2020-2021学年吉林省长春市九台师范高中高一下学期第二阶段考试数学试卷

吉林省长春市九台师范高中2020-2021学年高一下学期第二

阶段考试数学试卷

考生注意： 1．将答案写在答题卡上。交卷时，只交答题卡。 2.本试题考试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)

z2z1i,z22biz1．设复数1，若1为纯虚数，则实数b（ ）

A．2

B．1

C．1

D．2

2．已知向量

a1，

b2，a，b的夹角为45°，若cab，则ac（ ）

A．2 B．2

32 C． 2 D．3

3．如图，在三棱锥OABC中，OAa,OBb,OCc，点M在OA上，且OM2MA，

N为BC中点，则MN（ ）

211abc22 A． 3211abc22 C．3111abc22 B．2221abc32 D．3

4．棱长为1正四面体的体积是（ ）．

A．3

2B．4 2C．12 3D．12

π5．在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a26，c22，A，

3则C的大小为（ ）

1

期中考试试卷

π3πA．4或4

C．6

5B．6或6

πD．4

6．已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面，，有下列四个命题： ①若m//n，n，则m//； ②若l，m，且l//m，则//； ③若m，n，m//，n//，则//； ④若，A．

m，n，nm，则n.其中正确命题的个数为（ ）

C．

D．4

B．

7．ABC中有：①若AB，则sinA>sinB；②若sin2Asin2B，则ABC—定为等腰三角形；③若acosBbcosAc，则ABC—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

8．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，S表示ABC的面积，若

S12bc2a24，则A（ ）

B．90

C．30

D． 45

A． 60 9．在正方体

ABCDA1B1C1D1，中，M，N，P，Q分别为

B1A，

B1D，

D1A，CD1的中

点，则异面直线MN与PQ所成角的大小是（ ） πA．

6B．

πππ C． D． 43210．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵”

ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，且ABAC1．若球O的表面积为3，

则这个三棱柱的体积是（ ）

2

期中考试试卷

111A．6 B．3 C．2 D．1

11．在ABC中，G为ABC的重心，过G点的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且

11AQkACAPhAB，，则hk（ ）

A．3

B．4

C．5

D．6

12．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PMPN的取值范围是（ ）

A．

6,12

B．

6,16

C．

8,12

D．

8,16

， C

，则 D 点坐标 .

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知平行四边形14．在正方体面

，A

， B

ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、

B1C1的中点，则直线EF与平

AA1DD1所成的角正切值为__________.

15．已知三棱锥PABC的各顶点都在同一球面上，且PA平面ABC，若AB2，

AC1，BAC60，PA4，则球的体积为__________．

三、解答题：(本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 16．（本题满分10分）已知向量（1）若ab，求k的值； （2）若a//b，求

a(3k,3),b(6,k7)

|a2b|

3

期中考试试卷

17．（本题满分12分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是

，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．

的菱形，又

（Ⅰ）证明：DN//平面PMB； （Ⅱ）证明：平面PMB

18．（本题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知 （Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积为 ，求a的值．

19．（本题满分12分）如图，在正方体ABCD-A’B’C’D’中，E、F、G分别是CB、CD、CC’

平面PAD；

的中点，

（1） 求证：平面A B’D’∥平面EFG; （2） 求证：平面AA’C⊥面EFG.

4

期中考试试卷

20．（本题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA矩形ABCD，PAAD4，

AB3，点E在棱PC上.

（1）若PD平面ABE，证明：E是PC的中点； （2）当E为PC的中点时，求三棱锥PABE的体积.

21．（本题满分12分）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，2c3b2acosB，a7.

（Ⅰ）若c3，求ABC的面积；

（Ⅱ）若ABC为锐角三角形，求3bc的取值范围.

