中国石油大学高等数学(2-1)2006-2010期末试题

中国石油大学高等数学(2-1)2006-2010期末试题

Ａ卷

2006—2007学年第一学期 《本科高等数学(上)》试卷

专业班级 姓 名 学 号 开课系室 考试日期

页 号 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 阅卷人 说明：1.本试卷正文共6页。

2.封面及题目所在页背面及附页为草稿

纸。

3.答案必须写在该题后的横线上，解题过

程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，

否则答案无效。

一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.) 1. 设

1,f(x)0,x1x1, 则ff[f(x)] .

2. 设函数

a(1cosx),x0x2x0f(x)8,xtbsinx0edt,x0x连续，则a ，b . 3．极限 lim(13x)x02sinx.

4．设

limx0f(x)2x,且f(x)在x0连续,则f(0)= .

5．设方程xye 6．设y2

7．抛物线yx

2xy0确定函数yy(x), 则= . dydxcos3x, 则dy= .

2x8在其顶点处的曲率为 . 8．设f(x)可导，yff[f(x)]，则y .

9．f(x)f(x)sinxaaa2x2dx .

10．微分方程

二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ） (A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；

yyx20x的通解是 .

(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件. 2．极限

nlimn2n3n（ ）

(A) 2; (B) 3; (C) 1; (D) 5; 3．设常数k0，则函数的个数为（ ）

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 4．设

fx1e1x1xf(x)lnxxke

在(0,)内零点

23e, 则x0是f(x)的( ).

(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 5．设函数

(A) ydy0;(B) ydy0; (C) dyy0;(D) dyy0. 6．若

f(x)f(x)(x)f(x)0，，在(,0)内f(x)0，

f(x)二阶可导，且

f(x)0，f(x)0，令

yf(xx)f(x)，当x0时，则( ).

则f(x)在(0,)内( ). (A) f(x)0,(C)

7．设f(x)在xx处二阶可导, 且

0xx0f(x)0(B) f(x)0,(D) f(x)0,f(x)0

f(x)0,f(x)0f(x)0limf(x)1xx0,则( ).

(A) x是f(x)的极大值点; (B) x是f(x)的极小值

00点;

(C) (x,f(x))是曲线yf(x)的拐点; (D) 以上都不

00是.

8．下列等式中正确的结果是 ( ).

(A) f(x)dxf(x);(B) df(x)dxf(x); (C) d[f(x)dx]f(x);(D) (f(x)dx)f(x);

9．下列广义积分收敛的是( ).

(A) (C) elnxdxx(B) e1dxxlnxe

e1dxx(lnx)2(D) 1dxxlnx

10．设f(x)在xa的某个领域内有定义，则f(x)在

xa处可导的一个充分条件是 ( ).

1limh[f(a)f(a)]存在hhlimf(a2h)f(ah)存在hf(a)f(ah)存在h (A) (C)

三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 1. 求不定积分2. 计算定积分

3．求微分方程y 5y 4y32x的通解.

四．解答题：（本题共6小题，共37分。） 1．（本题5分）求摆线的方程.

2.（本题6分）求曲线

x3y2x2x3(B)(D)

limh0

h0f(ah)f(ah)存在2hlimh0

7cosx3sinx5cosx2sinxdx

e1elnxdx.

xa(tsint),ya(1cost),在

t2处的切线

的渐进线.

3．（本题6分）求由曲线xy1及直线yx,y2所围成图形面积。

4．（本题6分）证明：对任意实数x，恒有xe

5.（本题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现将池水全部抽出,问需作多少功?

6.（本题

五．（本题8分）设函数f(x)在闭区间[0,2]上连续，在开区间（0,2）内可导，且满足条件

1f(0)f()022f(x)dxf(2)1121x1.

