华中师范大学实变函数2011(B)

华中师范大学 2011–2012 学年第一学期 期末考试试卷（B卷） 课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师 李工宝、何穗、刘敏思、郑高峰 题型 判断题 叙述题 计算题 解答题 总分 分值 15 15 20 50 100 得分 得分 评阅人 一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。 共5小题，每题3分，共5×3=15分） 1、由1，2两个数构成的实数列全体具有连续势（即连续基数）。 （ ） 2、设E是R1中的可数集，则E仍为可数集。 （ ） 3、设G为开集，则G一定可以表示成一列闭集的并集（即G是F型集）。 （ ） 4、若Q为R1上的有理数集，ER1为可测集，则mQE0。 （ ） 5、设{fn(x)}是[0,1]上的一列非负单调可测函数，则limnfn(x)是[0,1]上的Lebesgue可积函数。 （ ） 得分 评阅人 二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分) 1、请准确地叙述反映单调递增非负可测函数列Lebesgue积分与极限可交换性的Levi的单调收敛定理。

2、请准确地叙述反映依测度收敛与几乎处处收敛之间关系的Lebesgue定理（勒贝格定理）。 3、请准确地叙述反映可测函数列与连续函数之间关系Lusin定理（鲁津定理）。 4、请准确地叙述反映两个集合对等的Bernstein定理。 5、请准确地叙述反映非负可测函数的重积分化累次积分的Fubini定理。 第 1 页(共 3 页)

得分 ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 评阅人 3三、计算题（共2题，每题10分，共20分）  f(x)dx。 x2ex,x[0,1]P 1、设P为[0,1]上的Cantor三分集，f(x) ，求 xln2sin(e),xP [0.1] nxexsin(cosenx)dx。 2、计算lim22n[0,n]1nx

得分 评阅人

四、解答题（共5小题，共 50分）

n 1、（10分）设ER是可测集，则存在E一列单调上升的闭子集Fn，使得，limmFnmE。 n

112、（5分）若f(x)为R上的可测函数，UR为闭集，则 f1(U)xR1f(x)U，

是可测集。

q3、（10分）设ER是可测集，f(x)为E上的可测函数，且存在零测集AE，使得，0f(x) 于EA，记EnE[xf(x)n]，证明：limf(x)dxf(x)dx。 EnEn

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

4、（10分）设fn(x)f(x)于E[0,1]，证明： ------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------- 1ln1fn(x)f(x)1cos2fn(x)f(x)1于E。 2 5、（15分）设ER为可测集，f(x,y)为ER上的实函数， （1）若对几乎所有的xE，f(x,y)都是y在R上的连续函数；对任取的yR1，f(x,y)都是x在E上的可测函数，证明：对于任何E上的实值可测函数g(x)，F(x)f(x,g(x))也是E上的可测函数。 （2）设f(x,y)还满足：存在常数0C，使得，对任意xE,yR， 11n1f(x,y)Cy， 若gn(x),g(x)是E上的可积函数，且limnEgn(x)g(x)dx0， 证明： limnEfx,gn(x)fx,g(x)dx0。

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