类比推理题的认识与解答

类比推理题的认识与解答

作者：褚 敏

来源：《中学生数理化·教与学》2010年第10期

近年来高考中“类比题”频频出现,于是我在课后对类比题做了大量的搜集、练习和比较等工作.在向老师请教的过程中,使我对这些题又有了更进一步的认识,同时也有了一些新的体会,老师说我在类比题上的一些想法可以让更多的朋友了解,大家可以共同交流. 下面我就类比题的特征、思维程序、类型与对应方法谈点自己的认识. 一、类比的特征

首先,类比具有相似性.类比的方法是以两个以上对象之间的类似为基础,推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处.其次,类比具有猜测性.类比是从已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究中的事物的特征.类比推理还有不唯一性,类比的结论不一定只有一个,结论正确与否也不确定.

二、类比推理的思维程序与步骤

类比的实质就是信息从模型向原型的转移,恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.其步骤可由下列框图表示.

思维程序:具体素材—观察—研究—联想—得到猜想—验证. 三、常见类比类型 1.类比概念

通过类比的方法学习新的概念,可使学生了解新概念的背景、内涵与外延,从而更好地掌握概念.

2.运算关系的类比 例1 已知命题:“若数列且

--

----

为等差数列,且

∈

为等比数列,

解析:等差与等比在运算上同样存在很多相似性,可以用运算法则的类比来解决此问题.

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加与乘类比,如:上题中与乘方类比,则则

-减与除类比,如

除与开方类比,b•n-a•mn----所以选

- 乘

3.升维类比

将平面图形(二维)升级为空间(三维)问题,这种方法被称为升维类比,在高中数学中有关这类问题也比较常见.

例2 平面几何射影定理“在

展到空间,相应的可得什么样的正确结论?

解析:把三角形与四面体进行类比,直角三角形与直四面体(三个面两两互相垂直的四面体)进行类比,三角形的边长与四面体中四个面的面积类比.则有结论:“设四面体ABCD的三条棱AB,AC,AD两两垂直,记ΔABC的面积为有

4.思想与方法的类比

在解决某些问题时,如果能够合理地运用类比思想,可为问题的解决找到一个新的便捷之路. 5.同构类比

有一些数学问题没有明显的类比参照题型与方法,但它的条件与结论与已知的数学知识在结构上非常相似,我们可以寻找类比问题,然后通过适当的代换,将原问题转化为我们熟悉的问题来解决.常见的同构类比有函数与图象,数形结合,以向量为工具的题型等. 例如,(1)已知函数y=f(x),任意函数对数函数

∈

有∈

有

对数

点A在面BCD上的射影为H,则

中,AD为斜边BC边上的高,则

拓

已知函数y=f(x),任意

四、学好类比的意义与作用

类比的题型在高考中大量出现,学好它非常重要.类比是一种思想,它常常是归纳的前提,所以学好类比也对其它知识的吸收产生间接刺激作用.在对类比的学习过程中逐步培养了我们发现,研究,探索的能力,可以促进我们创造思维不断的提高. (指导老师:谢伟华)