8分）设对任意实数

x，f(x)x[f(x)1],且f(0)0，求f(x)的极值.,

证明：(0,2)使得f()0．

Ａ卷

2007—2008学年第一学期 《高等数学》（上）期末试卷

专业班级 姓 名 学 号

开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2008年1月7日

页 码 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 阅卷人

说明：1本试卷正文共 页。

2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共6小题，每小题3分，共18分).

ln(13x)lim1. x0sin2x= .

2. 设函数yf(arctanx)，其中f(x)在(0,)内可导，则dy= .

1a22x2dx3. 设a0，则=____________.

11x2ln121xdx4. =__________. 5. aa4sin2xdx= __________.

6. 微分方程 yy4sinx的通解是

二、选择题 (本题共4小题，每小题3分，共12分).

.

1．设f(x)为可导的奇函数，且f(x0)5，则f(x0)（ ）.

55(A) 5； (B) 5； (C) 2； (D) 2.

2. 设函数f(x)在点x0的某邻域有定义，则f(x)在点x0处可导的充要条件是

（ ）.

（A）

（B）

（C）f(x0)f(x0)； （D）函数f(x)在点x0处连续.

xx0xx0limf(x)limf(x)；

xx0limf(x)f(x0)；

3. 下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数s(t)，一条是汽车的速度函数v(t)，一条是汽车的加速度函数a(t)，则（ ）.

（A） 曲线a是s(t)的图形，曲线b是v(t) y a 的图形，曲线c是a(t)的图形； O b c （B） 曲线b是s(t)的图形，曲线a是v(t) t 的图形，曲线c是a(t)的图形； （C） 曲线a是s(t)的图形，曲线c是v(t) 的图形，曲线b是a(t)的图形；

（D） 曲线c是s(t)的图形，曲线b是v(t)的图形，曲线a是a(t)的图形.

4.

设yf(x)是(a,b)内的可导函数，x、x(x121x2)是(a,b)内任意两点，则( ).

（A）f(x)f(x)f()(x212x1)，其中为(x1,x2)内任意

一点 ；

（B）至少存在一点

(x1,x2)，

使

f(x2)f(x1)f()(x2x1)；

1（C）恰有一点(x

,x2)，使f(x2)f(x1)f()(x2x1);

x2（D）至少存在一点(x1,x2)，使x1三、

f(x)dxf(ξ)(x2x1).

计算题（本题共4小题，每小题6分，共24

分）.

1x(1x)e1. 设函数f(x)a,,x0;在x0处连续，求常数a的值.x01x

.

2. 求极限

lim12(n1)sinsinsinnnnnn413. 求定积分 xxdx.

4.

求广义积分

21dx(x7)x2.

四、解答题（本题共4小题，每小题6分，共

24分）. 1. 设函数yy(x)是由方程 函数，求.

2．设函数，求f(x)的原函数. 3．求微分方程yycosxe的通解． 4．判断曲线y53xx的凸性与拐点.

五、应用题（本题共3小题，每小题6分，共18分）.

sinx3y0edtcostdt0t2x2所确定的

dydxf(x)1sinx1sinx

1.曲线，及x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转而成的立体的体积.

xyx2y22.求曲线位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线L以及两坐标轴所围图形的面积最小. 3．有一半径为R的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面h的地方，求薄板一侧所受的水压力.

六、证明题（本题4分）.

证明方程xxxx1(n2,3,4)在(0,1)内必有唯一实根x， 并求limx.

nn1n2L:y1x24nnn

2008—2009学年第一学期 《高等数学》期末考试试卷

(理工科类)

专业班级

姓 名 学 号

开课系室 数学学院基础数学系 考试日期 2009年1月5日

页 码 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 阅卷人

说明：1本试卷正文共6页。

2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。 3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).

1（1）

lim(cosx)xx02=________________.

（2）曲线yxlnx上与直线xy10平行的切线方程为_________________. （3）已知

f(x)f(ex)xex，且

f(1)0, 则

_____________ .

x2y3x1（4）曲线的斜渐近线方程为

52yy(x1)2x1______________. （5）微分方程___________________.

二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).

