4一次函数之几何综合培优班讲义

一次函数与几何综合（讲义）

一、知识点睛

1. 一次函数表达式：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）

①k是斜率，表示倾斜程度，可以用几何中的坡度（或坡比）来解释．坡面的竖直高度与水平宽度的比叫坡度或坡比，如图所示，AM即为__________，BM即为__________，则k=AMBM．

AB②b是截距，表示直线与y轴交点的纵坐标．

2. 设直线l1：y1=k1x+b1，直线l2：y2=k2x+b2，其中k1，k2≠0．

①若k1=k2，且b1≠b2，则直线l1_____l2； ②若k1·k2= ________，则直线l1_____l2． 3. 一次函数与几何综合解题思路

从______________出发，关键点是信息汇聚点，通常是___________与___________的交点．通过____________和_________________的互相转化将___________________与________________________结合起来进行研究，最后利用______________________或__________________解决问题．

M

二、精讲精练

1. 如图，点B，C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已

知四边形ABCD是正方形，则k的值为______．

yBy=2xCy=kxO

ADx

1

2. 如图，直线l1交x轴、y轴于A，B两点，OA=m，OB=n，将△AOB绕点O

逆时针旋转90°得到△COD．CD所在直线l2与直线l1交于点E，则l1____l2；若直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2=_______．

l1yBEl2yBDCDOAxCOAx 第2题图 第3题图

43. 如图，直线yx8交x轴、y轴于A，B两点，线段AB的垂直平分线交

3x轴于点C，交AB于点D，则点C的坐标为____________． 4. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线．

探索：若点A的坐标为(3，1)，则它关于直线l的对称点A'的坐标为____________；

猜想：若坐标平面内任一点P的坐标为(m，n)，则它关于直线l的对称点P′的坐标为____________；

应用：已知两点B(-2，-5)，C(-1，-3)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到B，C两点的距离之和最小，则此时点Q的坐标为____________．

yA'lAOx

2

5. 如图，已知直线l：y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△3AOB沿直线l折叠，点O落在点C处，则直线CA的表达式为__________________．

ylBOAxCyA(O)EBFDxC

第5题图 第6题图

6. 如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，

EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，点B恰好落在AD边上的点F处．若以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴建立平面直角坐标系，则直线FC的表达式为__________________．

7. 如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点O重合，AB=2，AD=1，

过定点Q(0，2)和动点P(a，0)的直线与矩形ABCD的边有公共点． （1）a的取值范围是________________；

（2）若设直线PQ为y=kx+2（k≠0），则此时k的取值范 围是________________．

yQDCOPBx

A 3

8. 如图，已知正方形ABCD的顶点A(1，1)，B(3，1)，直线y=2x+b交边AB于

点E，交边CD于点F，则直线y=2x+b在y轴上的截距b的变化范围是____________．

y4321ObB(G)y=2x+bDFCyAEBxl2ECDl11234AOFx

第8题图 第9题图

289. 如图，已知直线l1：yx与直线l2：y=-2x+16相交于点C，直线l1，l2

33分别交x轴于A，B两点，矩形DEFG的顶点D，E分别在l1，l2上，顶点F，

G都在x轴上，且点G与点B重合，那么S矩形DEFG:S△ABC =_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(4，

0)，B(0，-4)，P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以点P为直角顶点，AP为腰在第四象限内作等腰Rt△APM． （1）求直线AB的解析式；

（2）用含m的代数式表示点M的坐标；

（3）若直线MB与x轴交于点Q，求点Q的坐标．

QOBPMyAx 4

【参考答案】

一、知识点睛

1．①竖直高度，水平宽度 2．①∥；②-1，⊥

3．关键点，函数图象，几何图形，点的坐标，横平竖直的线段长，函数特征，几何特征，函数特征，几何特征 二、精讲精练

21．

32．⊥，-1

73．(，0)

34．(1，3)；(n，m)；(5．y3x33

46．yx16

37．（1）-2≤a≤2；（2）k≥1或k≤-1

1313，) 558．-3≤b≤-1 9．8:9

10．（1）y=x-4；（2）M(m+4，-m-8)；（3）Q(-4，0)

5

一次函数与几何综合（随堂测试）

1. 如图，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，已知

816)，D(，0)，且C，D两点关于直线AB对称，则直线AB的表达式33为______________．

C(0，yCABOPDxyOBCAx 第1题图 第2题图 2. 如图，直线y

3x2与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△ABO沿着AB3翻折，得到△ABC，则直线AC的表达式为______________．

【参考答案】

1．y1x2 22．y3x6

6

一次函数与几何综合（作业）

1. 如图，点B，C分别在直线y=2x和直线y=kx上，A，D是x轴上的两点，若

四边形ABCD是长方形，且AB:AD=1:2，则k的值是__________．

yBOAyy=2xCy=kxB'ADxOBx

第1题图 第2题图

2. 如图，一次函数y=-2x+4的图象与坐标轴分别交于A，B两点，把线段AB

绕着点A沿逆时针方向旋转90°，点B落在点B′处，则直线AB′的表达式是____________________．

3. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是(4，0)，

点P为边AB上一点，沿CP折叠正方形，折叠后的点B落在平面内的点B′处．已知直线CB′的解析式为y3xb，则点B′的坐标为__________，直线CP的表达式是____________________．

yCBPOB'Axy21ODA1CB2x

第3题图 第4题图

4. 如图，有一种动画程序，屏幕上的正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），

其中A(1，1)，B(2，1)，C(2，2)，D(1，2)，用信号枪沿直线y=-2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围是____________．

7

5. 如图，在平面直角坐标系中放入一张长方形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为点B′，折痕为CD． OC3已知OC=9，，则折痕CD所在直线的解析式为CB5y_____________________．

DyCBDOB'AxxFCEBAO

第5题图 第6题图

6. 如图，点A的坐标是(-2，0)，点B的坐标是(6，0)，点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F，则点C的坐标是_________，直线AE的表达式为_________________． 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x的图象l是第二、四象限的角平分线． 实验与探究： 由图观察易知A(0，2)关于直线l的对称点A′的坐标为(-2，0)，请在图中分别标出B(-5，-3)，C(-2，5)关于直线l的对称点B′，C′的位置，并写出它们的坐标：B′_________，C′_________． 归纳与发现： 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(m，n)关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为_________． 运用与拓广： 已知两点D(0，-3)， E(1，-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D，E两点的距离之和最小，并求出点Q的坐标．

A'lCy5432A1-5-4-3-2-1O12345x-1-2-3DB-4E-5 8

【参考答案】

21．

52．y1x4 23x4 3423)，y3．(2，4．3≤b≤6 15．yx9

333)，y6．(3，323x 337．B′(3，5)，C′(-5，2)，P′(-n，-m)，Q(2，-2)

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