四川省成都市第七中学2020届高三数学一诊模拟考试试题 文（含
解析）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 号贴在答题卡上的指定位置。
位2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 封座 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
密 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 号不场考1．设是虚数单位，则复数 A．
B．
C．
D．
订 2．设集合，
，则
A． B．
C．
D．
装 号证3．函数
的图象大致是
考准 只 A．
B．
卷 名C．
D．
姓 此 4．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等 径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合级班方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为
A．
B．
C．
D．
5．执行下边的算法程序，若输出的结果为120，则横线处应填入
A． B． C． D．
6．设实数
满足，则的最大值是
A．-1 B．
C．1 D．
7．“
”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量
，
，则在
方向上的投影为
A．2 B．-2 C． D．
9．设抛物线的焦点为，准线为，点在
上，点
在
上，且
，若
，则
的值
A． B．2 C．
D．3
10．设
分别是
的内角的对边，已知，则
的大小为
A．
B．
C．
D．
11．已知正三棱锥的高为6，内切球（与四个面都相切）表面积为，则其底面边长为
A．18 B．12 C．
D．
12．已知函数
（其中
）的最小正周期为
，函数
，若对
，都有
，则
的最小正值为
A． B． C． D．
二、填空题
13．某学校初中部共120名教师，高中部共180名教师，其性别比例如图所示，已知按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则工会代表中男教师的总人数为________.
14．已知圆与
轴相切，圆心在轴的正半轴上，并且截直线
所
得的弦长为2，则圆
的标准方程是________.
15．已知均为锐角，且
，则
的最小值是
________.
16．若函数
有三个不同的零点，则实数
的取值范围是_____．
三、解答题 17．正项等比数列
中，已知
，
.
求的通项公式； 设
为的前
项和，
，求
.
18．“黄梅时节家家雨”“梅雨如烟暝村树”“梅雨暂收斜照明”……江南梅雨的点点滴滴都流润着浓烈的诗情.每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是
江南
镇2020～2020年梅雨季节的降雨量（单位：
）的频率分布直方图，试用样本频
率估计总体概率，解答下列问题：
“梅实初黄暮雨深”.请用样本平均数估计镇明年梅雨季节的降雨量；
“江南梅雨无限愁”.
镇的杨梅种植户老李也在犯愁，他过去种植的甲品种杨梅，
他过去种植的甲品种杨梅，亩产量受降雨量的影响较大（把握超过八成）.而乙品种杨梅2020～2020年的亩产量（
/亩）与降雨量的发生频数（年）如
列联表所示（部分数据缺失）.请
你帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的杨梅受降雨量影响更小？
（完善列联表，并说明理由）.
亩产量\\降雨量 合计 <600 2 1 合计 10
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.455 0.708 1.323 2.072 2.703 （参考公式：
，其中
）
19．已知椭圆
的离心率为
，且经过点
.
求椭圆的标准方程； 过点
的动直线
交椭圆于另一点，设，过椭圆中心
作
直线
的垂线交
于点
，求证：
为定值.
20．如图，在多面体中，
和
交于一点，除
以外的其余各棱长
均为2.
作平面与平面
的交线，并写出作法及理由；
求证：； 若平面
平面
，求多面体的体积.
21．已知函数
，其中为常数.
若曲线
在处的切线斜率为-2，求该切线的方程； 求函数
在
上的最小值.
22．在平面直角坐标
系中，曲线的参数标方程为（其中为参
数，且
），在以
为极点、
轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位
长度相同）中，直线
的极坐标方程为.
求曲线的极坐标方程； 求直线
与曲线
的公共点的极坐标.
23．已知函数
，且
.
若，求的最小值；
若
，求证：
.