（1）下列积分结果正确的是（ ） (A)

11xdx011的通解为

(B)

11x2dx21

(C) 1dxx4(D) 11dxx（2）函数f(x)在[a,b]内有定义，其导数f'(x)的图形如图1-1所示，则（ ）. (A)x,x都是极值点.

12yyf(x)a(B) (C) (D)

x1,f(x1),x2,f(x2)都是拐点.

x1是极值点.，x2,f(x2)是拐点.

yC1exC2e2xxex Ox1x2bxx1,f(x1)是拐点，x2是极值点.

（3）函数满足的一个微分方程是

（ ）. （A）

yy2y3xex.x （B）

yy2y3ex.x

（C）yy2y3xe. （D）yy2y3e. （4）设f(x)在x处可导，则

0fx0fx0hlimh0h为（ ）.

(A) fx. (B)

0fx0. (C) 0. (D)不存在 .

（5）下列等式中正确的结果是 （ ）. (A) (f(x)dx)f(x).(B) df(x)f(x).

(C) d[f(x)dx]f(x).(D) f(x)dxf(x).

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）. 1．求极限2.方程

lim(x1x1)x1lnx.

dydxd2ydx2xlnsintycosttsint确定y为x的函数，求与

arctanxx(1x)dx.

3.计算不定积分

3.

4.计算定积分

x011xdx.

四、解答题（本题共4小题，共29分）. 1．（本题6分）解微分方程

y5y6yxe2x.

2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为，

计算桶的一端面上所受的压力．

3. （本题8分）设f(x)在[a,b]上有连续的导数，

f(a)f(b)0ba，且f2(x)dx1，

试求baxf(x)f(x)dx.

4. （本题8分）过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D. 求D的面积A;

求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V.

五、证明题（本题共1小题，共7分）. 1.证明对于任意的实数x，e 答案

一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).

x1x.

1（1）

lim(cosx)x0x2=_____1e________. （2）曲线yxlnx上与直线xy10平行的切线方程为___yx1______. （3）已知

f(x)f(ex)xex，且

f(1)0, 则

______

1(lnx)2f(x)2_____ .

的斜渐近线方程为

（4）曲线_________

yx2y3x111x.39

52yy(x1)2x1（5）微分方程_________20分).

的通解为

72y(x1)2C(x1)2.3

二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共（1）下列积分结果正确的是（ D ） (A)

11xdx011(B)

11x2dx21

(C) 1dxx4(D) 11dxx（2）函数f(x)在[a,b]内有定义，其导数f'(x)的图形如图1-1所示，则（ D ）. (A)x,x都是极值点.

12

(B) (D)

x1,f(x1),x2,f(x2)都是拐点.

122yyf(x)a(C) x是极值点.，x,f(x)是拐点. x1,f(x1)是拐点，x2是极值点.

Ox1x2bx图1-1 （3）函数（ D ）.

（A）yy2y3xe. （B）yy2y3e.

xxyC1exC2e2xxex满足的一个微分方程是

（C）yy2y3xe. （D）yy2y3e.

xx（4）设f(x)在x处可导，则

0limh0fx0fx0hh为（ A ）.

(A) fx. (B)

0fx0. (C) 0. (D)不存在 .

（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）. (A) (f(x)dx)f(x).(B) df(x)f(x). (C) d[f(x)dx]f(x).(D) f(x)dxf(x).

三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.

1．求极限

lim(x1x1)x1lnx.

解

limx1x1lim()x1x1lnx=

limx1xlnxx1(x1)lnx-------1分

== =

lnxx1lnxx-------2分 -------1分 -------2分

dydxd2ydx2limx1xlnxx1xlnxlim1lnx1x11lnx122.方程解

xlnsintycosttsint确定y为x的函数，求与.

dyy(t)tsint,dxx(t)----------------------------（3分）

---------------------（6分）

.

d2y(tsint)sinttanttsint.x(t)dx2计算不定积分

解：arctanxx(1x)dxarctanxarctanxdx2dx2分(1x)x(1x) =2arctanxdarctanx2分2 =（arctanx）C2分

4.计算定积分

3x011xdx3.

