《几何专题之圆的综合》
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥
AC于点E，交AB延长线于点F．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O半径为5，CD＝6，求DE的长；
（3）求证：BC2＝4CE•AB．
2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°，点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠CAB．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若AC∥DE，当AB＝8，DC＝4时，求AC的长．
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3．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连结
AC，过点D作DE⊥AC垂足为E．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若⊙O半径为5，∠BAC＝60°，求DE的长．
4．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，连接AD，BC，已知AE＝AD，∠BAD＝34°．
（1）如图①，连接CO，求∠ADC和∠OCD的大小；
（2）如图②，过点D作⊙O的切线与CB的延长线交于点F，连接BD，求∠BDF的大小．
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5．如图1，在平面内，不在同一条直线上的三点A，B，C同在以点O为圆心的圆上，且∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）如图2，过点D作DE⊥BA，垂足为点E，作DF⊥BC，垂足为点F，延长DF交⊙O于点M，连接CM．若AD＝CM，请判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
6．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧两点，∠BAC＝26°．
（Ⅰ）如图1，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；
（Ⅱ）如图2，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．
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7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；
（3）在（2）的条件下，求HG的长．
8．如图，以等腰△ABC的一腰AC为直径作⊙O，交底边BC于点D，过点D作腰AB的垂线，垂足为E，交AC的延长线于点F．
4
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）证明：∠CAD＝∠CDF；
（3）若∠F＝30°，AD＝，求⊙O的面积．
9．如图 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P是斜边AC上一个动点，以BP为直径作⊙O交BC于点D，与AC的另一个交点E，连接DE．
（1）当
时，
①若＝130°，求∠C的度数；
②求证AB＝AP；
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（2）当AB＝15，BC＝20时
①是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；
②以D为端点过P作射线DH，作点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内，则
CP的取值范围为 ．（直接写出结果）
10．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH•EA；
（3）若⊙O的半径为，sinA＝，求BH的长．
参考答案
1．解：（1）EF与⊙O相切，理由如下：
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连接AD，OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴CD＝BD＝BC．
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD．
∴EF与⊙O相切．
（2）解：由（1）知∠ADC＝90°，AC＝AB＝10，
7
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝8．
∵SACD＝AD•CD＝AC•DE，
∴×8×6＝×10×DE．
∴DE＝．
（3）证明：由（1）得：CD＝BC，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴＝，
∴CD2＝CE•AB，
8
∵AB＝AC，
∴BC2＝CE•AB，
∴BC2＝4CE•AB．
2．解：（1）如图，
连接BD，∵∠BAD＝90°，
∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∵∠DEC＝∠BAC，
∴∠BAC+∠CDE＝90°，
9
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE∥AC，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴CB＝AB＝8，AF＝CF＝AC，
在Rt△BCD中，BD＝＝4
∴CF＝＝，
∴AC＝2CF＝．
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3．解：（1）证明：连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，又BD＝CD
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB＝AC．
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵⊙O的半径为5，
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∴AB＝BC＝10，CD＝ BC＝5，又∠C＝60°
∴DE＝CD•sin60°＝．
4．解：（1）连接OD，
∵AE＝AD，∠BAD＝34°，
∴∠ADC＝∠AED＝（180°﹣34°）＝73°，
∵OA＝OD＝OC，
∴∠ADO＝∠A＝34°，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠ADC﹣∠ADO＝73°﹣34°＝39°；
（2）连接OD，
∵DF是⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
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∴∠ADO＝∠BDF，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠BDF＝∠BAD＝34°．
5．证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴＝，
∴AD＝CD；
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（2）直线DE与⊙O相切；
理由：连接OD，交AC于点H，
∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD＝CD，
∴OD⊥AC，
∴∠OHC＝90°，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线．
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6．解：（Ⅰ）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠ABC＝64°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝×90°＝45°，∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝26°，
