2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A={x|y=
}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2] D．[0，4] 2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（ ） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣l，0） C．（0，1） D．（1，2） 3．复数z=
（其中i为虚数单位）的虚部是（ ）
A．﹣1 B．﹣i C．2i D．2
4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得
到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（ ） A．[﹣
，
] B．[﹣
，
]
C．[﹣
，
] D．[﹣
，
]
6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（ ）
A．10 B．12 C．20 D．40
7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ） A．35种 B．24种 C．18种 D．9种
8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的
动点．则下列说法错误的是（ ）
A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形 B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形
C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形 D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形 9．已知函数f（x）=
，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣，1）
C．（0，2） D．（﹣，log32）
10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B
=2（O为坐标原点）两点，且，点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面
积的最小值为（ ） A．3
B．
C．2
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知双曲线
=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于______．
12．
的展开式中，x2项的系数为______．（用数字作答）
13．已知实数x，y满足
，则x2+y2﹣2x的取值范围是______．
14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为______
15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题： ①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；
②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根； ③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；
④若数列{an}为等差数列，且f（al）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π． 其中的正确命题有______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc． （I）求角A的大小；
（Ⅱ）求bsinC的最大值． 17．已知数列{an}满足a1=1，（n+1）an=（n﹣1）an﹣1，（n≥2，n∈N*）． （I）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．证明：Sn＜2．
18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．
（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；
（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
19．AB=2，如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，E为BB1的中点，M为AC上一点，（I）证明：CB1∥平面A1EM； （Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为
，求AA1的长度． =
．
20．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆
C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．
21．设函数f（x）=lnx．
（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值； （Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥（Ⅲ）已知a∈（0，
在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．
2018年四川省成都市高考数学二诊试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A={x|y=
}，B={x||x|≤2}，则A∪B=（ ）
D．[0，4]
A．[﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2] 【考点】并集及其运算．
【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【解答】解：A={x|y=
}={x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4}，
B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}， 则A∪B={x|﹣2≤x≤4}， 故选：B．
2．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（ ） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣l，0） C．（0，1） D．（1，2） 【考点】函数零点的判定定理．
【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．
【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0， f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，