(11x)dx03解

3x(11x)xdx011x0xdx---------

--------------- （3分）

23(1x)3332053-----------------------------------------

---------------------（6分） （或令

1xt）

2x四、解答题（本题共4小题，共29分）. 1．（本题6分）解微分方程y5y6yxe.

解：特征方程r2-5r601分特征解r12,r23.1分 次方程的通解Y=C1e2xC2e3x.1分令y*x(b0xb1)e2x1分1代入解得b0，b11.21所以y*x(x1)e2x1分21所以所求通解yC1e2xC2e3xx(x1)e2x.1分2

2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力．

解：建立坐标系如图

P2gxR2x2dx4分0RgR0R2x2d（R2x2）1分32222Rg[（Rx）]01分32g3R1分3

y x

3. （本题8分）设f(x)在[a,b]上有连续的导数，

f(a)f(b)0ba，且f2(x)dx1，

试求babaxf(x)f(x)dxb.

解：xf(x)f(x)dxxf(x)df(x)2分a

4. （本题8分）过坐标原点作曲线ylnx的切线，该切线与曲线ylnx及x轴围成平面图形D. 求D的面积A;

求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积V.

y1b xdf2(x)2分2a1b22b =[xf(x)]af(x)dx2分2a11 =02分22解：(1) 设切点的横坐标为

x0，则曲线ylnx在点(x,lnx)001处的切线方程是

DO1exylnx01(xx0).x0----1分

0由该切线过原点知 线的方程为

lnx010，从而xe.所以该切

y1x.e----1分

1e1.2y平面图形D的面积

A(eyey)dy01----2分

与x轴及直线xe所围成的三角形

1V1e2.3（2） 切线

1xe绕直线xe旋转所得的圆锥体积为

xe----2分

曲线ylnx与x轴及直线xe所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为

10V2(eey)2dy， ----1分

因此所求旋转体的体积为

121VV1V2e(eey)2dy(5e212e3).036----1分 .

五、证明题（本题共1小题，共7分）. 1.证明对于任意的实数x，e解法一：解

f(0)0.x1xe2e1xx1x2x 设

f(x)exx1.法

f(x)ex1.二：则

------------------------1分

------------------------———

f(x)0.f(x)因为当

——— 1分

x0时，

单调增加，

f(x)f(0)0.------------------------2分

f(x)0.f(x)当

x0时，

单调增加，

f(x)0.f(x)f(0)0.------------------------2分

即

ex1x所以对于任意的实数x，。

------------------------1分 解法三：由微分中值定理得，

ex1exe0e(x0)ex，其中位于0到x之间。，，

e1------------------------2分 当当

x0时时

，，

xex1x。。。

------------------------2分

x0e1ex1x------------------------2分 所以对于任意的实数

，

ex1x------------------------1分

A卷

2009—2010学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末试卷

专业班级 姓 名 学 号

开课系室 基础数学系 考试日期 2010年1月11日

页 号 一 二 三 四 五 六 总分 得 分 阅卷人 注 意 事 项

1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

11．

lim(ex)xx0x2.

x2．x1xe200511exdx . xy13．设函数

yy(x)由方程x1etdtx2确定，则

dydxx0 .

4. 设fx可导，且

tf(t)dtf(x)，f(0)1，则fx . 5．微分方程y4y4y0的通解为 .

二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．设常数k0，则函数的个数为（ ）.

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y4y3cos2x的特解形式为（ ）. （A）y（C）

f(x)lnxxke在(0,)内零点

Acos2x; （B）yAxcos2x;

.

yAxcos2xBxsin2x; （D）

dy*Asin2x3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A）若c,da,b,则必有cfxdxfxdxabab; ;

（B）若f(x)0在a,b上可积,则fxdx0

（C）若fx是周期为T的连续函数,则对任意常数

a都有aTafxdxfxdx0T;（D）若可积函数fx为奇函

数,则4. 设

x0tftdt也为奇函数.