2020届四川省成都市第七中学 高三一诊模拟考试数学（文）试题
数学 答 案
参考答案 1．C 【解析】 【分析】
直接展开多项式乘多项式化简得答案． 【详解】
=3-2i-i2
=4-2i．
故选：C． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题． 2．A 【解析】 【分析】
求出A与B中不等式的解集确定出A与B，从而求出两集合的交集即可． 【详解】
∵集合A=，解得x>-1，
B=
{x|（x+1）（x﹣2）0且x}={x|﹣1x＜2}，
则A∩B={x|＜x＜2}，
故选：A． 【点睛】
本题考查了集合的运算，考查解指数不等式及分式不等式问题，是一道基础题． 3．D 【解析】 【分析】
先判断函数为偶函数，再根据特殊点的函数值即可判断．
【详解】 因为满足偶函数f（﹣x）=f（x）的定义， 所以函数
为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，
又x=0时，y=0，排除A、C， 故选D. 【点睛】
本题考查了函数的图象的识别，一般常用特殊点的函数值、函数的奇偶性和函数的单调性来排除，属于基础题．
4．B 【解析】 【分析】
相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．
【详解】
∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，
故选：B． 【点睛】
本题很是新颖，三视图是一个常考的内容，考查了空间想象能力，属于中档题．
5．C 【解析】
【分析】
由题意知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结果． 【详解】
模拟执行算法程序，可得： S=1，k=1，
不满足条件，S=1，k=2， 不满足条件，S=2，k=3， 不满足条件，S=6，k=4，
不满足条件，S=24，k=5， 不满足条件，S=120，k=6，
此时i满足条件，退出循环，输出S的值为120；
所以横线处应填写的条件为，
故选C. 【点睛】
本题考查了程序框图的应用问题，属于直到型循环结构，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
6．D 【解析】 【分析】
由约束条件确定可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜
率求得答案．
【详解】
由约束条件
，作出可行域如图，
联立
，解得A（
），
的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，
由图可知，
最大．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型． 7．A 【解析】 【分析】
利用对数函数的单调性即可判断出结论． 【详解】
⇒a>b>0 ⇒，但满足的如a=-2,b=-1不能得到
，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选A.
【点睛】
本题考查了对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．B 【解析】
【分析】
根据平面向量的数量积运算与向量投影的定义，写出对应的运算即可． 【详解】 向量
，
，
∴
，∴(•==-10，
|
|=
=5；
∴向量
在向量
方向上的投影为：
|
|cos＜(，＞===﹣2．
故选：B． 【点睛】
本题考查了平面向量的数量积运算与向量投影的定义与应用问题，是基础题． 9．D 【解析】 【分析】
过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得
==
，即可得出结论．
【详解】
过M向准线l作垂线，垂足为M′，根据已知条件，结合抛物线的定义得
==
，
又
∴|MM′|=4，又|FF′|=6，
∴
=
=
，
.
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于
10．C
【解析】 【分析】
利用三角形内角和定理可得
．由正弦定理可得b2+c2
﹣
a2
=-bc，由余弦定理可得cosA=
，结合范围A∈（0，π）可得A的值.
【详解】
∵
，，
∴由正弦定理可得：
，整理可得：b2
+c2
﹣a2
=-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=
，∴由A∈（0，π），可得：A=
.
故选C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理在三角形中的应用，属于基础题． 11．B
【解析】 【分析】
过点P作PD⊥平面ABC于D，连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形，AE是BC
边上的高和中线，D为△ABC的中心，D、M为其中两个切点，利用直角△PDE中的数量关系计算结果.
【详解】
如图，过点P作PD⊥平面ABC于D，
连结并延长AD交BC于E，连结PE，△ABC是正三角形， ∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心． 此时球与四个面相切，如图D、M为其中两个切点，
∵S球=16π, ∴球的半径r=2． 又∵PD=6，OD=2,∴OP=4,又OM=2, ∴=
∴ DE=2
,AE=6
, ∴
AB=12,
故选B.