故有f（0）•f（1）＜0，由零点的存在性定理可知： 函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1） 故选：C． 3．复数z=
（其中i为虚数单位）的虚部是（ ）
D．2
A．﹣1 B．﹣i C．2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的化数形式的乘除运算法则求解． 【解答】解：∵z=
=
=
=
=1+2i，
∴复数z=（其中i为虚数单位）的虚部是2．
故选：D．
4．已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】几何体为椎体与柱体的组合体，分四种情况进行判断． 【解答】解：由主视图和侧视图可知几何体为椎体与柱体的组合体， （1）若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为A， （2）若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为B， （3）若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为C， （4）若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为
故选：D．
5．将函数f（x）=cos（x+
）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得
到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（ ） A．[﹣
，
] B．[﹣
，
]
C．[﹣
，
] D．[﹣
，
]
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：将函数f（x）=cos（x+标不变， 则y=cos（2x+
），
），
）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐
即g（x）=cos（2x+由2kπ≤2x+
≤2kπ+π，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
，kπ+，
]，k∈Z， ]，
即函数的单调递减区间为[kπ﹣当k=0时，单调递减区间为[﹣
故选：D．
6．某校高三（1）班在一次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七组：[100，118），[118，118），[118，112），[112，116），[116，120），[120，124），[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为（ ）
A．10
D．40
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图求出得分数低于112分的频率，从而求出高三（1）班总人数，再求出分数不低于120分的频率，由此能求出分数不低于120分的人数． 【解答】解：由频率分布直方图得分数低于112分的频率为： （0.01+0.18+0.18）×4=0.36， ∵分数低于112分的有18人， ∴高三（1）班总人数为：n=
=50，
B．12 C．20
∵分数不低于120分的频率为：（0.18+0.18）×4=0.2， ∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人． 故选：A．
7．某微信群中甲、乙、丙、丁、卯五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有（ ） A．35种 B．24种 C．18种 D．9种 【考点】计数原理的应用．
【分析】根据红包的性质进行分类，若甲乙抢的是一个2和一个3元的，若两个和2元或两个3元，根据分类计数原理可得．
【解答】解：若甲乙抢的是一个2和一个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22A32=12种，
若甲乙抢的是两个和2元或两个3元的，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A22C32=6种，
根据分类计数原理可得，共有12+6=18种， 故选：C．
8．在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的
动点．则下列说法错误的是（ ）
A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形 B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形
C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形 D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形 【考点】棱锥的结构特征．
【分析】A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．
B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；
C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；
D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．
【解答】解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．
B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；
C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确； D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确． 故选：B．
9．已知函数f（x）=
，则不等式f（f（x））＜4f（x）+1的解集是（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣，1）
C．（0，2） D．（﹣，log32）
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据分段函数的表达式，讨论f（x）的符号，将不等式进行转化求解即可． 【解答】解：由3x+1=0得x=﹣，
当x＜﹣时，3x+1＜0，则由f（f（x））＜4f（x）+1得f（3x+1））＜4（3x+1）+1， 即3（3x+1）+1＜12x+4+1，
即9x+4＜12x+5，
得x＞﹣，此时不等式无解， 当x≥﹣时，
当x≥0时，f（x）=3x≥1， 则由f（f（x））＜4f（x）+1得
＜4•3x+1，
设t=3x，
则不等式等价为3t＜4t+1，
设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0， 即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x＜2， 得0≤x＜log32，
当﹣≤x＜0时，f（x）=3x+1≥0，