1x1xfx1e23e, 则x0是f(x)的（ ）.

(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.

三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分

2．计算不定积分

3．求摆线 4. 设

F(x)cos(x2t)dt0x20x3exdx2.

xsinxdx5cosx.

2xa(tsint),ya(1cost),在

t处的切线的方程.

，求F(x).

5．设

xnn(n1)(n2)(n3)(2n)n，求

limxnn.

四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）

1．求由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线

y22x及x轴所围图形的面积. 2．设平面图形D由x直线x2

旋转一周所生成的旋转体的体积. 3. 设a1,

五．证明题（7分） 设函数

f(x)2与yx所确定，试求D绕

f(t)atat在(,)内的驻点为 t(a). 问a为何

值时t(a)最小? 并求最小值.

在[0,1]上连续，在

(0,1)内可导且

试证明至少存在一点(0,1), 使得f()=1.

1f(0)=f(1)0,f()1，2

答案

一．填空题（每小题4分，5题共20分）：

11． 2．lim(ex)x0xx2e12.

4e11x1x2005exexdx.

xy13．设函数

yy(x)由方程x1etdtx2确定，则

dydxx0e112x2.

4. 设fx可导，且5．微分方程

tf(t)dtf(x)，f(0)1，则fxe.

y4y4y02xy(CCx)e12的通解为.

二．选择题（每小题4分，4题共16分）： 1．设常数k0，则函数的个数为（ B ）.

(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程y4y3cos2x的特解形式为 （ C ） （A）y（C）

f(x)lnxxke

在(0,)内零点

Acos2x； （B）yAxcos2x；

yAxcos2xBxsin2x； （D）

by*Asin2x3．下列结论不一定成立的是 （ A ） 若c,da,b,则必有dcfxdxfxdxaba; ;

若f(x)0在a,b上可积,则fxdx0

若fx是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有aTafxdxfxdx0T;

x0若可积函数4. 设

fxfx1x1x为奇函数,则tftdt也为奇函数.

1e23e, 则x0是f(x)的（ C ）.

(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分解：

设x2t,则2020x3exdx22.

-------2

x3exdx1t12tedttdet022021t22tteedt002e2-------2

--------2

xsinxdxcos5x1t2132ee02222．计算不定积分解：

.

--------3

xsinx111xdxdxxd()4cos5xcos4x4cos4x4cosxx12(tanx1)dtanx44cosx4x113tanxtanxC4cos4x124-----------3

t3．求摆线

xa(tsint),ya(1cost),在

2处的切线的方程.

解：切点为

k(a(1),2a) -------2

dyasintdxta(1cost)t221-------2

21)切线方程为 4. 设 5．设解：

xyaxa(即

yx(2)a2. -------2

F(x)cos(x2t)dt0，则

F(x)2xcosx2(2x1)cos(x2x).

xnn(n1)(n2)(n3)(2n)n，求limx.

nn1nilnxnln(1)ni1nn---------2

--------------2

1i1limlnxnlimln(1)ln(1x)dx0nnnni1=

xln(1x)x01011dx2ln211x ------------2

故

limxnn=

e2ln214e

x2四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线y与该曲线过坐标原点的切线

及x轴所围图形的面积.

解：

设切点为（x,y)，则过原点的切线方程为

0000y1x2x02，

由于点（x,y)在切线上，带入切线方程，解得切点为x04,y02.-----3

(4,2)过原点和点

yx22的切线方程为

-----------------------------3

20面积s 或

s20(y222y)dy2=

223-------------------3

223122xdx(24122xx2)dx

2．设平面图形D由

x2y22x与yx所确定，试求D绕

直线x2旋转一周所生成的旋转体的体积.