中档题．
【点睛】
本题考查球与棱锥的组合体问题，考查球的表面积公式，找切点利用直角三角形是解决此类问题的关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
12．B 【解析】 【分析】
将函数表达式展开合并，再用辅助角公式化简，得f（x）=sin（2x+
）-．再根
据正弦函数对称轴的公式，求出f（x）图象的对称轴方程.
【详解】 由函数
的最小正周期为
，可求得
=2
∴f（x）=
，
=
=
=2sin
（
+
），
∴又，∴x=是g(x)的一条对称轴，代
入+中，有+=(k,
解得=(k,k=1时，，
故选B. 【点睛】
本题考查了三角函数的化简与三角函数性质，运用了两角和差的正余弦公式，属于中档题． 13．12 【解析】
【分析】
利用分层抽样中的比例，可得工会代表中男教师的总人数． 【详解】
∵高中部女教师与高中部男教师比例为2：3，
按分层抽样方法得到的工会代表中，高中部女教师有6人，则男教师有9人，
工会代表中高中部教师共有15人，又初中部与高中部总人数比例为2：3，
工会代表中初中部教师人数与高中部教师人数比例为2：3，
工会代表中初中部教师总人数为10，又∵初中部女教师与高中部男教师比例为7：3， 工会代表中初中部男教师的总人数为10×30%=3；
∴工会代表中男教师的总人数为9+3=12， 故答案为12． 【点睛】
本题考查对分层抽样的定义的理解，考查识图能力与分析数据的能力，考查学生的计算能力，比较基础．
14．
【解析】
【分析】 由圆心在在
轴的正半轴上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离
即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和
半径写出圆的方程即可．
【详解】
设圆心为（t，0），且t>0, ∴半径为r=|t|=t，∵圆C截直线
所得的弦长为
2，
∴圆心到直线的距离d==
∴t2-2t-3=0，
∴t=3或t=-1（舍）， 故t=3，
∴.
故答案为
【点睛】
此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．
15．
【解析】 【分析】
利用余弦的和与差公式打开，“弦化切”的思想求得tanαtanβ=，再将
展
开利用基本不等式即可求解．
【详解】
由cos（α-β）=3cos（α+β），可得cosαcosβ+sinαsinβ=3cosαcosβ-3sinαsinβ，同时除以cosαcosβ，
可得：1+tanαtanβ=3-3tanαtanβ，
则tanαtanβ=，又
=2
=．
故答案为：.
【点睛】
本题考查了余弦、正切的和与差公式和同角三角函数的运用，“弦化切”的思想，结合了基本不等式求最值，属于中档题．
16．
【解析】 【分析】
由题意可将函数
有三个不同的零点转化为函数y=a与
有三个
不同的交点，结合图象求出实数a的取值范围．
【详解】
由题意可将函数有三个不同的零点转化为函数y=a与
有三个
不同的交点，如图所示：
当
时，
的图象易得，当
时，函数g(x)=
，
=
=0，x=1,
在区间(0，1)上单调递减，在区间(1，
)上单调递增，如图所示：
有三个不同的交点，a≤4
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
17． 221
【解析】 【分析】
利用等比数列通项公式列出方程组，求出a1=1，q=2，由此能求出{an}的通项公式． （2）由（1）求出{an}的前项和，代入中，直接利求出{bn}的通项，利用等差数列求和公式求得结果. 【详解】 设正项等比数列的公比为，则 由及得，化简得，解得
或（舍去）. 所以
的通项公式为
.
由得，.
所以.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式、等差数列的前n项和的求法，考查运算求解能力，是中档题． 18．
乙
【解析】 【分析】
由频率分布直方图可求出第四组的频率，利用频率分布直方图中平均数的计算公式求得
结果.
根据题意，列出列联表，计算
，与甲品种的百分数作比较得出结论.
【详解】
频率分布直方图中第四组的频率为
.
所以用样本平均数估计
镇明年梅雨季节的降雨量为
.
根据频率分布直方图可知，降雨量在200～400之间的频数为
.进而完善列联表如图.