则f（f（x））=33x+1， 则由f（f（x））＜4f（x）+1得33x+1＜4（3x+1）+1， 设t=3x+1，则不等式等价为3t＜4t+1，
设g（t）=3t﹣4t﹣1，则g（0）=0，g（2）=9﹣8﹣1=0， 即g（t）＜0的解为0＜t＜2，即0＜3x+1＜2， 即﹣1＜3x＜1，得﹣＜x＜， 此时﹣＜x＜0，
综上所述，﹣＜x＜log32． 即不等式的解集为（﹣，log32）， 故选：D
10．已知抛物线y=x2的焦点为F，经过y轴正半轴上一点N作直线l与抛物线交于A，B
=2（O为坐标原点）两点，且，点F关于直线OA的对称点为C，则四边形OCAB面
积的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【考点】抛物线的简单性质．
=2，求出b，可【分析】先设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解利用
得直线AB方程为y=kx+2，设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离，利用四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2），可得S关于k的函数，利用导数知识即可求解．
【解答】解：不妨设位于第一象限的交点为A（x1，y1）、第二象限的交点为B（x2，y2），则x1＞0，x2＜0． OA的直线方程为y=
x=x1x，F点的坐标为（0，）．
设直线AB方程为y=kx+b（b＞0），联立y=x2求解，有x2﹣kx﹣b=0
∴x1+x2=k，x1x2=﹣b， ∴y1y2=b2，
=2， ∵
∴x1x2+y1y2=﹣b+b2=2
∵b＞0，∴b=2 ∴△=k2+8，x1=（k+
）①；线段AB=
②．
设d1、d2分别为F到OA、O到AB的距离．
∵C是F关于OA的对称点，∴C到OA的距离=d1．
∴四边形OCAB的面积S=S△OAC+S△OAB=（OA•d1+AB•d2）．
根据点到直线距离公式，d1=③，d2=
④．
又线段OA=⑤，
（k+17
）．
∴将①～⑤代入S，有S=
由S对k求导，令导函数=0，可得1+=0，解得k=﹣时，S最小，其值为3．
故选：A．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知双曲线
=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于
．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线可求出双曲线的离心率． 【解答】解：∵双曲线∴a2+5=9， ∴|a|=2， ∵c=3，
∴双曲线的离心率等于． 故答案为：． 12．
=1的右焦点为（3，0），求出|a|，再利用双曲线的定义，即
=1的右焦点为（3，0），
的展开式中，x2项的系数为 ﹣20 ．（用数字作答）
【考点】二项式定理的应用．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中的x2项的系数． 【解答】解：在
的展开式中，它的通项公式为Tr+1=
=﹣20，
•x5﹣r•（﹣1）r，
令5﹣r=2，求得r=3，可得x2项的系数为﹣故答案为：﹣20．
13．已知实数x，y满足
，则x2+y2﹣2x的取值范围是 [﹣1，19] ．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方，求出（x﹣1）2+y2的范围，从而求出x2+y2﹣2x的范围即可．
【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由
，解得A（3，4），
x2+y2﹣2x=（x﹣1）2+y2﹣1，
而（x﹣1）2+y2的几何意义表示平面区域内的点与（1，0）的点距离的平方， 0≤（x﹣1）2+y2≤20， ∴﹣1≤（x﹣1）2+y2≤19，
故答案为：[﹣1，19]．
14．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=•tan由于： S====
•tan
…tan的值．
•tan•tantan．
•tan•tan
…tan…cot
tan•cot
故答案为：．
15．已知函数f（x）=x+sin2x．给出以下四个命题： ①∀x＞0，不等式f（x）＜2x恒成立；
②∃k∈R，使方程f（x）=k有四个不相等的实数根； ③函数f（x）的图象存在无数个对称中心；
④若数列{an}为等差数列，且f（al）+f（a2）+f（a3）=3π，则a2=π． 其中的正确命题有 ③④ ．（写出所有正确命题的序号） 【考点】函数的图象．
【分析】①用特殊值的方法即可； ②③根据函数图象判断； ④可用反代的方法判断成立． 【解答】解：①当x=
时，显然f（x）＞2x，故错误；
②根据函的图象易知，方程f（x）=k最多有三个不相等的实数根，故错误； ③根据函数的图象易知函数f（x）的图象存在无数个对称中心，故正确； ④f（al）+f（a2）+f（a3）=3π，
∴al+a2+a3=3π，sinal+sina2+sina3=0，解得a2=π，故正确． 故答案为：③④．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=，且b2+c2=3+bc． （I）求角A的大小；
（Ⅱ）求bsinC的最大值．
【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（I）由余弦定理可得：cosA=
=
=，即可得出．
（II）由正弦定理可得：可得b=+，根据B∈
即可得出．
，可得bsinC=2sinBsin=
【解答】解：（I）由余弦定理可得：cosA===，
∵A∈（0，π），∴A=（II）由正弦定理可得：
．
，可得b=
，
bsinC=•sinC=2sinBsin=2sinB=
sin2B+
=∵B∈∴∴bsinC∈
+， ，∴∈．
∈．
．
17．已知数列{an}满足a1=1，（n+1）an=（n﹣1）an﹣1，（n≥2，n∈N*）． （I）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn．证明：Sn＜2． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）依题意，可得an=
•
•
…×××a1=
，再验证n=1
时是否符合该式即可得到答案，
（Ⅱ）先裂项求和，再放缩法证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，（n+1）an=（n﹣1）an﹣1， ∴
=
，
∴…，
=
=，
=，
==，
∴an=
••
…×××a1=
，
又n=1时a1=1，满足上式， ∴数列{an}的通项公式an=（Ⅱ）∵an=
=2（﹣
， ），
）=2（1﹣
）＜2，
∴Sn=a1+a2+…+an=2（1﹣+﹣+…+﹣
问题得以证明．
18．某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有除编号不同外，其余均相同的20个小球，这20个小球编号的茎叶图如图所示，活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取的小
球编号是十位数字为l的奇数，则为一等奖，奖金100元；若抽取的小球编号是十位数字为2的奇数，则为二等奖，奖金50元；若抽取的小球是其余编号则不中奖．现某顾客有放回的抽奖两次，两次抽奖相互独立．