解： 法一：VV101V210

2(11y)dy(2y)2dy210221y2(y1)2dy-------6

1112(y1)32()04343--------3

法二：V=

102(2x)(2xx2x)dx0211

2(2x)2xxdx2(2xx2)dx0------------------ 5

14(22x)2xx222xx2dx033241221(2xx)210433214122232323------------- 4

3. 设

a1,f(t)atat在(,)内的驻点为 t(a). 问a为何

lnlna. lna值时t(a)最小? 并求最小值. 解:

由f(t)atlnaa0得t(a)1--------------- 3

又由t(a)lnlna1e0得唯一驻点ae 2a(lna)------------3

-----2

lne11.ee当aee时,t(a)0;当aee时,t(a)0,于是aee为t(a)的极小值点.故

aee为t(a)的最小值点,最小值为t(ee)1--------------1 内可导且

五．证明题（7分） 设函数

f(x)在[0,1]上连续，在

(0,1)

试证明至少存在一点(0,1), 使得f()=1.

证明：设F(x)f(x)x，F(x)在[0,1]上连续在(0,1)可导，因f(0)=f(1)=0,

有F(0)f(0)00,F(1)f(1)11,--------------- 2

1f(0)=f(1)0,f()1，2

又由

1f()=12，知

11111F()=f()-=1-=，22222在

1[，1]2上F(x)用零点定

理， 根据

11F(1)F()=-0221(，1)2，--------------- 2

可知在内至少存在一点,

，使得

1F()=0，(,1)(0,1)2F(0)=F()=0由ROLLE中值定理得 至少存在一点使得F()=0即f()1=0，证毕. --------------3

(0,)(0,1)

A卷

2010—2011学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末试卷

专业班级 姓 名 学 号

开课系室 基础数学系 考试日期 2011年1月4日

页 号 本页满分 本页得分 一 36 二 12 三 12 四 12 五 12 六 总分 16 阅卷人 注意事项：

1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁； 3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）

1．已知f(x)1,则

0limx0xf(x02x)f(x0x) 1 .

2．定积分. 3．函数yxe的图形的拐点是 (2,2e).

xsinxtan2x21[3cos3x1x]dx1 224. 设xf(x)dxarcsinxC,则yxln(e1)(x0)x1dxf(x) 1(1x2)2C33.

1e5．曲线的渐近线方程为 .

二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）

1．设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f(0)存在，

yx

则函数( D ) .

A. 在x0处左极限不存在; B. 在x0处右极限不存在;

C. 有跳跃间断点x0; D. 有可去间断点x0. 2．设当x0时，f(x)是g(x)的( B ).

A. 等价无穷小; B. 同阶但非等价无穷小; C. 高阶无穷小; D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).

0g(x)f(x)xf(x)sinxsint2dt,g(x)x3x4,A.0xdx21xb; B.

dx111x12dx;

C. (bx); D. .

4.方程yyxcosx的待定特解的形式可设为y( B ).

A.(axb)cosx; B. x(axb)cosxx(cxd)sinx; C. x(axb)cosx; D. (axb)cosx(cxd)sinx.

三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）

a123e1dx2xlnx*1． 求极限

lim12(n2nn)nn2.

x1n解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长，

再将中的一个因子分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。于是,有

lim12(n2nn)nn22nn)n3分11lim(nnn111n2nn1n



10xdx2分2.31分f(x)

2．设

0

[0,]在上连续，且

00f(0)2,f()1,求

[f(x)f(x)]sinxdx.0

解:  而

[f(x)f(x)]sinxdxf(x)sinxdxf(x)sinxdx

0f(x)sinxdx0sinxdf(x)f(x)sinx0f(x)cosxdx0cosxdf(x)f(x)cosx00f(x)sinxdx0f()f(0)f(x)sinxdx3f(x)sinxdx.4分00

所以

0

[f(x)f(x)]sinxdx0f(x)sinxdx3f(x)sinxdx3.02分

3．求微分方程yycosx(lnx)e的通解. 解：所给方程为一阶线性微分方程，且P(x)cosx,Q(x)(lnx)e. 1分

sinxsinxP(x)dxP(x)dxye[Q(x)edxC]cosxdxcosdxe[(lnx)esinxedxC]esinx(lnxdxC)故原方程的通解为

5分

esinx(xlnxxC).