5

C所对的边，且

期中考试试卷

——★ 参*考*答*案 ★——

一、单项选择

1---12 DBACC BCDBC AC 二、填空题

20553 13．(2,-2) 14．5 15．

三、解答题

16．（10分）解：（1）

ab

ab0……………………………………………..2分

18k3k715k210k……………….4分

75……………………………………………..5分 a//b,

……………………………7分

（2）

363kk7k1或6…………………………………………8分 a3,3b6,6a2b15,15当k1时,,,则,

所以

a2b152152152…..9分

a18,3b6,1a2b30,5当k6时,,,则,

所以

a2b30252537…..10分

17．（12分）

解：（Ⅰ）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ， 因为M、N分别是棱AD、PC中点，

所以QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ…………………………. 3分

…………………………………….6分

6

期中考试试卷

（Ⅱ）

又因为底面ABCD是所以

．又

…………………………………8分

的菱形，且M为

所以

中点，

………………………10分

………………………………………12分

18．（12分）解：（Ⅰ）∵

，∴（2c﹣b）•cosA﹣a•cosB=0，……………….2分

∴cosA•（2sinC﹣sinB）﹣sinA•cosB=0， ∴2cosAsinC=sin（A+B），

即2cosAsinC=sinC，…………………………………………………….…………..4分 ∵sinC≠0∴2cosA=1，即

又0＜A＜π∴

………………………..…6分

（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知∴，，…..8分

∴c=4………………………………………………………………………………………9分 由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=∴

，

．…………………………………………………………………………….12分

19.（12分）证明：

（1）连接BD,在正方体ABCD-A’B’C’D’中，BB’∥DD’,BB’=DD’

∴四边形BB’D’D为平行四边形 ∴BD∥B’D’……………………………………1分 ∵E、F分别为BC、DC中点，∴EF∥BD ∴EF∥B’D’

又∵EF面AB'D',B'D'面AB'D' ∴EF∥面AB’D’…………………….3分 同理EG∥面AB’D’

∵EF面EFG,FG面EFG,EFFGF ∴面A B’D’∥面EFG………6分 （2）∵AA’⊥面ABCD，EF面ABCD ∴AA’⊥EF

由（1）知EF∥BD ∵AC⊥BD ∴EF⊥AC………………………………………8分 又∵AC∩AA’=A ∴EF⊥面AA’C……………………………………………………10分 ∵EF面EFG ∴面AA’C⊥面EFG…………………………………………………..12分

7

期中考试试卷

20．（12分）解：（1）过点E作EF∥CD交PD于点F，连接AF，如图所示

则EF∥AB，所以F,E,B,A四点共面 因为PD平面ABE，又AF平面ABE，

所以PDAF.……………………………………………………………………….. 3分 又PAAD，所以F为PD的中点，

所以E为PC中点.……………………………………………………………………..6分

1（2）因为E为PC中点，所以E到平面PAB的距离为点C到平面PAB的距离的2..…7

分

因为PA矩形ABCD，BC平面ABCD，所以PABC. 又BCAB，PA分

所以点C到平面PAB的距离为4，

所以点E到平面PAB的距离为2…………………………………………………..10分

ABA，PA平面PAB，AB平面PAB，所以BC⊥平面….9

111V三棱锥PABEV三棱锥EPABS△PAB23424332则

即三棱锥PABE的体积为4. ……………………………………………………..12分 21．（12分）

解：（Ⅰ）由正弦定理得，

2sinC3sinB2sinAcosB，…………………………………………………….1分

8

期中考试试卷

∴

2sinAB3sinB2sinAcosB，

∴2cosAsinB3sinB， ∵B0,π，∴sinB0，

cosA∴

32，∵A0,π，∴Aπ……………………………………………3分

67b2323由余弦定理得：

3b2，

b23b40，b4b10，∴b4（负值舍去），………………………5分

111SABCbcsinA433222∴………………………………………………6分 abc7271sinAsinBsinC2（Ⅱ）由正弦定理得：，………………………….7分

5π3bc273sinBsinB………………………………………….…..8分

631π27sinBcosB27sinB………………………………………10分

262∵ABC是锐角三角形，∴

ππB， 32π3πππ1， B，sinB663262∴3bc7,21………………………………………………………………12分

9