线路逐桩坐标计算原理

高品级公路、铁路的测设通常要用全站仪应用极坐标法测设中线，利用极坐标法测设中线就必需明白线路中线的点位坐标。下面就有关计算原理进行说明。

直线段逐桩坐标计算原理

直线是线路中最大体的线形。直线以最短的距离连接两目的地，具有线路短捷，汽车行车方向明确，驾驶操作简单，视距良好等特点，同时直线线形简单也容易计算。其计算方式和导线类似，明白一个已知点坐标，直线的方位角和距离（即历程差）就能够计算未知点里程桩坐标。

如图2-1，例如已知直线A点坐标和直线方位角AB和直线AB之间的距离dAB推算B点坐标：

图2-1直线线路

XBXAdABcosAB（2-1） 

YBYAdABsinAB

圆曲线逐桩坐标计算原理

铁路与公线路路的平面通常由直线和曲线组成，这是因为在线路的定线中，由于受地形、地物或其他因素限制,需要改变方向。在改变方向处，相邻两直线间要求用曲线连结起来,以保证行车顺畅平安。这种曲线称平面曲线。

由于受地形等条件限制，线路老是不断从一个方向转到另一个方向。这时为了工程能 平安运营，必需用曲线来连接。其中，圆曲线是最大体线路曲线之一，它是有必然曲率的圆弧。下面介绍圆曲线的理论计算。

如图2-2所示，直线与圆曲线的连接点称为直圆点（ZY）；圆曲线的中点称为曲线中点（QZ）；圆曲线与直线的连接点称为圆直点（YZ）。圆曲线要素有线路

转向角，圆曲线半径R，圆曲线长L，外矢距E及切曲差q。其中转向角（单位：度、分、秒）和半径R是已知数据，其余要素如切线长T，曲线长L, 外矢距E, 切曲差q能够按以下关系式计算得出：

图2-2圆曲线

TRtanLR2180ER(secq2TL

2 （2-2） 1)1)曲线要素计算

由交点里程、切线长T 和曲线长L计算曲线主点里程： ZY里程 = JD里程 - 切线长T QZ里程 = ZH里程 + L/2 YZ里程 = ZY里程 + 曲线长L 2) ZY点与YZ点坐标计算

由已知条件和计算出的曲线要素T、L用极坐标法求出ZY和YZ点坐标。

① ZY点坐标计算：

XZYXJDTcosJDZY  （2-3）

YZYYJDTsinJDZY② YZ点坐标计算：

XYZXJDTcosJDYZ  （2-4）

YYZYJDTsinJDYZ3) 圆心O点坐标计算

注：曲线右偏时K值取“+1”；曲线左偏时取“-”1；

XOXZYRcos(ZYJDk90)  （2-5）

YOYZYRsin(ZYJDk90)

4）计算全曲线上任意未知里程点P

里程差：

lDKPDKZH

里程差所对应的圆心角：

计算P点坐标：

l180 R注：曲线右偏时K值取“+1”；曲线左偏时取“-”1；

XPXORcos(OZYk)  （2-6）

YPYORsin(OZYk)

缓和曲线逐桩坐标计算原理

车辆在圆曲线上行驶会产生离心力，为平稳离心力，能够通过升高道路外侧（称为超高）使车辆倾斜，而车辆在直线上行驶，道路外侧并无超高。因此，从直线到圆曲线之间插入缓和曲线。缓和曲线的半径由渐变成圆曲线半径R，超高由0渐变成圆曲线设计的超高。缓和曲线可用螺旋线、三次抛物线等空间曲线来设置。我国采纳螺旋线作为缓和曲线。

如图2-3所示，直线与缓和曲线的连接点称为直缓点（ZH）；缓和曲线与圆曲线的连接点称为缓圆点（HY）；曲线的中点称为曲中点（QZ）；圆曲线与缓和曲线的连接点称为圆缓点（YH）；缓和曲线与直线的连接点称为缓直点（HZ）。有缓和曲线的圆曲线要素有线路转向角，圆曲线半径R，缓和曲线长度l0，曲线的切线长T，曲线长L，外矢距E及切曲差q。

图2-3缓和曲线

依照设计文件所给的已知条件计算出缓和曲线要素和逐桩坐标。

设计文件所给已知条件：交点坐标及里程，曲线半径R，缓和曲线长l0，转向角 。

1) 曲线要素计算：

由转向角，半径R，缓和曲线长l0计算曲线要素T，L。

Tm(RP)/tan(/2)LRl0180 （2-7）3 l0m240R22lP024R由交点里程，切线长T 和曲线长L计算曲线主点里程： ZH里程 = JD里程 - 切线长T HY里程 = ZH里程 + 缓和曲线长l0 QZ里程 = ZH里程 + L/2

