． 【答案】D 【解析】解：∵2Sn=an+当n=2时，2（1+a2）=同理可得猜想验证：2Sn==

因此满足2Sn=an+∴∴Sn=∴S2015=故选：D．

【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

9． 【答案】D 则球的体积V球=

3圆柱的体积V圆柱=2πR

，∴

，化为

，解得a1=1．

=0，又a2＞0，解得

，

． ．

…+

=

， ．

，

=

，

．

．

【解析】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，

3

=3：1：2

圆锥的体积V圆锥=

：

故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR：故选D

【点评】本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．

10．【答案】A 【解析】

试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A．

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考点：几何体的结构特征． 11．【答案】B

【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）

2

求导函数可得f′（x）=lnx+2，令f′（x）＞0，可得x＞e﹣，

∴函数f（x）的单调增区间是（e﹣，+∞）

2

故选B．

12．【答案】D 【解析】

2xx011x试题分析：程序是分段函数y ，当x0时，2，解得x1，当x0时，lgx，

22lgxx0解得x10，所以输入的是1或10，故选D.

考点：1.分段函数；2.程序框图.11111]

二、填空题

13．【答案】 180

【解析】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cna

2

可知r=2，所以系数为C10×4=180，

rn﹣rr

b可设含

x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r

故答案为：180．

【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．

14．【答案】 0

【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin由于sin所以S=sin

周期为8， +sin

+…+sin

=0．

+sin

+…+sin

的值，

故答案为：0．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．

15．【答案】 24

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，

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在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为24故答案为：24

．

海里．

=24海里，

16．【答案】2 【解析】1111]

试题分析：f(x4)f(x)T4,所以f(7)f(1)f(1)2. 考点：利用函数性质求值 17．【答案】a1 【解析】

2试题分析：因为不等式axa1x10恒成立，所以当a0时，不等式可化为x10，不符合题意；

当a0时，应满足a0(a1)4a02，即a0(a1)02，解得a1.1

考点：不等式的恒成立问题. 18．【答案】

e1 eaa【解析】解析： 由alnb得be，如图所有实数对(a,b)表示的区域的面积为e，满足条件“be”的实数对(a,b)表示的区域为图中阴影部分，其面积为

10eadaea|e1，∴随机事件“alnb”的概率为

01e1． e三、解答题

19．【答案】（1）【解析】

233小时；（2）． 314第 11 页，共 17 页

试

题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C处相遇. 在ABC中，BAC4575120，AB10，AC9t，BC21t. 由余弦定理得：BCABAC2ABACcosBAC， 所以(21t)10(9t)2109t()，

2222221225或t（舍去）. 3122所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为小时.

322（2）由AC96，BC2114.

332化简得36t9t100，解得t在ABC中，由正弦定理得sinB所以角B的正弦值为ACsinBAC6sin120BC1463233. 141433. 14考点：三角形的实际应用．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示AC,BC，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 20．【答案】

【解析】解：（1）由已知得，基本事件（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（0，﹣1），（0，0）（0，1）共9种…4（分）

设“点P在第二象限”为事件A，事件A有（﹣2，1），（﹣1，1）共2种 则P（A）=

…6（分）

（2）设“点P在第三象限”为事件B，则事件B满足…8（分）

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∴

则P（B）=

=

，作出不等式组对应的平面区域如图： …12（分）

321521．【答案】（1），；（2）a，148128． 1，【解析】

114x121152x7222试题分析：（1）由于a2x74x1x原不等式的解集为22228154a4a2x7，a4x12x7lg24x1lgaxlg4lg0．设gxxlg4lg，；（2）由28a128a1283322g10原命题转化为，1a128又a0且a1a44g00128． 1，第 13 页，共 17 页

考

点：1、函数与不等式；2、对数与指数运算.

【方法点晴】本题考查函数与不等式、对数与指数运算，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化高新，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力，综合性较强，属于较难题型. 第一小题利用函数与

115不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为2x74x1，解得x；第二小题利用数学结合思想

283322g10和转化思想，将原命题转化为，1128． a128 ，进而求得：a41，4g0022．【答案】

22

【解析】解：将圆的方程写成标准形式，得x+（y+7）=25，

所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．… 因为直线l被圆所截得的弦长是所以，弦心距为

即圆心到所求直线l的距离为所以圆心到直线l的距离为因此，

．…

，… ，

，

因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．

解得b=﹣2，或b=﹣12．…

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所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12． 即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．… 与弦长一半的平方的和的灵活运用．

23．【答案】

【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方

【解析】解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得， （0.0015+0.019）×20+（x﹣140）×0.025=0.5， 解得：x=143.6．

∴测试成绩中位数为143.6．

进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人． （Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η， 则ξ～B（3，）， ∴E（ξ）=

．

]×20=30，

∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[∵P（η=0）=P（η=1）=P（η=2）=P（η=3）=∴Eη=

∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[∴120+30＞120+24， ∴支持票投给甲队．

，

． ，

， ，

]×20=24．

【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题．

24．【答案】

【解析】（1）∵a0，b1， 2第 15 页，共 17 页

11x1cosx，f(x)sinx，x0,. （2分） 222令f(x)0，得x.

6当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，

662所以f(x)的单调增区间是,，单调减区间是0,. （5分）

626∴f(x)若

110，a，10，则f()a又f()f(由零点存在定理，00,，使f(00))0，

222所以f(x)在(0,0)上单调增，在0,上单调减.

2第 16 页，共 17 页

2a1. 又f(0)0，f()24214a10，此时f(x)在0,上有两个零点； 故当a2时，f()2242241a10，此时f(x)在0,上只有一个零点. 当2a时，f()242

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