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∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝71°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝71°；
（Ⅱ）如图2，连接OC，
∵∠BAC＝26°，
∴∠EOC＝2∠A＝52°，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∴∠E＝38°，
∵OD∥CE，
∴∠AOD＝∠E＝38°，
∴∠ACD＝AOD＝19°．
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7．解：（1）BD与⊙O相切，理由：如图1，连接OB，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，∠EBF＝90°，
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∴∠C＝∠DBC，EF为直径，
∴点O在EF上，
∵∠C＝∠BFE，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF＝90°，
∴∠DBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）如图2，连接CF，HE，∵∠CDE＝90°，∠ABC＝90°，∴∠DEC＝∠A，
∵∠CED＝∠FEB，
∴∠FEB＝∠A．
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∵AB＝BE，∠ABC＝∠CBF＝90°，
∴△ABC≌△EBF（ASA），
∵BC＝BF，
∴CF＝BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，
∴BF＝+1，
∴EF＝＝，
∵∠CBF＝90°，
∴EF是⊙O的直径，
∴⊙O的面积＝（EF）2•π＝π＝π；
（3）∵AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝45°，
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∵EA＝EC，
∴∠C＝22.5°，
∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∵BH平分∠CBF，
∴∠EBG＝∠HBF＝45°，
∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°，
∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1+，
∴HG＝BH﹣BG＝．
20
8．（1）证明：如右图，连接OD，AD，
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC，
又AB＝AC，
∴BD＝CD，
又AO＝CO，
∴OD∥AB，
又FE⊥AB，
∴FE⊥OD，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠ADC＝∠ODF＝90°，
21
∴∠CAD+∠OCD＝90°，∠CDF+∠ODC＝90°，
∴∠CAD＝∠CDF；
（3）在Rt△ODF中，∠F＝30°，
∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝∠DOC＝30°，在Rt△ADC中，
AC＝
＝＝2，
∴r＝1，
∴S⊙O＝π•12＝π，
∴⊙O的面积为π．
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9．（1）①解：连接BE，如图1所示：
∵BP是直径，
∴∠BEC＝90°，
∵＝130°，
∴＝50°，
∵＝，
∴＝100°，
∴∠CBE＝50°，
∴∠C＝40°；
②证明：∵＝，
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∴∠CBP＝∠EBP，
∵∠ABE+∠A＝90°，∠C+∠A＝90°，
∴∠C＝∠ABE，∵∠APB＝∠CBP+∠C，∠ABP＝∠EBP+∠ABE，
∴∠APB＝∠ABP，
∴AP＝AB；
（2）解：①由AB＝15，BC＝20，
由勾股定理得：AC＝＝＝25，
∵AB•BC＝AC•BE，
即×15×20＝×25×BE
∴BE＝12，
连接DP，如图1﹣1所示：
∵BP是直径，
∴∠PDB＝90°，
24
∵∠ABC＝90°，
∴PD∥AB，
∴△DCP∽△BCA，
∴＝，
∴CP＝＝＝CD，
△BDE是等腰三角形，分三种情况：
当BD＝BE时，BD＝BE＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝20﹣12＝8，
∴CP＝CD＝×8＝10；
当BD＝ED时，可知点D是Rt△CBE斜边的中线，
∴CD＝BC＝10，
∴CP＝CD＝×10＝；
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当DE＝BE时，作EH⊥BC，则H是BD中点，EH∥AB，如图1﹣2所示：
AE＝＝＝9，
∴CE＝AC﹣AE＝25﹣9＝16，CH＝BC﹣BH＝20﹣BH，
∵EH∥AB，
∴＝，
即＝，
解得：BH＝，
∴BD＝2BH＝，
∴CD＝BC﹣BD＝20﹣＝，
∴CP＝CD＝×＝7；
综上所述，△BDE是等腰三角形，符合条件的CP的长为10或或7；
②当点Q落在∠CPH的边PH上时，CP最小，如图2所示：
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连接OD、OQ、OE、QE、BE，
由对称的性质得：DE垂直平分OQ，
∴OD＝QD，OE＝QE，
∵OD＝OE，
∴OD＝OE＝QD＝QE，
∴四边形ODQE是菱形，
∴PQ∥OE，
∵PB为直径，
∴∠PDB＝90°，
∴PD⊥BC，
∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∴PD∥AB，
27
∴DE∥AB，
∵OB＝OP，
∴OE为△ABP中位线，
∴PE＝AE＝9，
∴PC＝AC﹣PE﹣AE＝25﹣9﹣9＝7；
当点Q落在∠CPH的边PC上时，CP最大，如图3所示：
连接OD、OQ、OE、QD，
同理得：四边形ODQE是菱形，
∴OD∥QE，
连接DF，
∵∠DBA＝90°，
∴DF是直径，
∴D、O、F三点共线，
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∴DF∥AQ，
∴∠OFB＝∠A，
∵OB＝OF，
∴∠OFB＝∠OBF＝∠A，
∴PA＝PB，
∵∠OBF+∠CBP＝∠A+∠C＝90°，∴∠CBP＝∠C，
∴PB＝PC＝PA，
∴PC＝AC＝12.5，
∴7＜CP＜12.5，
故答案为：7＜CP＜12.5．
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30
10．（1）证明：如图1中，
∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
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（2）证明：连接AC，如图2所示：
∵OF⊥BC，
∴＝，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴＝，
∴CE2＝EH•EA；
（3）解：连接BE，如图3所示：
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∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为，sin∠BAE＝，
∴AB＝5，BE＝AB•sin∠BAE＝5×＝3，
∴EA＝＝4，
∵＝，
∴BE＝CE＝3，
∵CE2＝EH•EA，
∴EH＝，
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∴在Rt△BEH中，BH＝＝＝．
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