YH里程 = ZH里程 + 曲线长L- 缓和曲线长l0 HZ里程 = ZH里程 + 曲线长L

图2-4缓和曲线

2) ZH点与HZ点坐标计算：

由已知条件和计算出的曲线要素T、L用极坐标法求出ZH和HZ点坐

标。

① ZH点坐标计算：

由JD1、JD2的坐标反算JD2JD1的坐标方位角JD2JD1；

XZHXJD2TcosJD2JD1  （2-8）YZHYJD2TsinJD2JD1② 曲线要素T、L、HZ点坐标计算：

由JD2、JD3的坐标反算JD2JD3的坐标方位角JD2JD3；

XHZXJD2TcosJD2JD3  （2-9）

YHZYJD2TsinJD2JD3坐标反算例如：

假设JD1坐标（2000，2000），JD2坐标（1000，1000） 那么JD2到JD1的坐标方位角为：

x20001000 y20001000 （2-10）

x180JD2JD1arctan()y3) 未知里程点P在ZH-HY上的坐标，方位角的计算：

图2-5缓和曲线段

l3l7l9l11 yp （2-11） 3355776Rl0336Rl042240Rl09676800Rl0lDKPDKZHyP为过P点做直线ZHJD的垂线距离，xP为ZH到yP直线所对应的垂

l5l9l13xpl640R2l023456R4l04599040R6l0足的距离。

注：曲线右偏时K值取“+1”；曲线左偏时取“-1”； 求P点坐标：

XPXZHxPcosrkyPsinrYPYZHxPsinrkyPcosr （2-12）

r360ZHJD计算P点切线方位角P：

PZHJDl2180

2Rl04）未知里程点P在HY-YH圆曲线上的坐标，方位角计算：

图2-6圆曲线段

如图1-3，xp为ZH到C点的距离；yp为P到C点的距离；m为ZH到

D点的距离；P为N到D点的距离；的角度值等于角AOP的角度值。因此依据图2-7可知：

图2-7圆曲线段

xpmRsinβyp(Rp)Rcosβmpll0230240R224R  （2-13）

yp为过P点做直线ZHJD的垂线距离，xp为ZH到yp直线所对应的

垂足的距离。

注：曲线右偏时取“+”；曲线左偏时取“-”。 求P点坐标：

XPXZHxPcosrkyPsinr  （2- 14）

YPYZHxPsinrkyPcosr 求P点切线方位角P：

PZHJD(DKPDKHY)1800  （2-15）

Rl180002R5）未知里程点P在YH-HZ缓和曲线上的坐标，方位角的计算：

图2-8缓和曲线段

由HZ向YH推，和ZH向HY推类似，曲线右偏时取“-”；曲线左偏时

取“+”；

5913lllxpl640R2l023456R4l04599040R6l0l3l7l9l11 yp （2-16） 3576Rl0336R3l042240R5l09676800R7l0lDKPDKZHXPXZHxPcosr1kyPsinr1YPYZHxPsinr1kyPcosr1HZJDZH180r1360-HZJD计算点P坐标方位角P：

PHZJD180

l21802Rl0  （2-17）



缓和曲线线路逐桩坐标计算实例

在线路计算中一缓和曲线最为典型，下面表达一下其逐桩坐标计算实例： 例：已知R800m，l0130m,转向角101010。线路为左偏，交点坐标JD（1000，1000）交点里程KJD1111.111，求曲线的逐桩坐标及方位角

P。

由题意可画出曲线的草图2-9：

图2-9缓和曲线

1) 曲线要素计算：

由转向角，半径R，缓和曲线长l0计算曲线要素T，L。 T——切线长；

L——曲线长(包括圆曲线长L0及两倍缓和曲线长2l0)；

Tm(RP)/tan()136.22752  （2-18）

LRl0271.9534180由交点里程，切线长T 和曲线长L计算曲线主点里程： ZH里程 = JD里程 - 切线长T = HY里程 = ZH里程 + 缓和曲线长l0 = QZ里程 = ZH里程 + L/2 =

YH里程 = ZH里程 + 曲线长L - 缓和曲线长l0 =

HZ里程 = ZH里程 + 曲线长L = 2) ZH点与HZ点坐标计算：

由已知条件和计算出的曲线要素T、L用极坐标法求出ZH和HZ点坐

标。

① ZH点坐标计算：

由JD2,JD1的坐标反算JD2JD1的坐标方位角JD2JD1；

XZHXJDTcosJDZH867.9269YTsin ZHYJDJDZH966.6138② 曲线要素T、L、HZ点坐标计算：

由JD2,JD1的坐标反算JD2JD1的坐标方位角JD2JD1；XHZXJDTcosJDHZ1135.8924YY HZJDTsinJDHZ1009.54953) 计算点P在ZH—HY上的坐标，方位角：

