线路逐桩坐标计算原理

线路逐桩坐标计算原理

高等级公路、铁路的测设通常要用全站仪应用极坐标法测设中线，利用极坐标法测设中线就必须知道线路中线的点位坐标。下面就有关计算原理进行说明。

直线段逐桩坐标计算原理

直线是线路中最基本的线形。直线以最短的距离连接两目的地，具有线路短捷，汽车行车方向明确，驾驶操作简单，视距良好等特点，同时直线线形简单也容易计算。其计算方法和导线类似，知道一个已知点坐标，直线的方位角和距离（即历程差）就能计算未知点里程桩坐标。

如图2-1，例如已知直线A点坐标和直线方位角AB以及直线AB之间的距离dAB推算B点坐标：

图2-1直线线路 XYBBdABcosAB  （2-1）

YAdABsinABXA

圆曲线逐桩坐标计算原理

铁路与公路线路的平面通常由直线和曲线构成，这是因为在线路的定线中，由于受地形、地物或其他因素限制,需要改变方向。在改变方向处，相邻两直线间要求用曲线连结起来,以保证行车顺畅安全。这种曲线称平面曲线。

由于受地形等条件限制，路线总是不断从一个方向转到另一个方向。这时为了工程能 安全运营，必须用曲线来连接。其中，圆曲线是最基本线路曲线之一，它是有一定曲率的圆弧。下面介绍圆曲线的理论计算。

如图2-2所示，直线与圆曲线的连接点称为直圆点（ZY）；圆曲线的中点称为曲线中点（QZ）；圆曲线与直线的连接点称为圆直点（YZ）。圆曲线要素有线路

转向角，圆曲线半径R，圆曲线长L，外矢距E及切曲差q。其中转向角（单位：度、分、秒）和半径R是已知数据，其余要素如切线长T，曲线长L, 外矢距E, 切曲差q可以按下列关系式计算得出：

图2-2圆曲线

TRtan2LR （2-2） 180ER(sec1)2q2TL

1)曲线要素计算

由交点里程、切线长T 和曲线长L计算曲线主点里程： ZY里程 = JD里程 - 切线长T QZ里程 = ZH里程 + L/2 YZ里程 = ZY里程 + 曲线长L 2) ZY点与YZ点坐标计算

由已知条件和计算出的曲线要素T、L用极坐标法求出ZY和YZ点坐标。

① ZY点坐标计算：

XZYXYZYYJDJDTcosJDZY（2-3） 

TsinJDZY② YZ点坐标计算：

XYZXYYZYJDJDTcosJDYZ  （2-4）

TsinJDYZ3) 圆心O点坐标计算

注：曲线右偏时K值取“+1”；曲线左偏时取“-”1；

XOXZYRcos(ZYJDk90)  （2-5）

YOYZYRsin(ZYJDk90)

4）计算全曲线上任意未知里程点P

里程差：

lDKPDKZH

里程差所对应的圆心角：

lR180

计算P点坐标：

注：曲线右偏时K值取“+1”；曲线左偏时取“-”1；

XYPPXORcos(OZYk)  （2-6）

YORsin(OZYk)

缓和曲线逐桩坐标计算原理

车辆在圆曲线上行驶会产生离心力，为平衡离心力，可以通过升高道路外侧（称为超高）使车辆倾斜，而车辆在直线上行驶，道路外侧并没有超高。因此，从直线到圆曲线之间插入缓和曲线。缓和曲线的半径由渐变为圆曲线半径R，超高由0渐变为圆曲线设计的超高。缓和曲线可用螺旋线、三次抛物线等空间曲线来设置。我国采用螺旋线作为缓和曲线。

如图2-3所示，直线与缓和曲线的连接点称为直缓点（ZH）；缓和曲线与圆曲线的连接点称为缓圆点（HY）；曲线的中点称为曲中点（QZ）；圆曲线与缓和曲线的连接点称为圆缓点（YH）；缓和曲线与直线的连接点称为缓直点（HZ）。有缓和曲线的圆曲线要素有线路转向角，圆曲线半径R，缓和曲线长度l0，曲线的切线长T，曲线长L，外矢距E及切曲差q。

图2-3缓和曲线

根据设计文件所给的已知条件计算出缓和曲线要素和逐桩坐标。

设计文件所给已知条件：交点坐标及里程，曲线半径R，缓和曲线长l0，转向角 。

1) 曲线要素计算：

由转向角，半径R，缓和曲线长l0计算曲线要素T，L。

Tm(RP)/tan(/2)LRl0180 （2-7）3 l0m2240R2lP024R由交点里程，切线长T 和曲线长L计算曲线主点里程： ZH里程 = JD里程 - 切线长T HY里程 = ZH里程 + 缓和曲线长l0 QZ里程 = ZH里程 + L/2