（I）求该顾客在两次抽奖中恰有一次中奖的概率；
（Ⅱ）记该顾客两次抽奖后的奖金之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为Pi（i=1，2），没有中奖的概率为P0，由此能求出该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX． 【解答】解：（Ⅰ）设一次抽奖抽中i等奖的概率为Pi（i=1，2），没有中奖的概率为P0， 则P1+P2=
=，即中奖的概率为，
∴该顾客两次抽奖中恰有一次中奖的概率为： P=
=
．
（Ⅱ）X的可能取值为0，50，100，150，200， P（X=0）=P（X=50）=P（X=100）=P（X=150）=P（X=200）=∴X的分布列为： X 0 P ∴EX=
=
=，
，
，
=
，
=
，
50 100 150 =55（元）．
200 19．AB=2，如图．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，E为BB1的中点，M为AC上一点，
=
．
（I）证明：CB1∥平面A1EM； （Ⅱ）若二面角C1﹣A1E﹣M的余弦值为
，求AA1的长度．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（I）建立空间直角坐标系，利用向量关系求出F的坐标，根据线面平行的判定定理即可证明证明：CB1∥平面A1EM；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可． 【解答】（I）如图，连接AB1，交A1E于F，连接MF， ∵E为BB1的中点，
∴建立以A为坐标原点，AB，AC，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： 设AA1=h，
则A（0，0，0），C1（0，1，h），A1（0，0，h），E（2，0，），M（0，，0）， B1（2，0，h），设F（x，0，z）， 则∵
∥
，
∥
，
=（2，0，h），∴
①
=（x，0，z），
∵=（x，0，z﹣h），=（2，0，﹣），∴= ②，
由①②得z=h，x=， 或F作FT⊥AB， 则∵
==
=，则∴AF=AB1， ．
∴MF∥CB1，
∵MF⊂平面平面A1EM，CB1⊄平面A1EM， ∴CB1∥平面A1EM；
（Ⅱ）设平面C1A1E的法向量为=（x，y，z），平面MA1E的法向量为=（x，y，z）， 则
，则
，令z=1，则x=，y=0，
则=（，0，1），
由得，令z=1，则x=，y=，
即=（，，1）
|cos＜，＞|==，
得h2=2，即h=， 则AA1的长度为．
20．已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=4x与椭圆
C有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆C在第一象限的交点，且|PF1|=．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线l，与椭圆交于A，B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线MN斜率的最小值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）求得抛物线的焦点，可得c=1，设P为（|PF1|=a+•
，m），由椭圆的焦半径公式可得，
+1，解方程可得a=2，由a，b，
=，由椭圆和抛物线的定义可得，2a=+
c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），代入抛物线的方程，由判别式为0，可得kb=1，再由椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及基本不等式即可得到所求最小值． 【解答】解：（I）抛物线y2=4x的焦点为（1，0）， 可得椭圆的c=1，设P为（
，m），
=， +1，
由椭圆的焦半径公式可得，|PF1|=a+•由椭圆和抛物线的定义可得，2a=+解得a=2，b=
=
，
即有椭圆的方程为+=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+b（k＞0），
代入抛物线的方程，可得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0， 由相切的条件可得，△=（2kb﹣4）2﹣4k2b2=0， 化简可得kb=1，
由y=kx+和椭圆方程3x2+4y2=12， 可得（3+4k2）x2+8x+由64﹣4（3+4k2）（可得k＞，
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=﹣即有中点坐标为（﹣
，
），
，
﹣12=0， ﹣12）＞0，
设N（0，n），由=﹣，
可得n=﹣，
，
由y=kx+，设y=0，则x=﹣
M（﹣
，0），可得直线MN的斜率为kMN=
=﹣
=﹣≥﹣=﹣．
当且仅当k=＞时，取得最小值﹣．
21．设函数f（x）=lnx．
（I）求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值； （Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≥（Ⅲ）已知a∈（0，
在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
），试比较f（tana）与﹣cos2a的大小，并说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）求导数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）=x﹣1﹣f（x）的极小值； （Ⅱ）mf（x）≥
可化为mlnx﹣
≥0，构造函数，得出m（x+1）2﹣2x≥0在[1，
x0]上恒成立，即可求实数m的取值范围； （Ⅲ）已知a∈（0，大小．
【解答】解：（I）函数g（x）=x﹣1﹣f（x）=x﹣1﹣lnx，g′（x）=∴g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增， ∴x=1时，g（x）的极小值为0； （Ⅱ）mf（x）≥
可化为mlnx﹣
≥0，
（x＞0），
），证明
＜
，分类讨论，即可比较f（tana）与﹣cos2a的
令h（x）=mlnx﹣（x≥1），则h′（x）=，
∵h（1）=0，
∴∃x0＞1，h（x）在[1，x0]上单调递增，
∴m（x+1）2﹣2x≥0在[1，x0]上恒成立，∴m≥； （Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，∵0＜x＜1，∴＞1
＞
．
∴＞，
∴＜，
令x=t2，可得t＞1，lnt＞
，0＜t＜1，lnt＜，
∵f（tana）=lntana，﹣cos2a=，
∴0＜a＜a=
，0＜tana＜1，f（tana）＜﹣cos2a
，tana﹣1，f（tana）=﹣cos2a， ＜a＜
，tana＞1，f（tana）＞﹣cos2a．
2018年9月20日
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