椭圆的标准方程练习题

一、填空题

x2y2

1．方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．

25－m16＋m

999

解析：因为焦点在y轴上，所以16＋m>25－m，即m>，又因为b2＝25－m>0，故m<25，所以m的取值范围为222

x2y2

2．椭圆＋＝1(m－m－n

解析：因为m－n>0，故焦点在x轴上，所以c＝－m－－n＝n－m，故焦点坐标为(n－m，0)，(－n－m，0)．答案：(n－m，0)，(－n－m，0)

x2y2

3．已知椭圆的标准方程是a2＋25＝1(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长

为________．

解析：因为F1F2＝8，即即所以2c＝8，即c＝4，所以a2＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF2的周长为4a＝441.答案：441

x2y2

4．过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．

94

x2y294

解析：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1.由点(－3,2)在椭圆上知2＋2＝1，所以a2＝15.所以所求

aa－5aa－5

x2y2x2y2

椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝1

15101510y2x2y2x2

解析：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b＝3.所以椭圆的标准方程是＋＝1.答案：＋＝1

4343

2

5．已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，则椭圆的标准方程是________． 6．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，则椭圆的标准方程是________． x2y2x2y22解析：由椭圆定义知c＝1，∴b＝5－1＝24.∴椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝1

25242524

7．若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为________．

解析：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a

x2y2

＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为＋＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的

259

2222xyxy

轨迹方程为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)

259259

x2y2

8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上的一点，Q是PF1的

169

中点，若OQ＝1，则PF1＝________.

解析：如图所示，连结PF2，由于Q是PF1的中点，所以OQ是△PF12的中位线，所以PF2＝2OQ＝2，根据椭圆的定义知，PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1＝6.答案：6

x2y2

9．设F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，则△PF1F2的面积等于________．

94

解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF1＋PF2＝2a＝6.又PF1∶PF2＝2∶1，∴PF1＝4，PF2＝2，由22＋42＝(25)2可

11

知△PF1F2是直角三角形，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝×2×4＝4.答案：4

22

二、解答题

10．已知椭圆x2＋2y2＝a2(a>0)的左焦点F1到直线y＝x－2的距离为22，求椭圆的标准方程．

xy

解：原方程可化为2＋2＝1(a>0)，∴c＝

aa

2

2

2

2

2

2

2

a22

a2－＝a，即左焦点F1－a，0.由已知得

222

2－2a－2

2

2

＝22，解得a＝22或a

x2y2

＝－62(舍去)，即a＝8.∴b＝a－c＝8－4＝4.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

84

11．已知圆C：(x－3)2＋y2＝100及点A(－3,0)，P是圆C上任意一点，线段PA的垂直平分线l与PC相交于点Q，求点Q的轨迹方程．

解：如图所示．∵l是线段PA的垂直平分线，∴AQ＝PQ.∴AQ＋CQ＝PQ＋CQ＝CP＝10，且10>6.

∴点Q的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，且2a＝10，c＝3，即a＝5，b＝4.∴点Q的轨

x2y2

迹方程为＋＝1.

2516

1

x2y2

12．已知F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．

10064

π

(1)若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积；

3

(2)求PF1·PF2的最大值．

2

解：(1)设PF1＝m，PF2＝n(m>0，n>0)．根据椭圆的定义得m＋n＝20.在△F1PF2中，由余弦定理得PF21＋PF2－

π22

2PF1·PF2·cos∠F1PF2＝F1F2cos＝122.∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝2，即m＋n－2mn·3

25611π12563643

144，即mn＝.又∵S△F1PF2＝PF1·PF2·sin∠F1PF2＝mn·sin，∴S△F1PF2＝××＝. 32232323

PF1＋PF22＝202＝100，

(2)∵a＝10，∴根据椭圆的定义得PF1＋PF2＝20.∵PF1＋PF2≥2PF1·PF2，∴PF1·PF2≤22

当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立．∴PF1·PF2的最大值是100.

2