YH里程 = ZH里程 + 曲线长L- 缓和曲线长l0 HZ里程 = ZH里程 + 曲线长L

图2-4缓和曲线

2) ZH点与HZ点坐标计算：

由已知条件和计算出的曲线要素T、L用极坐标法求出ZH和HZ点坐

标。

① ZH点坐标计算： 由JD1、JD2的坐标反算JD

XZH2JD1的坐标方位角JD2JD1；

XJD2YZHYJD2TcosJD2JD1

TsinJD2JD1 （2-8）

② 曲线要素T、L、HZ点坐标计算： 由JD2、JD3的坐标反算

XHZJD2JD的坐标方位角JD2JD3；

XJD2YHZYJD2TcosJD2JD3

TsinJD2JD3 （2-9）

坐标反算示例：

假设JD1坐标（2000，2000），JD2坐标（1000，1000） 那么JD2到JD1的坐标方位角为：

x20001000y20001000x180JD2JD1arctan()y （2-10）

3) 未知里程点P在ZH-HY上的坐标，方位角的计算：

图2-5缓和曲线段

22446640Rl03456Rl0599040Rl037911llll yp3355776Rl0336Rl042240Rl09676800Rl0lDKPDKZHxpllll5913 （2-11）

yP为过P点做直线ZHJD的垂线距离，xP为ZH到yP直线所对应的垂

足的距离。

注：曲线右偏时K值取“+1”；曲线左偏时取“-1”； 求P点坐标：

xPcosrkyPsinrYPYZHxPsinrkyPcosr （2-12）

r360ZHJDPZHXX计算P点切线方位角P：

PZHJDl22Rl0180

4）未知里程点P在HY-YH圆曲线上的坐标，方位角计算：

图2-6圆曲线段

如图1-3，xp为ZH到C点的距离；yp为P到C点的距离；m为ZH到

D点的距离；P为N到D点的距离；的角度值等于角AOP的角度值。所

以依据图2-7可知：

图2-7圆曲线段

(Rp)Rcosβyp3 l0m2240R2l0p24RxpmRsinβ （2-13）

yp为过P点做直线ZHJD的垂线距离，xp为ZH到yp直线所对应的

垂足的距离。

注：曲线右偏时取“+”；曲线左偏时取“-”。

求P点坐标：

XYPPXZHxPcosrkyPsinr  （2- 14）

YZHxPsinrkyPcosr 求P点切线方位角P：

PZHJD00l02R(DKPDKRHY180)180  （2-15）5）未知里程点P在YH-HZ缓和曲线上的坐标，方位角的计算：

图2-8缓和曲线段

由HZ向YH推，和ZH向HY推类似，曲线右偏时取“-”；曲线左偏时

取“+”；

HZJDZH180r1360-HZJD5913lllxpl22446640Rl03456Rl0599040Rl037911llll yp3355776Rl0336Rl042240Rl09676800Rl0lDKPDKZHXPXZHxPcosr1kyPsinr1YPYZHxPsinr1kyPcosr1 （2-16）

计算点P坐标方位角P：

PHZJD180  （2-17）



l22Rl0180

缓和曲线线路逐桩坐标计算实例

在线路计算中一缓和曲线最为典型，下面叙述一下其逐桩坐标计算实例： 例：已知R800m，l0130m,转向角101010。线路为左偏，交点坐标JD（1000，1000）交点里程KJD1111.111，求曲线的逐桩坐标及方位角

P。

由题意可画出曲线的草图2-9：

图2-9缓和曲线

1) 曲线要素计算：

由转向角，半径R，缓和曲线长l0计算曲线要素T，L。 T——切线长；

L——曲线长(包括圆曲线长L0及两倍缓和曲线长2l0)；

)136.22752  （2-18）

LRl0271.9534180Tm(RP)/tan(由交点里程，切线长T 和曲线长L计算曲线主点里程： ZH里程 = JD里程 - 切线长T = 974.883 HY里程 = ZH里程 + 缓和曲线长l0 = 1104.883 QZ里程 = ZH里程 +

L/2 = 1110.860

YH里程 = ZH里程 + 曲线长L - 缓和曲线长l0 = 1116.837 HZ里程 = ZH里程 + 曲线长L = 1246.837 2) ZH点与HZ点坐标计算：

由已知条件和计算出的曲线要素T、L用极坐标法求出ZH和HZ点坐

标。

① ZH点坐标计算：

由JD2,JD1的坐标反算JD2XZHXJDJD1的坐标方位角JD2JD1；

TcosJDZH867.9269  （2-19）

YZHYJDTsinJDZH966.6138② 曲线要素T、L、HZ点坐标计算：

由JD2,JD1的坐标反算

JD2JD的坐标方位角JD2JD1；

XHZXJDTcosJDHZ1135.8924YTsin HZYJDJDHZ1009.54953) 计算点P在ZH—HY上的坐标，方位角：

假设P点的里程为1000.000则：

lDK25.1171000.000DKZHxll540R2l2l9R4l4l136625.1170p 034560599040Rl037911yllllp6Rl3355770.02540336Rl042240Rl09676800Rl0因为本例是左偏，所以P点坐标：