假设P点的里程为那么：

lDK1000.000DKZH25.117xl5l9l13pl40R2l24625.117003456R4l0599040R6l0l3l7yl9l11p6Rl335l5770.02540336Rl042240R09676800Rl0因为本例是左偏，因此P点坐标：

XPXZHxPcosrkyPsinr892.2841 YPYZHxPsinrkyPcosr972.7447 r360ZHJD345.4949计算P点切线方位角P：

PZHJD140045.40l2180

2Rl01025.604）计算点P在HY—YH圆曲线上的坐标，方位角 ：

2-19）

2-20）

2-21）2-22） （

（ （ （

mp假设P点里程为那么：

64.9857240R 22l03l024R0.8802xpmRsinβ135.0130  （2-23）

yp(Rp)Rcosβ3.9510因为曲线为左偏因此P点坐标：

XPXZHxPcosrkyPsinr999.7908  （2-24）

YPYZHxPsinrkyPcosr995.9718 求P点切线方位角P：

PZHJD9952.66(DKPDKHY)1805118.34 （2-25） 0

Rl1800043919.022R5）计算P点在YH—HZ缓和曲线上的坐标，方位角

由HZ向YH推，和ZH向HY推类似，能够看成是曲线右偏。计算方式如下：

第一计算出HZ到JD的坐标方位角HZJD

HZJDZH1801840111  （2-26）

r1360-HZJD1755849假设P点的里程为，那么：

37911llll yp0.0076 （2-27）3355776Rl0336Rl042240Rl09676800Rl0lDKPDKZH16.837l5l9l13xpl16.837022446640Rl03456Rl0599040Rl0P点坐标为：

XPXZHxPcosr1kyPsinr11119.0974  （2-28）

YPYZHxPsinr1kyPcosr11008.3616计算点P坐标方位角P：

PHZJD18040552.12

l218000441.122Rl0  （2-29）



椭圆形曲线点位坐标理论计算原理

如图2-10所示，此曲线是用一个回旋曲线连接两个同向圆曲线的线型，称之为卵型曲线。为了只用一个回旋曲线连成卵型，要求圆曲线延长后，大的圆曲线能完全包着小的圆曲线，而且两个，圆曲线不同圆心。回旋曲线不能从原点开始利用，只能利用曲率半径为R1—R2这一段曲线。通过认真观看椭圆形曲线图咱们会发觉关键在于计算出YH1-YH2段的坐标，即求出此段未显示出的缓和曲线段l和′起点ZH′然后再按计算缓和曲线方式计算。下面表达如何计算YH1-YH2段坐标，如图2-10：

图2-10椭圆形曲线

如图2-11，Y1H—HY2这段缓和曲线不完整，需要找到这段缓和曲线的起点ZH′即求l

以曲线右偏且（R1 >R2）为例，设YH点半径为r1，HY2点半径为r2。注：(r1>r2) 由缓和曲线特性知：

图2-11椭圆形曲线段

lr1(lL)r2lLr2 r1r2求ZH′的切线方位角ZH切：

由图2-11 知圆缓点（YH）的切线与ZH′切线的交角为： l1802r1 ZH切YH切求ZH′点的坐标：

求YH点在ZY'XY坐标系下的坐标：

xl3YHll540r2413456r1 yYHl2l4l66r351336r142240r1求ZH′到YH点的距离d及与ZH′切线间的夹角：

dx22YHyTHtan1yYH xYH求YH→ZH′的方位角YHZH：

YHZHZH切180

求ZH′点的坐标：

XZHXYHdcosYHZHY

ZHYYHdsinYHZH2-30）2-31）2-32）

（ （ （ 椭圆形曲线上P点的坐标：

求P点在ZY'XY坐标系下的坐标：

3711lll （2-33） y p6r2(lL)336r23(lL)342240r25(lL)5llDKPDKYHl5l9xpl40r22(lL)23456r24(lL)4利用转轴公式求P点在线路坐标系下的坐标：

ZY'XY坐标系下的坐标：

XPXZHxpcosypsinYPYPxpsinypcos （2-34）

360ZH切YH点切线方位角的计算：

已知YH、HY点在ZY'XY下坐标：

xYHlyYH2440r13456r1 （2-35） 246lll356r1336r142240r1l3l52440r23456r2 l2l4l6 （2-36）

yHY236r2336r242240r25llLxHY2ll3l5坐标反算求YH→HY2点在线路坐标系和ZY'XY坐标系下的方位角YHHY2

HY2 YH切： 求HY切线与ZY'XY坐标系下的方位角YH切YHl180

2r1求线路坐标系X轴与ZY'XY坐标系x轴夹角：

HY2 YHHY2YH求YH点切线在线路坐标系下方位角YH切：

切YH切YH切YH切YH

 （2-37）