亩产量\\降雨量 200～400之间 200～400之外 合计 <600 2 2 4 5 1 6 合计 7 3 10 .
故认为乙品种杨梅的亩产量与降雨量有关的把握不足75%.
而甲品种杨梅降雨量影响的把握超过八成，故老李来年应该种植乙品种杨梅. 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，考查了
列联表及
的知识，考查了计算能力与
推理能力．
19． 4，证明见解析
【解析】 【分析】
（1）利用椭圆C：
的离心率为，且经过点M（2，0），可求椭
圆的几何量，从而可求椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，再结合条件求出C的坐标，计算
，得出定值4.
【详解】
因为椭圆的离心率，且，所以.
又
.故椭圆的标准方程为.
设直线
的方程为（
一定存在，且
）.
代入
，并整理得
.
解得，于是.
又
，所以
的斜率为
.
因为
，所以直线的方程为
.
与方程
联立，解得
.
故为定值.
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，正确运用韦达定理是关键．
20．见解析
见解析
2 【解析】 【分析】
由题意可得平面，由线面平行的性质作出交线即可. 取
的中点
，连结
，
.由条件可证得
平面
，
故
.
又
.
平面
.从而
.
将多面体
分割成两个三棱锥，再利用等体积法求得结果.
【详解】
过点作
（或
）的平行线，即为所求直线
.
和交于一点，
四点共面.又
四边形
边长均相等.
四边形为菱形，从而.
又
平面，且
平面
，
平面
.
平面，且平面
平面
，
.
证明：取的中点，连结
，
.
，
，
，
.
又
，
平面，平面
，故
.
又
四边形
为菱形，
.又
，
平面
.
又
平面，
. 解：
平面
平面
，
平面
.
故多面体的体积.
【点睛】
本题考查证明线面平行、线面垂直的方法及求多面体体积的大小，不规则多面体常进行体积分割或补形，此法是解题的关键和难点．
21．
【解析】 【分析】
（1）先利用，求出a，进而写出切点坐标，写出的切线方程.
（2）对a分类讨论，易判断当或当
时，
在区间
内是单调
的，根据单调性直接可得出最小值，
当
时，
在区间
内单调递增，在区间内单调递减， 故
，又因为
，
，将两者比较大小求得结果．
【详解】
求导得，由解得.
此时
，所以该切线的方程为，即为
所求.
对
，，所以在区间内单调递减.
当时，
，在区间上单调递减，故.
当
时，
，
在区间
上单调递增，故
.
当
时，因为
，
，且在区间
上单调递增，结合零点存在定理可知，存在唯一，使得，且
在
上单调递增，在上单调递减.故
的最小值等于
和
中较小的一个值.
①当
时，
，故
的最小值为
.
②当
时，
，故
的最小值为
.
综上所述，函数的最小值.
【点睛】
本题考查导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论思想以及计算能力．
22．
【解析】 【分析】
（1）先将曲线C的参数标方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，把普通方程化为极坐标方程；
（2）将
与
的极坐标方程联立，求出直线l与曲线C的交点的极角，代入直线的极坐
标方程即可求得极坐标．
【详解】
消去参数
，得曲线
的直角坐标方程
.
将，代入，得.
所以曲线
的极坐标方程为.
将
与的极坐标方程联立，消去得
.
展开得.
因为
，所以.
于是方程的解为，即.
代入
可得，所以点的极坐标为.
【点睛】
本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交
点的问题，考查计算能力．
23． 见解析
【解析】 【分析】
由柯西不等式将中的变为
，
求得
的最小值.
因为
，又
，故
再结合绝对值三角不等式证得结论成立.
【详解】
由柯西不等式得，（当且仅当时
取等号），所以，即
的最小值为
因为
，所以
；
，故结论成立.
【点睛】
本题考查了利用柯西不等式求最值，考查了利用绝对值三角不等式证明的问题，属于中等题.
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