34. 试确定a的值，使函数在处取得极值，指出它是极大值还是极小值，并求出此极值.

解 f(x)acosxcos3x

令3af()acoscos10a233321f(x)asinxsin3x3， 3分 ， 2分

又f(x)asinx3sin3x，

f()33f()03为极大值. 1分

5．求由方程sin(xy)3xy1所确定的隐函数的导数y.

解：两边对x求导得cos(xy)(yxy)3y0, 3分 整理得xcos(xy)yy[3ycos(xy),] 2分

所以6．已知

y3ycos(xy).1xcos(xy) 1分

求常数a的值.

xaxlim()4x2e2xdx,axxa

解：左端=

右端=

aax)xaxxe2alim()limxxaxa(1)xx(1 1分

4xe222xdxaa14x2d(e2x)24xe2xdx2xe2ae22x2xa2a2xe2e2xdxaa2a2e2a2ae2ae2x(2a22a1)e2aa3分所以e2a(2a22a1)e2a

a0或a1.2分

7．设半径为R米的圆形薄板垂直地沉入水中，圆心距水面为R米，水的比重为， g表示水的求薄板一侧所受的水压力(其中0 比重).

解：建立坐标系如图， Y 1) 取x为积分变量，x[R,R] 1分

2) 压力微元 dPghdAg(Rx)2Rxdx X

22

或 dPhdA(Rx)2Rx

3）水对薄板的压力

22dx2分

PdP2(Rx)R2x2dxRRRR

RR2RR2x2dx2xR2x2dx3分RRR=

4R0Rxdx4R22R24R3 8．求由曲线y4x及y0所围成的图形绕直线x3旋转一周所生成的旋转体的体积. 解：法一：选y为积分变量，则

2

V40(34y)2dy(34y)2dy4分0404

124ydy64.2分

法二：选x为积分变量，则

V

222(3x)(4x2)dx4分22

2(123x2)dx64.2分

四．证明题（共2小题，每小题8分，共计16分）

1．叙述并证明牛顿莱布尼茨公式.

设f(x)在闭区间[a,b]上连续，F(x)为f(x)的一个原函

数，那么

babf(x)dxF(b)F(a)F(x).a

证明：由已知F(x)为f(x)的一个原函数，

也是f(x)的一个原函数，因此，在区间[a,b]上，(x)F(x)C.其中C为某一个常数. 在上式中令xa,得(a)F(a)C.

xb,得(b)F(b)C.

两式相减得(b)(a)F(b)F(a),

a(x)f(x)dxx由于(b)babaf(x)dx,(a)aaf(x)dx0,

g(x)所以f(x)dxF(b)F(a).

2．设f(x),g(x)在区间[a,a]上连续, 且f(x)满足f(x)f(x)A(A为常数). (1) 证明：(2) 计算：

aa为偶函数,

f(x)g(x)dxAg(x)dx.0a

a02aa2sinxarctanexdx.f(x)g(x)dxa

f(x)g(x)dx证明：（1）0af(x)g(x)dx

a0a0f(x)g(x)dx0f(x)g(x)dxa

2.[f(x)f(x)]g(x)dxAg(x)dx.0（2）令

f(x)arctanex,g(x)sinx,a则

f(x),g(x)在

[,]22上连续，g(x)为偶函数.由于

exex[arctanearctane]02x2x1e1exx

所以arctanexarctanexA(A为常数)

令x0,得

Aarctan1arctan12

因此f(x)满足等式

f(x)f(x)arctanexarctanex2

于是，利用（1）的结论得

2sinxarctanexdx2220sinxdx2(cosx)2.02