XPXZHxPcosrkyPsinr892.2841 YPYZHxPsinrkyPcosr972.7447 r360345.4949ZHJD计算P点切线方位角P：

PZHJD140045.402l2Rl180001025.6

4）计算点P在HY—YH圆曲线上的坐标，方位角 ：

3ml0240R264.98572

pl024R0.8802

2-20）

2-21）

2-22）

（ （ （

假设P点里程为1110.000m则：

xpypmRsinβ135.0130

(Rp)Rcoβs3.9510 （2-23）

因为曲线为左偏所以P点坐标：

XPXZHxPcosrkyPsinr999.7908  （2-24）

YPYZHxPsinrkyPcosr995.9718 求P点切线方位角P：

PZHJD9952.66(DKPDKHY)1805118.34 （2-25） 0

Rl1800043919.022R5）计算P点在YH—HZ缓和曲线上的坐标，方位角

由HZ向YH推，和ZH向HY推类似，可以看成是曲线右偏。计算方法如下：

首先计算出HZ到JD的坐标方位角HZJD

HZJDZH1801840111r1360-HZJD1755849  （2-26）

假设P点的里程为1230.000，则：

xplypl3l52240Rl0l7l9443456Rl033l9l1366599040Rl05516.8370l11776Rl0P336Rl0ZH42240Rl09676800Rl0lDKDK16.8370.0076

 （2-27）

P点坐标为：

XYPP

XZHxPcosr1kyPsinr11119.0974  （2-28）

YZHxPsinr1kyPcosr11008.3616计算点P坐标方位角P：

PHZJD18040552.12

l22Rl018000441.12  （2-29）



卵形曲线点位坐标理论计算原理

如图2-10所示，此曲线是用一个回旋曲线连接两个同向圆曲线的线型，称之为卵型曲线。为了只用一个回旋曲线连成卵型，要求圆曲线延长后，大的圆曲线能完全包着小的圆曲线，并且两个，圆曲线不同圆心。回旋曲线不能从原点开始使用，只能使用曲率半径为R1—R2这一段曲线。通过仔细观察卵形曲线图我们会发现关键在于计算出YH1-YH2段的坐标，即求出此段未显示出的缓和曲线段l和′起点ZH′然后再按计算缓和曲线方法计算。下面叙述如何计算YH1-YH2段坐标，如图2-10：

图2-10卵形曲线

如图2-11，Y1H—HY2这段缓和曲线不完整，需要找到这段缓和曲线的起点ZH′即求l

以曲线右偏且（R1 >R2）为例，设YH点半径为r1，HY2点半径为r2。注：(r1>r2) 由缓和曲线特性知：

图2-11卵形曲线段

lr1(lL)r2Lr2

lr1r2求ZH′的切线方位角ZH切： 由图2-11 知圆缓点（YH）的切线与ZH′切线的交角为：

l180 2r1

ZH切YH切求ZH′点的坐标：

求YH点在ZY'XY坐标系下的坐标：

xl3YHll540r23456r411 yYHl2l4l66r351336r142240r1求ZH′到YH点的距离d及与ZH′切线间的夹角：

dx22YHyTHtan1yYH xYH求YH→ZH′的方位角YHZH：

YHZHZH切180

求ZH′点的坐标：

XZHXYHdcosYHZHYY

ZHYHdsinYHZH卵形曲线上P点的坐标：

求P点在ZY'XY坐标系下的坐标：

5xpll40r2lL)2l93456r442(2(lL) yl3l7l11 p6r33552(lL)336r2(lL)42240r2(lL)llDKPDKYH2-30） 2-31） 2-32） 2-33） （（（（

利用转轴公式求P点在线路坐标系下的坐标：

ZY'XY坐标系下的坐标：

XPXYPxpcosypsin（2-34） YPxpsinypcos

360ZH切ZHYH点切线方位角的计算：

已知YH、HY点在ZY'XY下坐标：

xYHl2440r13456r1 （2-35） 246lll356r1336r142240r1l3l5yYH22440r23456r2246 （2-36） lllyHY256r2336r2342240r2llLxHYlll35坐标反算求YH→HY2点在线路坐标系和ZY'XY坐标系下的方位角YHHY2

HY2 YH切： 求HY切线与ZY'XY坐标系下的方位角YH切YHl2r1180

求线路坐标系X轴与ZY'XY坐标系x轴夹角：

HY2 YHHY2YH求YH点切线在线路坐标系下方位角YH切：

切YH切YH切YH切YH  （2-37）